重庆市重点高中校 2023 届高三（下）开学考试
数学试题
本试卷为第 I 卷（选择题）和第 II 试卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡上.
2．作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将答题卡收回.
第 I 卷
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知集合 P＝ x 0 x 4 ，Q＝ ，则 P Q＝
A． B． x 3 x 4 C． x 0 x 3 D． x 0 x 3
3 4i
2．若复数 z满足 z （ i为虚数单位），则下列结论正确的有
i
A． z的虚部为 3i B． z的共轭复数为 z 4 3i
C． z 5 D．在复平面内 z是第三象限的点
3．函数 f (x) 2(x3 x)e x 的图象大致是
A． B．
C． D．
4．水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成
饰品．如图所示，现有棱长为 2cm 的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨
成某饰品，则该饰品的表面积为（单位：cm2）
A．12 4 3 B．16 4 3 C．12 3 3 D．16 3 3
5．在数列 an 中，已知对任意正整数 n，有 a1 a a n2 n 2 1 a2 2 2，则 1 a2 an等于
2
A． 2n 1 B． (2n 1)2
试卷第 1页，共 4页
1
C． 4n 1 D． 3 4
n 1
6. “总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃
符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家
在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满 50 元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费
领取一件，若有 4 名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有 2 人领取的礼品种类相同的概率是
5 4 7 9
A. B. C. D.
9 9 16 16
7．已知函数 f (x)对任意 x R都有 f (x 2) f (x)，且当 x 0,2 时， f (x) log2 (x 1)，则 f (2023) f ( 2023) =
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
8. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛
物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 y2 4x的焦点为 F，一条平行于 x 轴的
光线从点M (3,1)射出，经过抛物线上的点 A 反射后，再经抛物线上的另一点 B 射出，则 ABM 的周长为
71 83
A. 9 10 B. 9 26 C. 26 D. 26
12 12
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分．
9．将函数 y cos(2x )的图象向左平移 个单位长度得到函数 f (x)图象，则
3 4
y sin(2x A． )是函数 f (x)
7
的一个解析式 B．直线 x 是函数 f (x)图象的一条对称轴
3 12
5
C．函数是周期为 的奇函数 D．函数 f (x)的递减区间为[ k ，k ](k Z)
12 12
10. 对两个变量 y和 x进行回归分析，得到一组样本数据 x1, y1 , x2 , y2 , , xi , yi 则下列结论正确的是
A．若求得的经验回归方程为 = 0.6 0.3，则变量 y和 x之间具有正的线性相关关系
B．若这组样本数据分别是 1,1 , 2,1.5 , 4,3 , 5,4.5 ，则其经验回归方程 y b x a 必过点 3,2.25
C．若同学甲根据这组数据得到的回归模型 1的残差平方和为 E1 1.同学乙根据这组数据得到的回归模型 2 的残
差平方和为 2 = 2.1，则模型 1的拟合效果更好
R2 2 2D．若用相关指数 来刻画回归效果，回归模型 3的相关指数 R3 0.41，回归模型 4的相关指数 R4 0.91，则模
型 4 的拟合效果更好
11．已知 a 0， b 0，下列命题中正确的是
a 1 1 5
A．若 ab a 2b 0，则 a 2b 9 B．若 a b 2，则
b ab 2 2
试卷第 2页，共 4页
C．若 a b 2，则 lg a lgb 0
1 1 1
D．若 ，则
a 1 b 2 3 ab a b 14 6 6
12．关于函数 f x 2 ln x，下列说法正确的是
x
A． x0 2是 f x 的极小值点； B．不存在正整数 k，使得 f x kx恒成立；
C．函数 y f x x 有 2 个零点；
D．对任意两个正实数 x1， x2，且 x1 x2 ，若 f x1 f x2 ，则 x1 x2 4
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分．
13．若非零向量 a、b ,满足 a b ， 2a b b ,则 a与b的夹角为__________．
14．二项展开式 (2x 1)5 a 5 45x a4x a3x
3 a2x
2 a1x a0 ，则 5a5 4a4 3a3 2a2 a1＝__________．
x2 y2
15．双曲线C： 2 2 1 a 0,b 0 的左、右焦点分别为 F1 2,0 、F2 2,0 ，M 是C右支上的一点，a b
MF y1与 轴交于点 P， MPF2的内切圆在边 PF2 上的切点为Q，若 PQ 2，则C的离心率为__________．
16．已知侧棱长为 3 的正四棱锥 S﹣ABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，当该棱锥体积最大时，底面 ABCD 的
边长为__________，此时球 O的表面积为__________．
四、解答题：共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）在△ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，2 sin2 = 3( 2 + 2 2)
（1）求 B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且 = 3，求 a + 2 的最大值．
18．（12 分）“新冠”是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病毒.三年来，我国疫情防控，强调
人民至上、生命至上.明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战.近期，在病毒致病性大幅度减弱的前
提下，为了经济的发展，有序放开，尽快复产复工复学。为了普及“新冠”防治知识，增强学生的防范意识，提
高自身保护能力，某市团委在全市学生范围内，以“线上”的形式组织了一次“新冠”防治及个人卫生相关知识
有奖竞赛（满分 100 分），竞赛奖励规则如下：得分在[70，80）内的学生获三等奖，得分在[80，90）内的学生
获二等奖，得分在[90，100]内的学生获一等奖，其它学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取
了 100 名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的频数分布表.
试卷第 3页，共 4页
竞赛成绩 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
人数 6 12 18 34 16 8 6
（1）从该样本中随机抽取 2 名学生的竞赛成绩，求这 2 名学生恰有一名学生获奖的概率；
（2）若该市所有参赛学生的成绩 X近似地服从正态分布 N (64,225)，若从所有参赛学生中（参赛学生人数特别
多）随机抽取 4 名学生进行面对面座谈，设其中竞赛成绩在 64 分以上的学生人数为 ，求随机变量 的分布列
和数学期望.
1+
19．（12 分）设 Sn为正数数列 an 的前 n项和，且 = ．2
（1）求数列 an 的通项公式；
2
（2）若 = sin ，求数列 bn 的前 99 项和 3 99．
2
20．（12 分）如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠BCD = ，四边形 ACFE 为矩
3
形，且 CF⊥平面 ABCD，AD =CD =BC =CF =1．
（1）求证：平面 EFD⊥平面 BCF；
（2）点 M 在线段 EF 上运动，当点 M在什么位置时，平面 MAB 与平面 FCB 所成锐
二面角的余弦值为 3．
4
x2 y2
21．（12 分）如图所示，已知P 0，1 在椭圆 : 2 1 0 b 2 上，4 b
圆C : x 1 2 y 2 r 2 r 0 ，圆C在椭圆 内部.
（1）求 r的取值范围；
（2）过 P 0，1 作圆C的两条切线分别交椭圆 于 A,B点（ A,B不同于 P），
直线 AB是否过定点？若 AB过定点，求该定点坐标；若 AB不过定点，请说
明理由.
22．（12 分）已知 f x 2loga x ex 3 （ a 0且a 1）
（1）试讨论函数 f x 的单调性；
（2）当 a 1时，若 f x 有三个零点 x1, x2 , x3 .
①求 a的范围；
3 3 3
②设 x1 x2 x3，求证：3x1 2x2 x3 2e 2 .
试卷第 4页，共 4页数学试卷参考答案
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
B C C A D B D B
8. 如下图所示：因为，所以，所以，所以，
又因为，所以，即，
又，所以，所以或，所以，所以，所以，
又因为，，，
所以的周长为：，故选：B.
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9 10 11 12
BD ACD BCD ABD
11. ，，故A错误；
，故B正确；
若，则，故，C正确；
，D正确．
12．对于A选项，函数的的定义域为，函数的导数 ，
∴时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，
∴是的极小值点，故A正确；
对于B选项，若，可得，令，则，
令，则，∴在上，，函数单调递增，
上，，函数单调递减，∴，∴，
∴在上函数单调递减，函数无最小值，
∴不存在正实数，使得成立，故B正确；
对于C选项，，
∴，∴ 函数在上单调递减，
又∵ ，，
∴ 函数有且只有1个零点，故C错误；
对于D选项，由，结合A选项可知，
要证，即证，且，
由函数在是单调递增函数，所以有，
由于，所以，即证明，
令，
则，所以在是单调递减函数，
所以，即成立，
故成立，所以D正确.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14．10 15． 16．2，
16．设四棱锥的高为h，则＝，
V′＝2（1+h）（1﹣h），当h＝1时，V最大，此时底面ABCD的边长为2，
设球半径为R，则2+（R﹣1）2＝R2，解得R＝，
∴球O的表面积为S＝4π×（）2＝9π．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）由得…………………1分
………………………………………………………2分
或………………………………………………………3分
所以或或……………………………………………………………5分
（2）由为锐角三角形，，根据正弦定理
所以=…………………………7分
所以………………………………9分
其中为锐角，.
所以的最大值为………………………………………………………10分
18．（1）由样本频率分布表可知，样本中获一等奖的6人，获二等奖的8人，获三等奖 的16人，共30人，则70人没有获奖………………………………………1分
所以从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，这2名学生恰有一名学生获奖的概为
…………………………………………………………5分.
（2）该校所有参赛学生的成绩X近似地服从正态分布，所以
所以，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生成绩在64分以上的概率为…………………………………………………………………………………6分
所以随机变量…………………………………………………………7分
所以（，1，2，3，4），
所以，，，，
，
所以的分布列为
0 1 2 3 4
P
…………………………………………………………………………………………11分
所以………………………………………………………………12分
19．（1） ,,两式相减
………………………………………………2分
化简得……………………………………………3分
又,
所以,所以数列为等差数列………………………………4分
在中令得……………………………………………5分
因此数列的通项公式为……………………………………6分
（2）由的周期为3……………………………………………………………………7分
……………………………10分
因此………12分
20．（1）证明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=CD=BC=1，故梯形ABCD为等腰梯形，
因为，则，所以
又因为，则，
∴AC⊥BC……………………………………………………………………2分
因为CF⊥平面ABCD，AC平面ABCD，
∴AC⊥CF …………………………………………………………………………………3分
∵， ∴AC⊥平面BCF……………………………………………………4分
因为四边形ACFE为矩形，AC∥EF，则EF⊥平面BCF………………………………5分
EF在平面EFD内
因此，平面EFD⊥平面BCF………………………………………………………………6分
（2）因为CF⊥平面ABCD，AC⊥BC，以点C为坐标原点，CA、CB、CF所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
在Rt△ABC中，
则A(，0，0)、B(0，1，0)、C(0，0，0)、F(0，0，1)、E(，0，1)，
设点M(t，0，1)，其中………………………………………………7分
设平面MAB的法向量为，
由，取，可得………………8分
易知平面FCB的一个法向量为
……………………………………………10分
所以，，即点M在到E的距离为的位置………………………………12分
21．由题意，故椭圆方…………………………………1分
设为椭圆上的一动点，由于圆在椭圆内部，则恒成立，
即对任意恒成立，
令，则，
则.………………………………………………………………………………5分
（2）思路一：设，，，（由（1）斜率都存在）
由于两直线均与圆C相切，则，
则为方程的两根，由韦达定理可知……………………………………8分
思路一：设，
由韦达定理可知，
由.则
.故过定点.
思路二（曲线系）：设，则椭圆可设为
，注意，二元二次式含项的系数为0，项的系数与项的系数之比为.则
则方程为，故过定点.
22．（1）注意，，则.令.
当时，i：时，
ii：时，，此时无解.
故当时，在，上单点递减，在上单调递增
当时，i：时，，此时无解
ii：时，，
故当时，在，上单点递减，在上单调递增.
（2），有三个零点，令，为奇函数.
当时，，，令，故在上单调递增，单调递减，结合的对称性，图象如下图：
又，有三零点，则.
由于，只需证明：.
由于
则有.
则.
