白塔中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题
参考答案
1．C
【分析】应用特殊值法以及指数函数的单调性判断A、B、D的正误，进而可得正确选项.
【详解】A中，令，，可知，；
B中，令，，可知；
C中，，即知；
D中，由指数函数单调性可知，；
所以ABD均错误．
故选：C.
2．A
【分析】直接根据奇函数的对称性得到答案.
【详解】由奇函数的图象的对称性，可知这2021个实数根两两之和为0且，故和为0.
故选：A.
3．C
【解析】首先根据题意得到，再，利用换元法求函数的值域即可.
【详解】因为，令，则，
所以，
当时，函数取得最大值，
故选：C
【点睛】本题主要考查换元法求函数的值域，属于简单题.
4．B
【分析】由题意得，则，然后利用基本不等式可求得结果
【详解】由于，则，
故
当且仅当，即时取到等号，
因此的最小值为6．
故选：B
5．B
【分析】根据属于符号的意义即可判断①正确，②错误，再根据全称命题和特称命题的定义即可判断③正确，④⑤错误.
【详解】对①，正确.
对②，“”为元素与集合间的关系，故②错误；
对③，，，则，故③正确.
对④，，解得，所以，错误，故④错误.
对⑤，因为，当时，，故⑤错误.
故选B
6．A
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】由不等式性质由得，充分性满足，但，时，满足，但不满足，不必要．应为充分不必要条件．
故选：A．
7．C
【分析】y＝f(x)＋3x的零点个数就是y＝f(x)与y＝－3x两个函数图象的交点个数，列方程可得有2个解，即原函数有2个零点.
【详解】函数y＝f(x)＋3x的零点个数就是y＝f(x)与y＝－3x两个函数图象的交点个数，
当时，与y＝－3x无交点
当时，令或时， 有2个交点，
所以函数有2个零点
故选：C
【点睛】本题考查了函数的零点个数问题，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
8．D
【分析】对A，根据环的定义可判断；对B，根据子集个数可判断；对C，存在满足；对D，根据环的定义可得出中至少8个元素.
【详解】对A，由题意可得满足环的两个要求，故F是U的一个环，故A正确，不符合题意；
对B，若，则U的子集有8个，则U的所有子集构成的集合F满足环的定义，且有8个元素，故B正确，不符合题意；
对C，如满足环的要求，且含有4个元素，，故C正确，不符合题意.
对D，，，，，
，，
再加上，中至少8个元素，故D错误，符合题意.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题考查集合新定义，解题的关键是正确理解环的定义.
9．BD
【分析】利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.
【详解】选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误.
故选：BD.
10．ABCD
【分析】结合基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可判断ACD；对B选项，需变换，才能使用基本不等式判断.
【详解】A中，因为，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，故A正确；
B中，因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以成立，故B正确；
C中，因为，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，而，所以成立，故C正确；
D中，因为，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以成立，故D正确；
故选：ABCD
11．AD
【分析】A．由不等式的性质判断；B.举例判断；C.由判断； D.作差判断.
【详解】A．由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故正确；
B. 当时，，故错误；
C.当时，故错误；
D.，因为，，，所以，故正确；
故选：AD
12．AC
【分析】根据函数的解析式，求其定义域，奇偶性，单调性即可.
【详解】函数定义域为，
又满足，所以函数是偶函数，图象关于y轴对称，A正确；
函数，当时，令，原函数变为，在上是减函数，在上是增函数，所以在上是减函数，在上是增函数，，又是偶函数，所以函数的最小值是，故BD不正确，C正确
故选：AC．
13．1
【分析】利用函数的解析式，由内到外逐层计算，即可得出的值.
【详解】解：，
，则.
故答案为：1.
14．4
【分析】先运用列举法将集合化简，通过集合间的包含关系可得答案.
【详解】解：因为，，
又，所以或或或；
所以集合的个数为4.
故答案为：4.
15．或
【解析】先根据，，利用并集的定义求得，再利用交集的定义与或求解.
【详解】因为集合，，
所以，
又因为或，
所以或，
故答案为：或
【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
16．
【分析】由偶次根式有意义,可得定义域为,再根据复合函数的同增异减法则可得.
【详解】由解得:,
所以函数的定义域为: ,
令,则为增函数,
由在递增,可得函数的增区间是: .
故答案为:
【点睛】本题考查了求复合函数的单调区间,注意函数的定义域,属于基础题.
17．
【分析】由题设A是的真子集，结合已知集合的描述列不等式求a的范围.
【详解】由“”是“”的充分不必要条件，即A是的真子集，
又，，
所以，可得，则实数a的取值范围为．
18．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据交集、补集的定义进行运算即可；
（2）根据并集和补集的定义进行运算即可；
（3）根据子集的定义可以求解出的取值范围.
【详解】（1）.，，，.
（2），.
（3），解得.
【点睛】本题考查了交集、并集、补集定义，考查了子集的定义.
19．（1）；（2）.
【解析】（1）根据函数解析式直接计算可得；
（2）依题意可得即，设
证明函数的单调性即可得到函数的最值，从而得到参数的取值范围.
【详解】（1）因为：
所以，，解得
（2）当时，，且.
因此
设（判断或证明单调性均给分）
任取，，且，则
因为是增函数，所以，
又因为，，所以，
所以，，所以在区间上单调递增，
所以,
又因为在上恒成立，
所以，.
【点睛】关键点点睛：根据不等式恒成立，解题的关键是将不等式分离参数，转化为，将问题转化为求函数的最值.
20．（1）2；（2）；（3）.
【分析】(1)令x=0，直接求出f(0)即可；
(2)把x换成-x，写出f(-x)的表达式，结合f(x)计算即可；
(3)根据(2)可把不等式分离参数，利用换元法得到新的函数，根据函数的单调性求出函数的最小值即可.
【详解】解：（1）令，得，
解得．
（2）因为①，
所以②，
得，
即．
（3）由（2）知等价于．
令，
设函数，易知在上单调递增，
从而，
则，即m的取值范围为．
21．(1)
(2)
【分析】（1）直接代入求解即可；
（2）根据分段函数解方程即可.
【详解】（1）得，
，
，
；
（2）当时，由得解得；
当m＜0时，由得，无实数解，
综上所述，.
22．(1)
(2)
【分析】（1）过分别作于，于，于，于，然后根据题意利用勾股定理可求得结果；
（2）由基本不等式得，然后利用此结论，结合（1）的结果可求得答案.
【详解】（1）过分别作于，于，于，于，则
，
所以.
（2）根据基本不等式，得，
所以，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.白塔中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题
一、单选题
1．若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知是奇函数，若方程有2021个实数根，则这2021个实数根之和为（ ）
A．0 B．1010 C．1008 D．2021
3．设函数，则函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则函数的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．给出下列关系：①；②；③ x∈R，＋1>0；④ x∈Q，x2＝2；⑤ x∈N，x2>0.其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，如果F同时满足：①，②若，则且，那么称F是U的一个环，下列说法错误的是（ ）
A．若，则是U的一个环
B．若，则存在U的一个环F，F含有8个元素
C．若，则存在U的一个环F，F含有4个元素且
D．若，则存在U的一个环F，F含有7个元素且
二、多选题
9．下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（ ）
A．3x+4<0 B．x2+mx-1>0 C．ax2+4x-7>0 D．x2<0
10．下列命题中正确的是（ ）
A．当1时， B．当时，
C．当时， D．当时，
11．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，，则
12．关于函数，则下列说法正确的是（ ）
A．其图象关于y轴对称
B．当时，是增函数；当时，是减函数
C．的最小值是
D．无最大值，也无最小值
三、填空题
13．若函数则________．
14．已知集合，那么满足条件的集合的个数为_________.
15．设集合，，或，，则________．
16．函数的增区间是______.
四、解答题
17．已知集合，．若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．已知全集，集合，．
求：（1），，；
（2），；
（3）设集合且，求的取值范围；
19．已知函数.
（1）若，求的值；
（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.
20．已知函数满足．
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）若对恒成立，求m的取值范围．
21．已知函数且.
(1)求；
(2)若，求实数m的值.
22．已知ABCD是边长为1的正方形，点是正方形内一点，且点到边AD的距离为，点到边AB的距离为.
(1)用x，y表示；
(2)求的最小值.
