2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册同步练习——6.3.1平面向量基本定理 （含答案）

6.3.1平面向量基本定理
一、单选题
1. 在中，D为AC的中点，，则( )
A. B. C. D.
2. 平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点靠近，则( )
A. B. C. D.
3. 在中，，，，AD为BC边上的高，O为AD上靠近点A的三等分点，且，其中，，则( )
A. B. C. D.
4. 如图所示，F为平行四边形ABCD对角线BD上一点，，若，则( )
A. B. C. D.
5. 已知平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，连接EF交AC于点M，且满足，，，则 ( )
A. B. 1 C. D.
6. 古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响．如图是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在正八边形ABCDEFGH中，若，则 ( )
A. B. C. D. 3
7. 如图，在中，点M是AB上的点且满足，N是AC上的点且满足，CM与BN交于P点，设，，则( )
A. B. C. D.
8. 在中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则的值为( )
A. B. C. D. 1
9. 在中，D，E分别为BC，AC边上的点，且，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题
10. 以下命题中不正确的是( )
A. 是共线的充要条件
B. 若，则存在唯一的实数，使得
C. 若，则
D. 若为平面的一组基底，则是构成平面的另外一组基底
11. 已知向量，不共线，则下列各组向量中，能作平面向量的一组基底的有( )
A. B.
C. D.
12. 已知向量满足，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则
C. ，有
D. 若，则的值唯一
三、填空题
13. i、j是两个不共线的向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则实数的值为______.
14. 在平行四边形ABCD中，，，，E为BC的中点，若线段DE上存在一点M满足，则的值是__________.
15. 如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为__________.
四、解答题
16. 如图，在边长为4的正中，E为AB的中点，D为BC中点，，令，，
试用、表示向量；
延长线段EF交AC于P，求的值.
如图，在梯形ABCD中，，且，设，
试用和表示；
若点P满足，且B，D，P三点共线，求实数的值．
18. 设G为的重心，过G作直线l分别交线段AB，不与端点重合于P，若，
求的值；
求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
解：因为，所以，所以，
故选：

2.【答案】D
解：
由题意：点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点靠近，
故选

3.【答案】C
解：在中，，所以，
所以
所以，
故选

4.【答案】C
解：，
由图可得：，
则，，
所以，
故选：

5.【答案】B
解：由已知，可得：，
所以，
因为E，F，M三点共线，所以，
故选：

6.【答案】C
解：
过C作并于AB的延长线交于点I，连接CH，
由可得，四边形AHCI为平行四边形，故，
又，则，
由于正八边形的内角为，所以，，
所以，所以，则
所以
故选：

7.【答案】B
解：由图可设，，，，
则由已知可得
，
又，
所以，解得，
所以，
故答案选：

8.【答案】A
解：设，
则
，
由，，，
故选：

9.【答案】A
解：如图，
设，且，则：
，
，
，解得
故选：

10.【答案】ABC
解：设与的夹角为， 因为，两边平方得，
则，则至少有一个为零向量或者即反向，故共线，但共线时，不能得到，因为共线时可能同向，则是共线的充分不必要条件，故A错误；
当，则不存在唯一的实数，使得，故B错误；
若，当时，不一定成立，故C错误；
若为平面的一组基底，则与不共线，则也不共线，能构成平面的另外一组基底，故D正确.
故选

11.【答案】ACD
解：已知向量，不共线，
A：无解，故A的两个向量不共线，所以能作为平面向量的一组基底；
CD：同理于A的分析，C、D两组向量可以为平面向量的一组基底；
B：因为，
所以，
所以不能作平面向量的基底.
故选

12.【答案】BC
解：因为向量，，满足，
所以对于A， ，则，故A错误；
对于B，，，
则
，故B正确；
对于C，，
所以，故C正确；
对于D，若，则向量，，共面，
此时，之间夹角关系不确定，即的值唯一是错误的，故D错误．
故选

13.【答案】7
【解析】解：
、B、D三点共线，
向量与共线，因此存在实数，使得，
即
与j是两不共线向量，由基本定理得：
，
解得，
故答案为：
14.【答案】
解：如图所示，因为，
设，其中，
所以
，
又，
则，解得，
故，
又，，，
所以
故答案为：

15.【答案】
解法1：因为，所以，
又，
所以
因为点三点共线，
所以，
解得：
解法2：
因为，设，
所以，
因为，所以，
又，
所以，
所以，
又，
所以 解得： ，
所以
故答案为

16.【答案】解：
；
令，，
，
，
，解得：，
，，

17.【答案】解：，，，
存在实数k满足：，
化为
，D，P三点共线，
，，
，
又
，解得，

18.【答案】解：连接AG并延长，交BC于M，则M是BC的中点，设，，
则，
①，
又②，
，
，G，Q三点共线，故存在实数t，使，
，两式相除消去t，
可得，；
由得，
，，，
解得
当时，取得最小值，当或2时，，
的取值范围是
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