1.4角平分线（第二课时）

课题：1.4 角平分线 第二课时
授课人：枣庄市第三十九中学 崔涛
课型：新授课
时间：2014年3月3日 星期一 第1、2节课
教学目标：
1.掌握三角形三条角平分线的性质定理，并能够进行证明.
2.会用三角形三条角平分线的性质定理解决实际问题.
3.进一步提高推理、证明意识和能力，规范学生解题过程
教学重点与难点
重点：掌握三角形三条角平分线的性质定理，并能够进行证明.
难点：用三角形三条角平分线的性质定理解决实际问题.
教法与学法指导
教法：我采用了导学式教学方法，将启发引导、合作交流贯穿教学始终，唤起学生的求知欲，从而主动参与教学全过程，真正体现教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生才是学习的主体.
学法：采取小组合作的方式，通过丰富的实际背景，鼓励学生积极参与，大胆猜想，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容．
课前准备：多媒体课件．学生准备练习本．
教学过程：
本节课设计了六个教学环节：第一环节：创设情境，导入新课；第二环节：自主学习，探求新知；第三环节：巩固新知，提升能力；第四环节：课时小结，形成网络;第五环节：新知运用，达标检测；第六环节：布置作业。
第一环节：创设情境，导入新课
问题l 习题1．9的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?
【生】交于一点(共同回答)
问题2 请同学们回忆七年级我们讲过三角形三条角平分线的性质是什么？你又是怎样得到呢？
【生】折叠
问题3 剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否能验证你的结论？与同伴交流．
设计意图：以问题的形式引导学生逐步探知，调动学生的积极性，激发了学生学习的兴趣，让学生再次经历知识构建的同时，以相对轻松的状态进入到后面的学习.
第二环节：自主学习，探求新知
1.知识点呈现：
【结论】三角形三个角的平分线相交于一点.
【师】怎样证明这个结论呢?请同学们思考3分钟后请同学来说明。
【生】思考
【师】提示：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可．
【生】展示
已知：如图，设△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：P点在∠BAC的角平分线上．
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，
PE⊥BC，其中D，F，E是垂足；
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上，
∴PD=PE．
同理：PE=PF．∴PD=PF．
∴点P在∠BAC的平分线上．
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
【师】这位同学展示的十分漂亮，你们呢？请同学看这个同学在解题过程中有一步是PE=PF．PD=PF，那么是不是有PE= PD=PF
【生】这个点到三边的距离相等
师生共同总结：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
设计意图：通过解决此题进一步巩固角平分线的性质，并在此过程中通过有条理的思考,发展学生演绎推理的能力；通过师生互动，学生自主探究，理解和掌握三角形的三条角平分线的性质和证明，充分发挥学生的自主性。
2．知识拓展：
问题1 请同学通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
（学生思考回答，师生共同总结，最后多媒体展示下表）
三边垂直平分线
三条角平分线
三角形[来源:学.科
锐角三角形[
交于三角形内一点[
交于三角形内一点
钝角三角形
交于三角形外一点
直角三角形
交于斜边的中点
交点性质
到三角形三个顶点的距离相等
到三角形三边的距离相等
设计意图：巩固所学性质定理，通过比较进一步熟记三角形三边的中垂线和三角形三个角的平分线的性质，同时也找到之间的区别与联系，更好的理解和应用。
3.变式训练：
变式1 如右图, 点P是△ABC的两个外角平分线，BM、CN的交点，求证：点P在∠BAC的平分线上。
变式2 如右图, △ABC的一个外角的平分线BM与∠BAC的平分线AN相交于点P，求证：点P在△ABC另一个外角的平分线上。
设计意图：通过变式训练的解题过程提高学生思维的灵活性。让学生通过图形的变化，抓住解决问题的本质；同时在变式过程中让学生寻求知识之间的内在联系。
4．例题讲解：（多媒体展示）
【例1】如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
(2)求证：AB=AC+CD．
【师】分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题．第(1)问中，求AC的长，需求出BC的长，而BC=CD+DB，CD=4 cIn，而BD在等腰直角三角形DBE中，根据角平分线的性质，DE=CD=4cm，再根据勾股定理便可求出DB的长．第(2)问中，求证AB=AC+CD．这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB=AE+BE，所以需证AC=AE，CD=BE．
【生】独立尝试解答，
（多媒体出示例题解题过程）
(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，
∠C=90°，DE⊥AB．
∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)．
∵∠AC=∠BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)．
∵∠C=90°，
∴∠B=×90°=45°．
∴∠BDE=90°—45°＝45°．
∴BE=DE(等角对等边)．
在等腰直角三角形BDE中
BD=2DE2.=4 2 cm(勾股定理)，
∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm．
(2)证明：由(1)的求解过程可知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)
∴AC=AE．
∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD．
变式：如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．若AC＝10，求△BDE的周长。
设计意图：通过例题讲解和例题变式让学生进一步理解知识的应用，以及知识点间的融会贯通，提升知识的应用能力。
第三环节：巩固新知，提升能力；
1.如图是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在　(　　)
A.△ABC的三条中线的交点
B.△ABC三边的垂直平分线的交点
C.△ABC三条角平分线的交点
D.△ABC三条高所在直线的交点
2.如图,直线l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则供选择的地址有　(　　)
A.1处 　　　　　 B.2处
C.3处 　　　 D.4处
３.如图,在△ABC中,点O是∠ABC,∠BCA的平分线的交点,则∠1　　　∠2(填“>”“<”或“=”).
４.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的.如图,P是△ABC的内角平分线的交点,已知P点到AB边的距离为1,△ABC的周长为10,则△ABC的面积为　　　　.
５.已知：如图，P是么AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D．
求证：(1)OC=OD；
(2)OP是CD的垂直平分线．
设计意图：让学生对利用新知识解决一些简单问题有更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理一些新问题．
第四环节：课时小结，形成网络
学生自我总结：谈谈本李课学习的收获。
设计意图：梳理本节知识，及时了解学习效果，反馈信息，并让学生看到发现问题、解决问题是多么愉快的事情，体会成功的喜悦，促进学生热爱数学学习的心理发展。
第五环节：新知运用，达标检测
1.如图,已知△ABC,求作一点P,使P到∠A的两边的距离相等,且PA=PB,下列确定P点的方法正确的是　(　　)
A.P是∠A与∠B两角平分线的交点
B.P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点
C.P为AC,AB两边上的高的交点
D.P为AC,AB两边的垂直平分线的交点
２.已知:如图,△ABC中,∠C=90°,点O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,点D,E,F分别是垂足,且AB=10,BC=8,CA=6,则点O到三边AB,AC和BC的距离分别等于　(　　)
A.2,2,2 B.3,3,3
C.4,4,4 D.2,3,5
３.(2012·通辽中考)如图,△ABC的三边AB,BC,CA长分别为40,50,60,其三条角平分线交于点O,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=　　　　.
４.如图所示，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N.
求证：BM＝CN.
设计意图：加深知识的巩固与应用，落实本节目标，做好堂堂清，了解学生对本课所学知识的掌握情况，发现不足，查漏补缺，从而达到理解、提升学生的应用能力目的．
第六环节：布置作业
必做题：课本32页习题１.10 第1、2题．
选做题：课本31页随堂练习，32页第４题
设计意图：对本节的认知技能进行分层训练，使每个学生都能得到相应的提高. 旨在体现了因材施教的教学原则，以满足让“不同的人在数学上得到不同的发展”．
板书设计
1.4 角平分线（二）
多媒体展示
老师板书：
三角形三条角平分线的性质
学生板书：
习题展示
教学反思：
首先，重视情境创设，让学生经历求知过程。使学生在数学活动的情景中去发现问题，解决问题。
其次，通过具体实践操作、猜想证明、语言转换，变式训练让学生感受知识的连贯性。　　　??
再次，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度，近一步发展学生推理证明的意识和应用能力。
最后，注重对学生的数学思想和数学方法的培养，通过对学生的引导加工上升为理性认识，从而获得新知，使学生的学习变为一个再创造的过程，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性，为学生今后获取知识以及探索和发现打下基础。
但在这节课的教学中还是有许多不足:
1.在具体的教学过程中，整个课堂显得时间仓促，没有给学生留下足够的时间和空间
2.教学语言不精练，有的话重复了好几遍，过多的点拨剥夺了学生的思维参与机会；
3.在实际教学中没能充分体现教师是学生学习的引导者，学生是学习的真正的主人。