高中数学 高二 人教A版（2019） 选择性必修 第二册 第四章 数列 4.1 数列的概念 课时练习（含解析）

高中数学 高二 人教A版（2019） 选择性必修 第二册
第四章 数列 4.1 数列的概念 课时练习
一、单选题
1．在数列中，，对于任意自然数，都有，则（　　）
A． B． C． D．
2．在数列中，，则（ ）
A．25 B．32 C．62 D．72
3．在数列中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．设数列前n项和为，已知，，则（ ）
A．410 B．408 C． D．
5．已知数列中，，（且），则数列通项公式为（ ）
A． B． C． D．
6．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，在某种玩法中，用表示解下（）个圆环所需的最少移动次数，满足，且，则解下4个圆环所需的最少移动次数为 （ ）
A．7 B．10 C．12 D．22
7．设为数列的前n项和，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．在数列中，，（，），则（ ）
A． B．1
C． D．2
9．现有下列说法：
①元素有三个以上的数集就是一个数列；
②数列1，1，1，1，…是无穷数列；
③每个数列都有通项公式；
④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；
⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．
其中正确的有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知数列，，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列没有最大项 B．此数列的最大项是
C．此数列没有最小项 D．此数列的最小项是
12．若数列满足，则（ ）
A．2 B．6 C．12 D．20
二、填空题
13．数列{an}满足a1＝0，，则a2015＝________.
14．已知数列的首项，前n项和为，且满足，则___________.
15．在数列中，，，则______．
16．已知数列满足，则数列的最大项为第________项．
17．若，则数列的最大项是第______项．
三、解答题
18．设数列满足，.
（1）求数列的通项公式;
（2）令，求数列的前项和.
19．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．
(1)，，，；
(2)，，，；
(3)3，4，3，4；
(4)6，66，666，6666．
20．已知数列的前项和，满足关系（，），求的通项公式．
21．（1）已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通项公式an；
（2）设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an.
22．已知二次函数（，）有且只有一个零点，数列的前n项和，求数列的通项公式.
23．已知数列{an}满足，a1+．
（1）求a1，a2的值
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，求证： n∈N*，＜1．
答案：
1．D
【分析】在数列的递推公式中依次取 ，得个等式，累加后再利用错位相减法求 .
【解析】，
，
，
，
，
以上个等式，累加得①
又②
① ②得
，
，
，
故选：D
【注意】本题主要考查了累加法求数列通项，乘公比错位相减法求数列的和，由通项公式求数列中的项，属于中档题.
2．B
【分析】令，故函数在上单调递减，在上单调递增，进而得当时，是单调递减数列，当时，是单调递增数列，再根据函数单调性去绝对值求和即可.
【解析】解：令函数，
由对勾函数的性质得函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，是单调递减数列，当时，是单调递增数列，
所以
所以
故选：B
3．D
【分析】首先求出数列的前几项，即可找出数列的周期，即可求出；
【解析】数列中，，，
所以，
当时，解得，
当时，解得，
当时，解得，
当时，解得，
故数列的周期为3，
所以，
故选：D．
4．A
【分析】求出推出周期为4，即可求得前820项的和.
【解析】由已知得：
所以数列是周期为的数列，
.
故选：A
5．C
【解析】由已知得，进而确定数列的通项公式，即可求.
【解析】由，知：且()，而，，
∴是首项、公比都为3的等比数列，即，
故选：C
【注意】思路注意：
1、构造辅助数列：且，可得的通项公式；
2、求通项公式：由辅助数列通项公式直接写出.
6．A
【分析】由递推式依次计算．
【解析】由题意知，，，
故选：A.
【注意】本题考查由递推式求数列的项，解题时按照递推公式依次计算即得．
7．A
【解析】由递推式求出数列的首项,当时分为偶数和奇数求出,代入后分组,然后利用等比数列的前项和公式求解.
【解析】由，
当时，，得；
当时，，即.
当n为偶数时，，所以（为正奇数），
当n为奇数时，，所以（为正偶数），
所以，所以，
所以，所以.
因为.
故选：A
【点晴】方法注意：本题考查已知数列与的关系式，求通项公式，分组求和，一般数列求和包含：
1、公式法，利用等差和等比数列的前项和公式求解；
2、错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；
3、裂项相消法求和，适用于能变形为；
4、分组转化法求和，适用于；
5、倒序相加法求和，适用于倒序相加后，对应的两项的和是常数的数列.
8．A
【分析】通过递推式求出数列前几项可得数列为周期数列，利用数列的周期性可得答案.
【解析】，，，
可得数列是以3为周期的周期数列，
.
故选：A.
【注意】本题考查数列的周期性，关键是通过递推式求出前几项观察出周期，是基础题.
9．B
【分析】根据给定条件，利用数列的定义逐一分析各个命题，判断作答.
【解析】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确；
对于②，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，②正确；
对于③，不是每个数列都有通项，如按精确度为得到的不足近似值，
依次排成一列得到的数列没有通项公式，③不正确；
对于④，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为，等，
即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，④不正确；
对于⑤，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，⑤不正确，
所以说法正确的个数是1.
故选：B
10．B
【分析】由，利用累加法得出.
【解析】由题意可得，
所以，，…，，
上式累加可得
，
又，所以.
故选：B.
11．B
【分析】令，则，，然后利用函数的知识可得答案.
【解析】令，则，
当时，
当时，，由双勾函数的知识可得在上单调递增，在上单调递减
所以当即时，取得最大值，
所以此数列的最大项是，最小项为
故选：B．
12．D
【分析】由已知条件变形可得，然后累乘法可得，即可求出
【解析】由得，
，
.
故选：D
13．
【分析】根据题中所给的递推公式和首项的大小，依次代入，求得数列的前四项，得到，得到数列{an}的循环周期为3，从而得到a2015＝a2，求得结果.
【解析】由，，
得，
，
，
所以数列{an}的循环周期为3.
故a2015＝a3×671＋2＝a2＝.
故答案为：.
【注意】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有数列的递推公式，周期数列的判断，求数列的某项，属于简单题目.
14．
【分析】直接利用递推公式求出.
【解析】∵，
∴当n=1时，，∴，
当n=2时，，∴，
当n=3时，，∴.
故答案为：
15．30
【分析】根据递推公式即可逐一递推求解.
【解析】由得，当时，，当时，，当时，，当时，，
故答案为：
16．4
【分析】由，与1比较大小，分析数列的单调性，即得解
【解析】由题意，，
故，
令，解得；令，解得；
故时，；时，，
故数列的最大项为第4项.
故答案为：4
17．7
【分析】，对应的二次函数为，对称轴为，找到离对称轴最近的整数即可．
【解析】，其对应的二次函数为，
对称轴为，但为正整数，所以离最近的整数为7，
所以在第7项取最大值．
故答案为：7.
18．（1），；（2），.
【分析】（1）利用累加法求通项公式；
（2）利用错位相减法以及等比数列求和公式即可得出.
【解析】（1）由已知，当时，
，
当时，符合上式，
，.
（2）由（1）知，
①
②
①-②得
所以，，.
【注意】数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
19．(1)；
(2)；
(3) ；
(4).
【分析】（1）（2）（3）（4）观察给定的4项，结合数据特征写出一个通项作答.
【解析】（1）4个项都是分数，它们的分子依次为，分母是正奇数，依次为，
所以给定4项都满足的一个通项公式为.
（2）4个项按先负数，后正数，正负相间排列，其绝对值的分子依次为，分母比对应分子多1，
所以给定4项都满足的一个通项公式为.
（3）4个项是第1，3项均为3，第2，4项均为4，所以给定4项都满足的一个通项公式为.
（4）4个项，所有项都是由数字6组成的正整数，其中6的个数与对应项数一致，
依次可写为，
所以给定4项都满足的一个通项公式为.
20．
【分析】由求出，根据与的关系即可求出.
【解析】由得，
则时，；
时，，
当n=1时，，
∴
21．（1）an＝－ (n∈N*)；（2）an＝ (n∈N*)．
【分析】（1）由已知条件可得an＋1－an＝，然后利用累加法可求出通项公式an.
（2）由an＝an－1，可得＝，然后利用累乘法可求出通项公式
【解析】（1）∵an＋1－an＝，
∴a2－a1＝；
a3－a2＝；
a4－a3＝；
…
an－an－1＝.
以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋
＝＋＋…＋＝1－.
∴an＋1＝1－，
∴an＝－ (n≥2)．
又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，
∴an＝－ (n∈N*)．
（2）∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，
∴＝，
an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝.
又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝ (n∈N*)．
22．.
【分析】二次函数（，）有且只有一个零点，求出，进而求出，再根据前项和与通项的关系，即可求出通项.
【解析】令，则，
所以或.又由，得，所以.
所以.
当时，；
当时，.
不满足上式，
所以
23．（1）a1＝1．a2＝4；（2）；（3）证明见解析.
【分析】（1）直接利用递推关系式求出结果；
（2）a1+①，当n≥2时，②，两式相减即可求出数列的通项公式；
（3）根据题意＝，利用裂项相消法在数列求和中的应用和放缩法的应用求出结果．
【解析】（1）数列{an}满足，a1+①．
当n＝1时，a1＝1．
当n＝2时，，解得a2＝4．
（2）当n≥2时，②，
①﹣②得：＝n，
所以（适合）．
故．
（3）根据题意＝，
所以＝1﹣＜1，
当n＝1时，．
且函数为增函数，
所以 n∈N*，＜1．
【点评】本题主要考查数列的通项公式的求法及应用，考查裂项相消法在数列求和中的应用，考查函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．