6.2.4向量的数量积 同步练习-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第二册（含解析）

6.2.4向量的数量积
一、单选题
1. 设非零向量，满足， ，，则( )
A. B. C. 2 D.
2. 已知，，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3. 已知平面向量，满足，，与的夹角为，且，则实数的值为( )
A. B. C. 2 D. 3
4. 设A，B，C是半径为1的圆上三点，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5. 设向量满足，，则( )
A. 2 B. C. 3 D.
6. 已知向量，满足，，，则，( )
A. - B. - C. D.
7. 已知A，B是圆O：上的两个动点，，，M为线段AB的中点，则的值为( )
A. B. C. D.
8. 四面体ABCD中，，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 是边长为3的正三角形，向量、满足，，则下列结论中正确的有( )
A. 为单位向量 B. C. D.
10. 对于非零向量，，，下列命题正确的是 ( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则在上的投影的数量为
D. 若且，则
11. 已知点O为的外心，，，则( )
A. 当时， B. 当时，
C. D.
三、填空题
12. 已知中，，，，则与的夹角是__________.
13. 已知向量，，，，则最小值为__________.
14. 在平行四边形ABCD中，，，，，则__________.
15. 已知两不共线的非零向量满足，，则向量与夹角的最大值是__________.
16. 已知点A，B，C均位于同一单位圆O上，且，若，则的取值范围为__________.
四、解答题
17. 已知向量与的夹角，且，
求，
求与的夹角的余弦值.
已知非零向量，满足，且
求与的夹角；
若，求的值．
19. 在中，满足：，M是BC的中点．
若，求向量与向量的夹角的余弦值；
若O是线段AM上任意一点，且，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
解：， ，
，
故选：

2.【答案】D
解：由已知，，，
故，即，
解得，所以，
又，所以
故选：

3.【答案】D
解：因为，，与的夹角为，
所以
，
因为，所以，
所以，故
故选：

4.【答案】C
解：设圆心为点O，则，
，，
则，
则
，
，，
当且仅当与方向相同时取等号，
即的最大值为，
故选

5.【答案】B
解：因为，，
以上两式相减可得，，
所以，即，
故选：

6.【答案】D
解：因为，，，
所以，
，，，，
所以，
因为，
所以，
故选

7.【答案】A
解：由题意得，，，
由余弦定理得，
，
故选：

8.【答案】C
由题知，，
所以
，
所以，解得，
故选：C

9.【答案】AD
解：如图，
是边长为3的等边三角形，
对于A，，，，即 为单位向量，故A正确；
对于B，， ， ，，
而 ，故B错误；
对于C，由图可知与的夹角为，故与不垂直，故C错误；
对于D，由选项B可得，所以，故D正确.
故选

10.【答案】BD
解：对于选项A，若，则，
所以或与垂直，故A错误；
对于选项B，若，则，则，故B正确；
对于选项C，若，则在上的投影的数量为，故C错误；
对于选项D，若且，推出，由平面向量共线定理得，故D正确.
故选

11.【答案】BCD
解：当时，点O为BC的中点，所以，A错误，B正确;
如图，
过点O分别作AB，AC的垂线，垂足分别为M，N，易得，，
且，，
则，故C正确;
，，因为ON是AC的垂直平分线，
所以，与相等，所以D正确.
故选

12.【答案】
解：，，
中，，
因为，所以，
与的夹角是
故答案为：

13.【答案】
解：由得：，，
，
，当时，，
故答案为：

14.【答案】1
解：在平行四边形ABCD中，，
则，而，
又，则，
于是有，解得，
所以
故答案为：

15.【答案】
解：两非零向量满足，，
设向量夹角为，
由于非零向量以及构成一个三角形，设，
则由余弦定理可得，
即，
当且仅当时，取得最小值为，
所以角取得的最大值为，
故答案为

16.【答案】
解：
，
又点A，B，C均位于圆O上，因此BC为直径．
而
，
因此点P在圆心为O、半径为2的圆上．，
当与同向时，取最大值，
当与反向时，取最小值
故答案为

17.【答案】解：由已知，得
设与的夹角为
则，
与的夹角的余弦值为
18.【答案】解：设向量，夹角为，
由得，，
又，，；
由两边平方得，
又，，
19.【答案】解：设向量与向量的夹角为，
，
设，，
；
，
设，则，而，
，
当且仅当时，的最小值是
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