6.2.3向量的数乘运算 同步练习-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第二册（含解析）

6.2.3向量的数乘运算
一、单选题
1. ( )
A. B. C. D.
2. 如图，已知，，，用、表示为
A. B.
C. D.
3. 化简向量等于( )
A. B. C. D.
4. 如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，线段交于点O，设，，用，表示为( )
A. B.
C. D.
5. 设D，E，F分别为的三边BC，CA，AB的中点，则( )
A. B. C. D.
6. 如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则( )
A. B. C. D.
7. 如图，O是的重心，D是边BC上一点，且，，则( )
A. B. C. D.
8. 在四边形ABCD中，，，，则四边形ABCD的形状是( )
A. 长方形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 梯形
二、多选题
9. 点D，E，F分别为的边BC，CA，AB上的中点，且，则有( )
A. B.
C. D.
10. 下列关于向量的命题正确的是( )
A. 向量共线的充要条件是存在实数，使得成立
B. 对任意向量，恒成立
C. 非零向量，，，满足，，则
D. 在中，C为边AB上一点，且，则
三、填空题
11. 在中，已知D是AB边上一点，若，，则__________.
12. 已知向量，不共线，，，若，则__________.
13. 设，是两个不共线的平面向量，若，，，且三点共线，则实数k的值为__________.
14. 如图，在中，D是BC的中点，E是DC的中点，F是EC的中点，若，，则用，表示的结果为__________.
四、解答题
15. 化简下列各式：
16. 设，是两个不共线的向量，已知，，
求证：A，B，D三点共线；
若，且B，D，F三点共线，求k的值.
17. 设O为内任一点，且满足
若D，E分别是边BC，CA的中点，求证：D，E，O三点共线；
求与的面积之比．
18. 如图，在直角梯形OABC中，，，为AB上靠近B的三等分点，OF交AC于D，E为线段BC上的一个动点包含端点
若，求实数t的值；
设，求的取值范围.
答案和解析
1.【答案】D
解：
故选

2.【答案】D
解：
，
故选

3.【答案】A
解：
故选：

4.【答案】A
解：记向量，，
，
是等腰直角三角形，①，
是等边三角形，②，
由①②得：，
又因为，
所以 .
故选

5.【答案】A
【解析】解：，E，F分别为的三边BC，CA，AB的中点，
，
故选：
利用向量加法的三角形法则，将，分解为和的形式，进而根据D，E，F分别为的三边BC，CA，AB的中点，结合数乘向量及向量加法的平行四边形法则得到答案．
6.【答案】A
解：因为点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，
所以，，
所以
故选

7.【答案】A
解：如图，
延长AO交BC于E，由已知O为的重心，
则点E为BC的中点，
且，，
由，得出D是BC的四等分点，
则
，
因为，
所以，
所以
故选：

8.【答案】D
【解析】解：，，，
，
，
，且，
四边形ABCD为梯形，
故选：
首先，结合条件，得到，从而得到结果．
9.【答案】AD
解：如图，
在中，，故A正确；
，故B错误；
，
，故C错误；
，故D正确．
故选

10.【答案】CD
解：对于A，若，，则共线，但不存在实数，使得，故A错误；
对于B，若不共线，则可构成三角形，则，故B错误；
对于C，为非零向量，当时，；
当时，，
，则，故C正确；
对于D，，，
，故D正确.
故选

11.【答案】
解：中，D是AB边上一点，，，如图所示，
①，
，②；
①+②得，，；
故答案为

12.【答案】6
解：因为，且，
所以存在，使得，即，
因为，不共线，所以，解得，
故答案为：

13.【答案】4或
解：由，，
所以，
因为三点共线，
所以与共线，
所以存在实数使，
即，
又，是两个不共线的平面向量，
所以，解得：或，
故答案为4或

14.【答案】
解：由题意，可得，
是BC的中点，E是DC的中点，F是EC的中点，
，
同理，，，
故答案为 .

15.【答案】解：








16.【答案】证明：，
，
，
与有公共点，
，B，D三点共线；
解：，D，F三点共线，
存在实数，使，
，
，
又不共线，
，
解得，，

17.【答案】解：证明：如图：
因为D，E分别是边BC，CA的中点，
所以，，
因为，
即，所以与共线．
又OD与OE有公共点O，所以D，E，O三点共线；
由知，
所以，
所以
18.【答案】解：由题意得，
则，
故，
由共起点的三向量终点共线的充要条件知：，则；
由已知，
因E是线段BC上的动点，则令，
，
又，不共线，则有，，
在上递增，
所以当时，，当时，，
故的取值范围是
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