1.1等腰三角形（第3课时）

课时课题:1.1等腰三角形 第3课时
课 型：新授课
授课教师：枣庄市第三十九中学 崔 涛
授课时间：2014年2月20日，星期四，第一、二节课
教材分析：
本节将利用前一课时所证明的等腰三角形的性质定理，进一步研究等腰三角形的一些特殊性质，以及等腰三角形的判定定理，前者是性质定理的直接运用与拓广，后者则是前者的逆命题，可以发展学生的逆向思维能力，同时后者的证明过程中，需要借助反证法，因而反证法的学习与运用也成为本课时的教学任务之一，为此，确定本节课的教学目标如下：
学习目标：
1．理解证明等腰三角形的判定定理，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；
2．初步了解反证法的含义，并能利用反证法证明简单的命题；
3．经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力。
教学重点和难点：
重点：经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程。
难点：探求证明思路，特别是反证法的理解和应用
教法和学法指导：
教法：引导发现，组织交流，探索归纳，当堂训练．
学法：在教师指导下观察思考，自主学习，交流合作，归纳发现，探索新知．
课前准备：
教师准备：多媒体课件、导学案．
学生准备：预习尝试完成导学案．
教学过程：
本节课设计了八个教学环节：第一环节：提出问题，引入新课；第二环节：自主学习，合作探究；第三环节：及时巩固 随堂练习；第四环节：探讨收获 课时小结；第五环节：自我提升，达标检测；第六环节：布置作业。
第一环节：提出问题，引入新课
活动内容：
通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。
问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？
问题2.我们是如何证明上述定理的？
问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？
设计意图：回顾性质，既为后续研究判定提供了基础；同时，直接提出新的问题，过渡自然，引入本课研究内容，而新的问题是原有性质的一个自然拓广，有助于提高学生提出问题的能力。调动其积极性，使学生可以积极主动的快速进入到学习状态，同时为本课的学习做好铺垫。
第二环节：自主学习，合作探究
探究1：等腰三角形的判定
探求新知
【师】上面，我们改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用方法，除此之外，我们还可以“反过来”思考问题，这也是获得数学结论的一条途径．例如“等边对等角”，反过来成立吗?也就是：有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?
【师】请同学们独立思考，小组间相互交流讨论，3分钟后举手回答
【生】成立，如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC，只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了．
【师】你是如何想到的?
【生】由前面定理的证明获得启发，比如作BC的中线，或作∠A的平分线，或作BC边上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形．
【师】很好，请为这个同学鼓掌加油．下面同学们可在练习本上尝试一下是否如此，然后小组讨论．
【生】我们组发现，如果作BC的中线，虽然把△ABC分成了两个三角形，但无法用公理和已证明的定理证明它们全等．因为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，是不能够判断两个三角形全等的．后两种方法是可行的．
设计意图:探究新知采取提出问题、实践操作、归纳验证这一方式，体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想，小组之间竞争回答问题，让学生经历体验竞争的过程，旨在激发学生的积极性; 一题多解，培养学生的发散思维。
【师】很好！那么下面就请同学们任选一种方法按要求将推理证明过程书写出来．(教师可让两个同学在黑板上演示，并对推理证明过程讲评)
【生】如图：作AD平分∠BAC,交BC于点D.
∴∠BAD=∠CAD
∵∠B=∠C, AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(AAS),
∴AB=AC.
【生】如图：作AD⊥BC于D,
∴∠ADB=∠ADC=
∵∠B=∠C, AD=AD
∴△ABD≌△ACD(AAS)
∴AB=AC
[总结】等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
这一定理可以简单叙述为：等角对等边．
【师]我们不仅发现了几何图形的对称美，也发现了数学语言的对称美．
例题解析：
例2已知，如图AB=DC，BC=CA，求证：△AED是等腰三角形。
【分析】要证明△AED是等腰三角形，只需说明AE=DE
【要求】在学生看书的基础上，请同学口述，教师课件展示
证明:在△ABD和△DCA中
∵AB=DC, BD=CA，AD=DA
∴ △ABD≌△DCA (sss)
∴∠ ADB=∠DAC
∴AE=DE(等角对等边)
∴ △AED是等腰三角形
设计意图:让学生完成定理和例题证明的书写过程，可以让学生自主经历命题的证明过程和明晰解题的步骤与思路，使学生更好的明确解题的规范，同时也是一个很好的巩固练习。
知识巩固(课件展示)：
1.?填空?
（1）在△ABC中，∠A的相邻外角是110o，要使△ABC是等腰三角形，则∠B=_______?
（2）在一个三角形中，等角对________；等边对___________?
（3）如果等腰三角形底边上的高线和腰上的高线相等，则它的各内角的度数是______
2.（2012?肇庆）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．
求证：（1）BC=AD；
（2）△OAB是等腰三角形．
3.已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2
求证：AB=AC
设计意图：这一环节旨在加强巩固学生对等角对等边这一定理的应用与理解，同时也是进一步发展学生的解题规范性，同时加强小组间的互助合作，更好的做到兵教兵，让每个学生都能认真体会知识，掌握知识。
探究2： 反证法
探求新知
【师】我们类比归纳获得一个数学结论，“反过来”思考问题也获得了一个数学结论．如果否定命题的条件，是否也可获得一个数学结论吗?我们一起来“想一想”：
小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?
设计意图：适时提问，引出问题思考，给学生们思考问题的思想方法----类比思想，同时也是为了自然过渡。
【生】：“我认为这个结论是成立的．因为我画了几个三角形，观察并测量发现，如果两个角不相等，它们所对的边也不相等．但要像证明“等角对等边”那样却很难证明，因为它的条件和结论都是否定的．”
【师】的确如此．像这种从正面人入手很难证明的结论，我们有没有别的证明思路和方法呢?思考我们在八上《平行线的证明》中是否学到过的一种解决这类题方法？
【生】：老师我是这样想的
如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．
假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC
【师】同学们，大家能理解他的推理过程吗?
先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明便是的结论一定成立.这种证明方法称为反证法(reduction to absurdity)
设计意图：通过师生对话的形式，自然而然的解决了问题，同时提出了反证法的概念，在这过程充分调动了学生的积极性，发挥学生的主观能动性，让他们积极思考，合作探究，学会新知。
例题解析
用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
已知：△ABC．
求证： △ABC中不能有两个角是直角．
【分析】：按反证法证明命题的步骤，首先要假设结论的反面“∠A、∠B、∠C中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾．
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，
即设∠A=90°， ∠B=90°，
则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．
这与三角形内角和定理矛盾，
因此∠A 和∠B是直角的假设不成立
所以一个三角形中不能有两个角是直角．
知识巩固（课件展示）
1.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中　(　　)
A.有一个内角大于60° B.有一个内角小于60°
C.每一个内角都大于60° D.每一个内角都小于60°
2.用反证法证明命题:“如果AB∥CD,AB∥EF,那么CD∥EF”,证明的第一个步骤是　(　　)
A.假定CD∥EF B.假定CD不平行于EF
C.已知AB∥EF D.假定AB不平行于EF
3.已知五个正数的和等于1,用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于.
设计意图：第1，2题对反证法解题步骤的直接应用，巩固知识的“双基”内容。第3题是课本练习题，同时巩固学生的应用知识的能力，同时培养学生的思维能力和创新意识。
第四环节：探讨收获 课时小结
【师】请同学们结合下列问题，思考交流通过这节课的学习我们有哪些收获？
（1）本节课学习了哪些内容？
（2）等腰三角形的判定方法有哪几种？
（3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系．
（4）举例谈谈用反证法说理的基本思路
【生】讨论交流，并踊跃发言，展示自己的收获。
设计意图： 发挥学生的主观能动性，引导学生自己总结本节课的知识要点以加深学生的印象，同时使知识系统化．让学生养成善于总结的好习惯，有利于帮助学生理清知识脉络，培养学生归纳总结知识的能力。
第五环节：自我提升 达标检测（课件展示）
1.如图,∠A=36°,∠ADB=108°,则图中共有等腰三角形　(　　)
A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个
2.用反证法证明“△ABC中,若∠A>∠B>∠C,则∠A>60°”,第一步应假设 (　　)
A.∠A=60°　　 B.∠A<60°
C.∠A≠60°　　 D.∠A≤60°
3.如图,∠A=20°,∠C=40°,∠ADB=80°,则图中共有等腰三角形　　　　个.
4.如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,过点O作DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.若AB=5,AC=4,则△ADE的周长是　　　　.
5.(2013·淄博中考)如图,AD∥BC,BD平分∠ABC.求证:AB=AD.
设计意图：巩固所学知识，落实本节目标，做好堂堂清，了解学生对本课所学知识的掌握情况，发现不足，查漏补缺，课下的日清准备。从而达到理解、提升学生的应用能力目的．
第六环节：布置作业
必做题： 课本习题1.3的第2、 4题。
选做题：习题1.3 第3题
设计意图：通过作业近一步来巩固所学的知识体系，同时也是为了再一步的提高学生的对知识运用能力、学习兴趣
板书设计:
§1.1等腰三角形（3）
多媒体课件展示
教师板书：
等腰三角形的判定：
反证法：
例题展示：
学生板书：
定理证明
习题板演
教学反思：x k b 1 . c o mxkb1.com
??? 《数学课程标准》明确指出：“有效的数学活动不能单纯地依?赖于模仿与记忆，学生学习数学的重要方式是动手实践、自主探索与合作交流，以促进学生自主、全面、可持续发展”，数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间相合作、共同发展的过程，是“沟通”与“合作”的过程。
1．本节课从问题情境引入课堂教学，使学生带着问题走进课堂教学，有利于快速的组织课堂教学。
2．在合作探究环节上，过度自然，通过猜想、归纳、验证得出等腰三角形的判定定理，及反证法解题的一般步骤，同时这一过程体现了知识的发生、形成和发展的过程，有效的突破了教学重点、难点。?
3．敢于放手，敢于留给学生充分的独立思考的时间，在学生独立思考后，再小组讨论交流，独立书写解题过程，生自主学习的形式代替老师的讲解，使每位学生都学会数学思考，学会合作交流。通过这种方式更有效的使知识获得掌握，印象更加深刻
4．在巩固训练的设计以近几年许多中考命题背景，形成了平时教学与中考的有效链接，提高了学生的综合应用能力。