18.2特殊的平行四边形 同步练习(含解析) 2022—2023学年人教版数学八年级下册

18.2特殊的平行四边形
一、选择题（共11题）
下列说法中，正确的是
A．有一个角是直角的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的菱形是正方形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．一组邻边相等的平行四边形是正方形
菱形的两条对角线长为 和 ，那么这个菱形的周长为
A． B． C． D．
如图，在菱形 中， 与 相交于点 ，，，则菱形的边长 等于
A． B． C． D．
如图，将矩形纸片 折叠，使点 与点 重合，点 落在 处，折痕为 ，若 ，那么 的度数为
A． B． C． D．
如图，已知某广场菱形花坛 的周长是 米，，则花坛对角线 的长度等于
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，，，过点 作 ，垂足为 ，则点 到边 的距离 等于
A． B． C． D．
如图，把矩形纸片 沿对角线折叠，设重叠部分为 ，那么下列说法错误的是
A． 是等腰三角形，
B．折叠后 和 一定相等
C．折叠后得到的图形是轴对称图形
D． 和 一定是全等三角形
如图，点 ，点 分别在菱形 的边 ， 上，且 ， 交 于点 ，延长 交 的延长线于 ，若 ，则 的值为
A． B． C． D．
如图，在 中，，，， 为边 上一动点， 于 ， 于 ， 为 中点，则 的最小值为
A． B． C． D．
如图，在菱形 中，，，点 ， 同时由 ， 两点出发，分别 沿 ， 方向向点 匀速移动（到点 为止），点 的速度为 ，点 的速度为 ，经过 秒 为等边三角形，则 的值为
A． B． C． D．
如图，在正方形 中， 为对角线， 为 上一点，过点 作 ，与 ， 分别交于点 ，， 为 的中点，连接 ，，，．下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④若 ，则 ．
其中结论正确的有
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
二、填空题（共5题）
如图，菱形 的周长是 ， 的长是 ．
直角三角形两直角边长为 和 ，则此直角三角形斜边上的中线的长是 ．
已知边长为 的正三角形 ，两顶点 、 分别在平面直角坐标系的 轴、 轴的正半轴上滑动，点 在第一象限，连结 ，则 的长的最大值是 ．
如图， 中，，，， 是 内部的一个动点，且满足 ，则线段 长的最小值为 ．
如图，将矩形 沿 折叠，使点 落在点 上，点 落在点 处，点 为折痕 上的任一点，过点 作 ，，垂足分别为 ，，如果 ，，那么 的值为 ．
三、解答题（共6题）
在正方形 中，对角线 所在的直线上有两点 ， 满足 ，连接 ，，，，如图所示．
(1) 求证：．
(2) 试判断四边形 的形状，并说明理由．
如图，一张矩形纸片 ，，．点 在这张矩形纸片的边 上，将纸片折叠，使 落在射线 上，折痕为 ，点 ， 分别落在点 ， 处．
(1) 若 ，则 的度数为 ．
(2) 若 ，求 的长．
如图，在菱形 中，，将菱形折叠，使点 恰好落在对角线 上的点 处（不与点 ， 重合），折痕为 ，若 ，，求 的长．
如图，已知菱形 中，对角线 相交于点 ，过点 作 ，过点 作 ， 与 相交于点 ．
(1) 求证：四边形 是矩形．
(2) 若 ，，求四边形 的周长．
如图 ，正方形 的对角线 ， 相交于点 ，在线段 ， 上各取一点 ， 使得 ，连接 并延长交 于点 ．
(1) 试猜想 与 的位置关系和数量关系，并说明理由．
(2) 若 ，，求 的长．
(3) 如图 ，在线段 ， 的延长线上各取一点 ，，使得 ，连接 并延长交 于点 ．请问：（）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由．
如图，在正方形 中，点 ， 分别是 ， 上的点，且 ，连接 ，过点 作 ，使 ，连接 ，．
(1) 猜想：如图①，四边形 是 ．
(2) 探究：如图②，若点 ， 分别是 ， 延长线上的点，其他条件不变，（）中结论是否仍然成立？请说明理由．
(3) 应用：如图③，若点 ， 分别是 ， 延长线上的点，其他条件不变．若 与 ， 分别交于 ， 两点， 交 于点 ，，，求 的值．
答案
一、选择题（共11题）
1. 【答案】C
【解析】（A）有一个角是直角的四边形不一定是菱形，可以是矩形、正方形等，故A错误，
（B）对角线互相垂直的菱形不一定是正方形，这是由于菱形本身的对角线也互相垂直，故B错误，
（D）一组邻边相等的平行四边形是菱形，故D错误．
2. 【答案】C
3. 【答案】D
【解析】 四边形 是菱形，
，，，
，，
，，
，
即菱形 的边长是 ．
4. 【答案】C
【解析】由题意得 ，，
，
，
，
，
，
故选C．
5. 【答案】A
【解析】 四边形 为菱形，设对角线交点为 ，
，，，（米），
，
为等边三角形，
（米），（米），
在 中，根据勾股定理得：（米），
则 米．
6. 【答案】D
【解析】 四边形 是菱形，，，
，，，
．
，
，
．
7. 【答案】B
8. 【答案】B
【解析】 四边形 是菱形，
，
，
设 ，则 ，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
9. 【答案】D
【解析】 在 中，，，，
，即 ．
又 于 ， 于 ，
四边形 是矩形，
．
是 的中点，
．
的最小值即为直角三角形 斜边上的高，即等于 ，
的最小值是 ．
10. 【答案】D
【解析】延长 至 ，使 ，连接 ，
因为四边形 是菱形，，
所以 ，，
因为 ，
所以 ，
因为 为等边三角形，
所以 ，，
所以 ，，
所以 ，
所以在 和 中，
所以 ，
所以 ，，
又因为 ，
所以 是等边三角形，
所以 ，
因为 ，，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ．
11. 【答案】D
【解析】① 四边形 为正方形，，
，，，
为等腰直角三角形，
，
，，
，故①正确；
② 为等腰直角三角形， 为 的中点，
，，
在 和 中，
，
，
故②正确；
③ 为等腰直角三角形， 为 的中点，
，，
在 和 中，
，故③正确；
④ ，
，
为等腰直角三角形， 为 的中点，
，，
，
在 和 中，
，
，，，
为等腰直角三角形，
过 点作 垂直于 于 点，如图所示：
设 ，则 ，，，
则 ，，
，故④正确．
正确的有 个．
二、填空题（共5题）
12. 【答案】
【解析】菱形的四边相等，故 .
13. 【答案】
【解析】 直角三角形两直角边长为 和 ，
斜边 ，
此直角三角形斜边上的中线的长 ．
14. 【答案】
【解析】取 中点 ，连 ，，有 ，当 、 、 共线时， 有最大值，最大值是 ．
∵ 为等边三角形，
∴ ，根据三角形的性质可知：，．
∴
15. 【答案】
16. 【答案】
【解析】过点 作 ，垂足为 ，连接 ，如图所示．
四边形 是矩形，
，．
，，
．
由折叠可得：，，
．
，
．
，，
，
四边形 是矩形，
．
，
．
，
，
．
，
，
即 的值为 ．
三、解答题（共6题）
17. 【答案】
(1) 正方形 ，
，
，
，
在 与 中，
．
(2) 连接 ．
正方形 ，
，，，
，
即 ，
，，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形．
18. 【答案】
(1)
(2) ，，
，
四边形 是矩形，
，，
，
由翻折不变性可知，，
，
，
，，
在 中，由勾股定理得：，
，
由翻折不变性可知，，
．
【解析】
(1) 四边形 是矩形，
，
，，
由折叠的性质得：，
；
故答案为：．
19. 【答案】如答图，作 于点 ，
由折叠的性质可知，，
由题意，得 ，
四边形 是菱形，
，，
为等边三角形，
，
设 ，则 ，，
在 中，
，
，，
，
在 中，，
即 ，解得 ，
的长为 ．
20. 【答案】
(1) ，，
四边形 为平行四边形，
四边形 为菱形，
，
，
平行四边形 是矩形；
(2) 四边形 为菱形，
，，，
在 中，由勾股定理得 ，
，
，
四边形 的周长 ．
21. 【答案】
(1) ．
正方形 中，，，
在 和 ，
，
，
，
，
，
．
(2) 中，，
，
，
，
中，，
，
．
(3) 成立．
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
．
22. 【答案】
(1) 平行四边形
(2) 正方形 ，
，，
，
．
，，
又 ，
．
又 ，，
．
．
．
四边形 是平行四边形．
(3) 由（）知 ，
．
．
．
，
．
．
．
．