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第四章 三角函数
考点一、三角函数的定义、三角函数的基本关系与诱导公式
1.设P(x,y)是角α的终边上任意一点,记r=|OP|=,则sin α=,cos α=,tan α=(x≠0).
三角函数值在各象限内符号为正的口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
2.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系:tan α=.
3.三角函数的诱导公式
组序 一 二 三 四 五 六
角 2kπ+α π+α -α π-α -α +α
正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α
正切 tan α tan α -tan α -tan α
口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变,符号看象限
4.特殊角的三角函数值
角α度数 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
角α的弧度数 0 π
sin α 0 1 0
cos α 1 0 - - - -1
tan α 0 1 - -1 - 0
[学业水平考试真题]
1.(2017年1月广东学考)已知角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,终边过点P(,-2),下列等式不正确的是( )
A.sin α=- B.sin(α+π)= C.cos α= D.tan α=-
2.(2018年1月广东学考)若sin=,且0<θ<π,则tan θ= .
3.(2019年1月广东学考)已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(4,-3),则cos α= .
4.(2020年1月广东学考)若sinα>0,且cosα<0,则角α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
5.(2021年1月广东学考)已知,则的值为( )
A. B. C. D.
[学业水平考试最新模拟题]
1.(2018年深圳市学考模拟题)已知角β的终边经过点P(1,-2),则sin β=( )
A.-2 B.- C.- D.
2.(2019年东莞学考模拟题)已知角α的终边与单位圆交于点,则tan α等于( )
A.- B.- C.- D.-
3.(2019年佛山高一期中)已知点P(tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在第 象限.
4.(2018年揭阳高一月考)sin 600°的值是( )
A. B. C.- D.-
5.(2019年韶关高二期末)已知sin α=,则cos=( )
A. B.- C. D.-
6.(2018年广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)如果cos(π+A)=-,那么sin=( )
A.- B. C.- D.
7.化简的结果是( )
A.-1 B.1 C.tan α D.-tan α
8.(2015年福建高考)若sin α=-,且α为第四象限角,则tan α的值等于( )
A. B.- C. D.-
9.已知α是第四象限角,cos α=,则tan(π+α)等于( )
A. B.- C. D.-
10.已知tan α=2,则的值为________.
11.已知sin(2π-α)=,α∈,则等于( )
A. B.- C.-7 D.7
12.若tan α=2,则 4sin2α-3sin αcos α-5cos2α=________.
考点二、三角函数的图象和性质
1.三角函数的图象和性质(k∈Z)
解析式 y=sin x y=cos x y=tan x
图象
定义域 R R {x|x∈R且x≠kπ+}
值域 [-1,1] [-1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 在上递增,在上递减 在[2kπ-π,2kπ]上递增,在[2kπ,2kπ+π]上递减 在上都是增函数
最值 x=+2kπ时,ymax=1;x=-+2kπ时,ymin=-1 x=2kπ时,ymax=1;x=2kπ+π时,ymin=-1 无
对称性 对称中心:(kπ,0)对称轴:x=kπ+, 对称中心:对称轴:x=kπ, 对称中心:对称轴:无
2.函数y=Asin(ωx+φ)的有关概念
最值A,最小正周期T=,相位ωx+φ.
3.由y=sin x的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种方法
(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移
[学业水平考试真题]
1.(2018年1月广东学考)函数f(x)=4sin xcos x,则f(x)的最大值和最小正周期分别为( )
A.2和π B.4和π C.2和2π D.4和2π
2.(2021年1月广东学考)为了得到函数的图像,只需要把函数的图像上所有的点( )
A.向右平行移动个单位长度 B.向左平行移动个单位长度
C.向右平行移动个单位长度 D.向左平行移动个单位长度
[学业水平考试最新模拟题]
1.(2019年惠州学考模拟题)函数f(x)=x+sin x,x∈R( )
A.是奇函数 B.是偶函数
C.既是奇函数,又是偶函数 D.既不是奇函数,又不是偶函数
2.(2021年全国Ⅰ卷)下列区间中,函数单调递增的区间是( )
A. B. C. D.
3.(2017年全国卷Ⅱ )函数f(x)=sin的最小正周期为( )
A.4π B.2π C.π D.
4.已知函数f(x)=2sin (ωx+)(ω>0)的最小正周期为4π,则该函数的图象( )
A.关于点(,0)对称 B.关于点(,0)对称
C.关于直线x=对称 D.关于直线x=对称
5.(2016年武汉调研)已知函数f(x)=sin(x∈R),下列结论错误的是( )
A.函数f(x)是偶函数 B.函数f(x)的最小正周期为π
C.函数f(x)在区间上是增函数 D.函数f(x)的图象关于直线x=对称
6.(2019年深圳高一月考)为了得到函数y=2sin的图象,可以将函数y=2sin 2x的图象( )
A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
7.(2016年湖北八校第二次联考)把函数y=sin x(x∈R)的图象上所有点向左平移个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到图象的函数表达式为( )
A.y=sin B.y=sin C.y=sin D.y=sin
8.(2016年全国卷Ⅰ)将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为( )
A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin
9.(2019年东莞市学考模拟题)下列函数中,图象的一部分如图所示的是( )
A.y=sin B.y=sin C.y=cos D.y=cos
10.(2018年深圳市高一期中)函数f(x)=sin(2x+φ)(其中φ为常数,|φ|<)的部分图象如图所示,则φ= .
11.(2015年全国卷Ⅰ) 函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )
A. B.
C. D.
考点三、三角恒等变换
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)=sinα cosβ ± cosα sinβ;
(2)cos(α±β)=cosα cosβ sinαsinβ;
(3)tan(α±β)=.
2.二倍角公式
(1)sin 2α=2sinα cosα;
(2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
(3)tan 2α=.
[学业水平考试真题]
1.(2017年1月广东学考)函数f(x)=sin xcos(x+1)+sin(x+1)cos x的最小正周期是____________.
2.(2020年1月广东学考)已知函数.
(1)求函数的最小正周期和最大值;
(2)若满足,求的值.
3.(2021年1月广东学考)已知,则= .
[学业水平考试最新模拟题]
1.(2018年广东省普通高中学业水平测试数学模拟测试卷(考前压题篇))sin 27°cos 18°+cos 27°sin 18°的值为( )
A. B. C. D.1
2.(2019年全国Ⅰ卷)tan 255°=( )
A.-2- B.-2+ C.2- D.2+
3.已知cos α=-,α是第三象限角,则cos的值为( )
A. B.- C. D.-
4.(2020年全国Ⅱ卷)若sin x=-,则cos 2x=________.
5.(2018年揭阳学考模拟题)如果α为锐角,sin α=,那么sin 2α的值等于( )
A. B. C.- D.-
6.(2019年广州高一月考)已知cos x=,则cos 2x等于( )
A.- B. C.- D.
7.(2019年深圳市学考模拟)sin 15°sin 75°的值是( )
A. B. C. D.
8.(2018年潮州市高一期中)若tan α=,则tan 2α的值为( )
A.1 B.- C. D.
参考答案
考点一、三角函数的定义、三角函数的基本关系与诱导公式
[学业水平考试真题]
1.(2017年1月广东学考)已知角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,终边过点P(,-2),下列等式不正确的是( D )
A.sin α=- B.sin(α+π)= C.cos α= D.tan α=-
2.(2018年1月广东学考)若sin=,且0<θ<π,则tan θ= .
3.(2019年1月广东学考)已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(4,-3),则cos α= .
4.(2020年1月广东学考)若sinα>0,且cosα<0,则角α是( B )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
5.(2021年1月广东学考)已知,则的值为( A )
A. B. C. D.
[学业水平考试最新模拟题]
1.(2018年深圳市学考模拟题)已知角β的终边经过点P(1,-2),则sin β=( C )
A.-2 B.- C.- D.
2.(2019年东莞学考模拟题)已知角α的终边与单位圆交于点,则tan α等于( D )
A.- B.- C.- D.-
3.(2019年佛山高一期中)已知点P(tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在第 二 象限.
4.(2018年揭阳高一月考)sin 600°的值是( C )
A. B. C.- D.-
5.(2019年韶关高二期末)已知sin α=,则cos=( B )
A. B.- C. D.-
6.(2018年广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)如果cos(π+A)=-,那么sin=( B )
A.- B. C.- D.
7.化简的结果是( C )
A.-1 B.1 C.tan α D.-tan α
8.(2015年福建高考)若sin α=-,且α为第四象限角,则tan α的值等于( D )
A. B.- C. D.-
9.已知α是第四象限角,cos α=,则tan(π+α)等于( D )
A. B.- C. D.-
10.已知tan α=2,则的值为____3____.
11.已知sin(2π-α)=,α∈,则等于( A )
A. B.- C.-7 D.7
12.若tan α=2,则 4sin2α-3sin αcos α-5cos2α=____1____.
考点二、三角函数的图象和性质
[学业水平考试真题]
1.(2018年1月广东学考)函数f(x)=4sin xcos x,则f(x)的最大值和最小正周期分别为( A )
A.2和π B.4和π C.2和2π D.4和2π
2.(2021年1月广东学考)为了得到函数的图像,只需要把函数的图像上所有的点( A )
A.向右平行移动个单位长度 B.向左平行移动个单位长度
C.向右平行移动个单位长度 D.向左平行移动个单位长度
[学业水平考试最新模拟题]
1.(2019年惠州学考模拟题)函数f(x)=x+sin x,x∈R( A )
A.是奇函数 B.是偶函数
C.既是奇函数,又是偶函数 D.既不是奇函数,又不是偶函数
2.(2021年全国Ⅰ卷)下列区间中,函数单调递增的区间是( A )
A. B. C. D.
3.(2017年全国卷Ⅱ )函数f(x)=sin的最小正周期为( C )
A.4π B.2π C.π D.
4.已知函数f(x)=2sin (ωx+)(ω>0)的最小正周期为4π,则该函数的图象( B )
A.关于点(,0)对称 B.关于点(,0)对称
C.关于直线x=对称 D.关于直线x=对称
5.(2016年武汉调研)已知函数f(x)=sin(x∈R),下列结论错误的是( D )
A.函数f(x)是偶函数 B.函数f(x)的最小正周期为π
C.函数f(x)在区间上是增函数 D.函数f(x)的图象关于直线x=对称
6.(2019年深圳高一月考)为了得到函数y=2sin的图象,可以将函数y=2sin 2x的图象( A )
A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
7.(2016年湖北八校第二次联考)把函数y=sin x(x∈R)的图象上所有点向左平移个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到图象的函数表达式为( C )
A.y=sin B.y=sin C.y=sin D.y=sin
8.(2016年全国卷Ⅰ)将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为( D )
A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin
9.(2019年东莞市学考模拟题)下列函数中,图象的一部分如图所示的是( D )
A.y=sin B.y=sin C.y=cos D.y=cos
10.(2018年深圳市高一期中)函数f(x)=sin(2x+φ)(其中φ为常数,|φ|<)的部分图象如图所示,则φ= .
11.(2015年全国卷Ⅰ) 函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( D )
A. B.
C. D.
考点三、三角恒等变换
[学业水平考试真题]
1.(2017年1月广东学考)函数f(x)=sin xcos(x+1)+sin(x+1)cos x的最小正周期是______π______.
2.(2020年1月广东学考)已知函数.
(1)求函数的最小正周期和最大值;
(2)若满足,求的值.
解:(1)函数的最小正周期是,的最大值是1.
(2)由,得,
所以.
3.(2021年1月广东学考)已知,则= ﹣3 .
[学业水平考试最新模拟题]
1.(2018年广东省普通高中学业水平测试数学模拟测试卷(考前压题篇))sin 27°cos 18°+cos 27°sin 18°的值为( A )
A. B. C. D.1
2.(2019年全国Ⅰ卷)tan 255°=( D )
A.-2- B.-2+ C.2- D.2+
3.已知cos α=-,α是第三象限角,则cos的值为( A )
A. B.- C. D.-
4.(2020年全国Ⅱ卷)若sin x=-,则cos 2x=________.
5.(2018年揭阳学考模拟题)如果α为锐角,sin α=,那么sin 2α的值等于( A )
A. B. C.- D.-
6.(2019年广州高一月考)已知cos x=,则cos 2x等于( D )
A.- B. C.- D.
7.(2019年深圳市学考模拟)sin 15°sin 75°的值是( C )
A. B. C. D.
8.(2018年潮州市高一期中)若tan α=,则tan 2α的值为( D )
A.1 B.- C. D.
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