湖北省孝感市2022-2023学年高一下学期收心（开学）考试数学试卷（含解析）

孝感市2022-2023学年高一下学期收心（开学）考试
数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”，年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽，在赵爽弦图中直角三角形较小的锐角记为，大正方形的面积为，小正方形的面积为，则( )
A. B. C. D.
2. 下面五个式子中：正确的有( )
A. B. C. D.
3. 设，，，则( )
A. B. C. D.
4. 已知函数与函数互为反函数，则( )
A. B.
C. D.
5. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程的一个近似根精确度为( )
A. B. C. D.
6. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的解集为( )
A. B.
C. D.
7. 函数的单调递减区间是( )
A. ． B. C. D.
8. 定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列命题正确的是( )
A. 第一象限的角都是锐角 B. 小于的角是锐角
C. 是第三象限的角 D. 钝角是第二象限角
10. 下列说法中正确为( )
A. 不论取何实数，命题“，”为真命题
B. 若关于的不等式恒成立，则的取值范围为
C. 设集合，，则“”是“”的充分不必要条件
D. 函数与函数是同一个函数
11. 已知函数的图象关于直线对称，则( )
A. 函数在上为减函数
B. 函数为偶函数
C. 由可得是的整数倍
D. 函数在区间上有个零点
12. 已知函数，下列说法正确的是( )
A. 函数的单调递增区间是
B. 若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是
C. 若函数有四个零点，，，则
D. 若有四个不同的零点，则实数的取值范围是
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知，若幂函数为奇函数，且在上是严格减函数，则取值的集合是 ．
14. 一扇形的圆心角，半径，则该扇形的周长为 ．
15. 已知，，且，则的最大值是 ．
16. 设，，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
求的值
已知，求的值．
18. 本小题分
已知角满足．
求的值
若角是第三象限角，，求的值
19. 本小题分
已知函数，
求的最大值和对应的取值
求在的单调递增区间．
20. 本小题分
截至年月日，全国新型冠状病毒的感染人数突破人疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题．
【主题一】【科学抗疫，新药研发】
我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段已知这种新药在注射停止后的血药含量单位：随着时间单位：的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数单位：，刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人有疗效的时长大约为多少小时精确到，参考数据：，
【主题二】【及时隔离，避免感染】．
为了抗击新冠，需要建造隔离房间如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为平方米，侧面长为米，且不超过，房高为米房屋正面造价元平方米，侧面造价元平方米如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低
21. 本小题分
已知函数
当时，求函数的定义域
当时，求关于的不等式的解集
当时，若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
22. 本小题分
如果函数在其定义域内，存在实数使得成立，则称函数为“可拆分函数”．
判断函数，，，，是否为“可拆分函数”需说明理由
设函数为“可拆分函数”，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角形中的几何计算以及利用同角三角函数基本关系式求值，属于中档题．
【解答】
解：作图如下，其中，，，即，
又，
联立得，

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查元素与集合之间的关系，属于基础题．
【解答】
解：中，是集合中的一个元素，，所以错误
空集是任一集合的子集，所以正确
是的子集，所以错误
任何集合是其本身的子集，所以正确
是的元素，所以正确．
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了指数函数，对数函数的单调性，特殊角的三角函数，属于基础题．
【解答】
解：，，，则故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数函数与对数函数互为反函数，对数式的化简，属于基础题．
【解答】
解：由，所以其反函数为，即，所以

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二分法的应用，属于基础题．
【解答】
解：由表格可知，方程的近似根在，，，，内，又因为，
故方程的一个近似根精确度可以为．
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的单调性与奇偶性，属基础题．
【解答】
解：因为是定义在上的偶函数，所以，解得：，
因为在上单调递增，所以在上单调递减，因为，
所以，故，解得：或故选C．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复合函数的单调性，对数型函数的单调性，属于中档题．
【解答】
解：对于函数，令，即，
解得，所以函数的定义域为，又在上
单调递增，在上单调递减，又在定义域上单调递减，所以
的单调递减区间为．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题是对分段函数与奇偶性的综合考查，题目较难．
【解答】
解：由题设，画出上的大致图象，又为奇函数，可得的图象如下：
的零点，即为方程的根，即图像与直线的交点．
由图象知：与有个交点：
若从左到右交点横坐标分别为，，，，，
，关于对称，
且满足方程，即，解得：
，关于轴对称，则
故选：

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查象限角的概念，属基础题．
【解答】
解：如是第一象限的角，不是锐角，故错误如小于，不是锐角，故错误
C.是第三象限的角，故正确钝角为的角，是第二象限角，故正确．
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查含有存在量词命题的真假判断，一元二次不等式恒成立的参数问题，条件关系的判断，两函数是否为同一个函数的判断，属于中档题．
【解答】
解：对于令，则，故方程总有两个不相等的实数根，不妨设，由韦达定理得，即，
不等式的解集为，则当时，有，故A正确
对于当时，可得成立，满足题意，
当时，可得，解得，综上的取值范围为，故B错误
对于当时，，所以，充分性成立，若，则或，解得或，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确
对于函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，故不是同一函数，故D错误．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的奇偶性、对称性、单调性以及零点问题，属于中档题．
【解答】
解：因为函数的图象关于直线对称，
所以，，可得，，
又，所以，所以
对于，当时，，由正弦函数性质知是减函数，故A正确
对于，是偶函数，故B正确
对于，当，时，，但不是的整数倍，故C错误
对于，令，则，，即，，
由，解得，因为，所以，，，，因此在区间上有个零点，故D错误．
故选：．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数零点的个数，属难题．
【解答】
解：利用函数图象变换，作图如下：
由图可知，函数的单调递增区间是，，故A错误
函数恰有三个零点，即的图象与直线有三个交点，所以或，故B正确
函数有四个零点，则，不妨设，令，
解得或，令，解得或，
所以由图可知，，，，，
则有，即，所以，所以，
，即，则，所以
，设，则对钩函数
在单调递减，所以，，
所以，即又因为，
所以，故C正确
令，解得
或，由解得，所以有三个不同的解，由选项分析过程可知，或，解得，或，所以实数的取值范围是故D正确
故选：．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查幂函数的图象与解析式，属于基础题．
【解答】
解：，在上递减，
，，，，
又幂函数为奇函数，
当时，，是偶函数，不满足题意
当时，，是奇函数，满足题意
当时，，是非奇非偶函数，不满足题意
的取值集合是．

14.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了弧长的计算，还考查了扇形的周长的计算方法，要熟练掌握．
【解答】
解：由扇形的弧长公式得：，所以扇形的周长为：．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用二次函数的性质求代数式的最值，属基础题．
【解答】
解：因为，，且，所以，，
，
当时，取最小值，所以取最大值，
故的最大值是．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的最值，含参数的集合关系的问题，属于综合题
【解答】
解：由题意，函数，当时，，
当时，，
因为，可得，则，所以，
所以，又因为，且，，
对于任意，总存在，使得成立，
可得，即，解得，所以实数的取值范围为

17.【答案】
由，故，，故

【解析】本题考查了指对数运算、指对数互化、换底公式、特殊角三角函数值，属于基础题．
18.【答案】解：由题意和同角三角函数基本关系式，有
消去得，解得或，
当角是第一象限角时，，，，
因为角是第三象限角，，，．
由题意可得，
因为角是第三象限角，所以，所以
【解析】本题考查同角的三角函数关系，诱导公式，属基础题．
19.【答案】解：因为，，由，，可得，，
当，时，函数有最大值
由，，可得，，
又，函数的单增区间为
【解析】本题考查正弦型函数的最值，在定区间内的单调性，属于基础题．
20.【答案】解：由题意得，，设该药在病人体内的血药含量变为时
需要的时间为，由，得，故，．
该新药对病人有疗效的时长大约为．
由题意，正面长为米，故总造价，
即，．
由基本不等式有，
当且仅当，即时取等号
故当，即，时总价最低
当，即时，由对勾函数的性质可得，时总价最低
综上，当时，时总价最低当时，时总价最低．
【解析】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用
21.【答案】解：当时，，故：，解得：，故函数的定义域为
由题意知，，定义域为，用定义法易知为
上的增函数，由，知：，．
设，，设，，
故，，故：，
又对任意实数恒成立，
故：
【解析】本题考查复合函数的单调性，函数最值的求解，属中档题．
22.【答案】解：，，是“可拆分函数”，，不是“可拆分函数”
理由如下：若，则，，
，，，
假设是“可拆分函数”，则存在，使得，即，
而此方程的判别式，方程无实数解，所以，不是“可拆分函数”．
假设，是“可拆分函数”，则存在，使得明显不成立，不是“可拆分函数”
因为函数为“可拆分函数”，
所以存在实数，使得，
即，且，所以，
令，则，所以，，
由得，即的取值范围是．
【解析】本题考查函数的新定义问题，复合型对数函数及对数运算，属于综合题．