中小学教育资源及组卷应用平台
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
学习目标 把握航向 目的明确
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.
2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示.
3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．
重点：向量加、减运算的坐标表示．
难点：对向量坐标表示的理解．
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
注意点：
正交分解可看成是平面向量基本定理的特例，平面向量基本定理是把平面内的任意一个向量分解为任意两个不共线的向量，正交分解则是这个不共线向量互相垂直的特殊形式.
知识点二 平面向量的坐标表示
1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).
2.在直角坐标平面中，i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0).
注意点：
(1)a＝(x，y)中的x，y实际上是由平面向量基本定理得出来的，所以x，y的值是唯一确定的；
(2)向量的坐标表示是继向量的几何表示、字母表示后的又一种表示方法，向量的坐标表示实际上是向量的代数表示；
(3)由向量的坐标表示的定义可知，两向量相等等价于它们的横、纵坐标分别相等，即a＝b x1＝x2且y 1＝y 2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).但表示两个相等向量的有向线段的起点、终点的坐标却可以不同.
(4)点的坐标与向量坐标的区别和联系：
区别 表示形式不同 向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号
意义不同 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)
联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同
知识点三 平面向量加、减运算的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
数学公式 文字语言表述
向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
注意点：
(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关；
(2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变；
(3)在求一个向量的坐标时，可以先求出这个向量的起点和终点的坐标，再用终点坐标减去起点坐标即可得到该向量的坐标；
(4)“向量坐标”、“起点坐标”和“终点坐标”三者之间，只要已知两个便可以求出第三个，即知二求一.
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一 平面向量的坐标表示
例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形.
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求向量的坐标；
(3)求点B的坐标.
解：(1)作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA·cos 45°＝4×＝2，AM＝OA·sin 45°＝4×＝2.
∴A(2，2)，故a＝(2，2).
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°.
又∵OC＝AB＝3，
∴C，∴＝＝，即b＝.
(2)＝－＝.
(3)＝＋＝(2，2)＋＝.
∴点B的坐标为.
反思感悟：(1)向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标；(2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．
跟踪训练1 已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标．
解：如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，
∴C(1，)，D(，)，
∴＝(2，0)，＝(1，)，
＝(1－2，－0)＝(－1，)，
＝(－2，－0)＝(－，)．
题型二 平面向量的坐标运算
例2 已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，
求(1)－；(2)＋2；(3)－.
解：∵A(2，－4)，B(0，6)，C(－8，10)．
∴＝(0，6)－(2，－4)＝(－2，10)，
＝(－8，10)－(2，－4)＝(－10，14)，
＝(－8，10)－(0，6)＝(－8，4)．
∴(1)－＝(－2，10)－(－10，14)＝(8，－4)．
(2)＋2＝(－2，10)＋2(－8，4)＝(－18，18)．
(3)－＝(－8，4)－(－10，14)＝(－3，－3)．
反思感悟：(1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算．
跟踪训练2 已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.
解：(1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7)．
(2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1)．
(3)a－b＝(－1，2)－(2，1)＝－＝.
题型三 平面向量坐标运算的应用
例3 已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)．若＝＋λ(λ∈R)，试求λ为何值时，
(1)点P在一、三象限角平分线上；
(2)点P在第三象限内．
解：设点P的坐标为(x，y)，
则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，
＋λ＝(5，4)－(2，3)＋λ[(7，10)－(2，3)]＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∵＝＋λ，
∴则
(1)若P在一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝.
(2)若P在第三象限内，则∴λ<－1.
∴λ＝时，点P在第一、第三象限角平分线上；λ<－1时，点P在第三象限内．
反思感悟：(1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．(2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．
跟踪训练3 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3，7)，(4，6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．
解：不妨设A(3，7)，B(4，6)，C(1，－2)．第四个顶点为D(x，y)．
则A、B、C、D四点构成平行四边形有以下三种情形．
(1)当平行四边形为ABCD时，＝，
设点D的坐标为(x，y)，
∴(4，6)－(3，7)＝(1，－2)－(x，y)，∴ ∴ ∴D(0，－1)；
(2)当平行四边形为ABDC时，仿(1)可得D(2，－3)；
(3)当平行四边形为ADBC时，仿(1)可得D(6，15)．
综上所述，第四个顶点的坐标可能为(0，－1)，(2，－3)或(6，15)．
习题精练 基础落实 强化落实
选择题
1.已知M(2，3)，N(3，1)，则的坐标是( )
A.(2，－1) B.(－1，2) C.(－2，1) D.(1，－2)
答案：B
解析：＝－＝(2,3)－(3,1)＝(－1,2).
2.已知a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则a－b等于( )
A.(1，2) B.(2，0) C.(0，2) D.(2，1)
答案：C
解析：a－b＝(1，1)－(1，－1)＝(0，2).
3.已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是( )
A. B. C.(－8，1) D.(8，1)
答案：A
解析：∵＝－＝(－8，1)，∴＝.
4.已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )
A. B. C.(3，2) D.(1，3)
答案：A
解析：设D点坐标为(x，y)，则＝(4，3)，＝(x，y－2)，由＝2得∴，∴D(2，)．
5.设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d等于( )
A.(2，－6) B.(－2，6) C.(－2，－6) D.(0，0)
答案：C
解析：∵4a,4b－2c,2(a－c)，d能首尾相接构成四边形，∴4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，∴6a＋4b－4c＋d＝0∴d＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)＝(－2，－6)．
6.已知向量a＝(2，－3)，b＝(1，2)，p＝(9，4)，若p＝ma＋nb，则m＋n等于( )
A.－7 B.7 C.±7 D.0
答案：B
解析：由，解得,所以m＋n＝7.
7.设＝(2，3)，＝(m，n)，＝(－1，4)，则等于( )
A.(1＋m，7＋n) B.(－1－m，－7－n) C.(1－m，7－n) D.(－1＋m，－7＋n)
答案：B
解析：＝＋＋＝－－－＝－(－1，4)－(m，n)－(2，3)＝(－1－m，－7－n).
8.已知M(－2，7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且＝，则P点的坐标为( )
A.(－14，16) B.(22，－11) C.(6，1) D.
答案：D
解析：设P(x，y)，则＝(10－x，－2－y)，＝(x＋2，y－7)，∵＝，即∴
9.向量＝(7，－5)，将按向量a＝(3，6)平移后得到向量，则的坐标形式为( )
A.(10，1) B.(4，－11) C.(7，－5) D.(3，6)
答案：C
解析：与方向相同且长度相等，故＝＝(7，－5).
10.已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，那么a－b等于( )
A.(4，0) B.(0，4) C.(3，－6) D.(－3，6)
答案：C
解析：∵a∥b，∴设a＝λb，则得∴b＝(－2，4)，
∴a－b＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6).
二、填空题
11.已知A(2，0)，a＝(x＋3，x－3y－5)，若a＝，其中O为原点，则x＝________，y＝________.
答案：－1 －2
解析：由题意知解得
12.已知平面上三点A(2，－4)，B(0，6)，C(－8，10)，则＋的坐标是________.
答案：(－18，18)
解析：＋＝(－8－2，10－(－4))＋(－8－0，10－6)＝(－10，14)＋(－8，4)＝(－18，18).
13.已知A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，0)，D(x，y)，且＝2，则x＋y＝________.
答案：
解析：∵＝(－2，0)－(－1，－2)＝(－1，2)，＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，
又2＝，即(2x－4，2y－6)＝(－1，2)，∴ 解得 ∴x＋y＝.
14.已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1，2)，则顶点D的坐标为________．
答案：(7，－6)
解析：设D(x，y)，由＝，∴(x－5，y＋1)＝(2，－5)．∴x＝7，y＝－6.
15.已知A，B(1，4)，且＝(sin α，cos β)，α，β∈，则α＋β＝________.
答案：或－
解析：由题意知＝＝(sin α，cos β)，∴sin α＝－，cos β＝，
又∵α，β∈，∴α＝－，β＝或－，∴α＋β＝或－.
三、解答题
16.在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标.
解：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，
则a1＝|a|cos 45°＝2×＝，a2＝|a|sin 45°＝2×＝，
b1＝|b|cos 120°＝3×＝－，b2＝|b|sin 120°＝3×＝，
c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2，c2＝|c|sin(－30°)＝4×＝－2.
因此a＝(，)，b＝，c＝(2，－2).
17.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2).若＋＋＝0，求的坐标.
解：设点P的坐标为(x，y)，
因为＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y).
所以解得
所以点P的坐标为(2，2)，故＝(2，2).
18.已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点.
解：设D(x，y)，
当平行四边形为ABCD时，由＝(1，2)，＝(3－x，4－y)，且＝，得D(2，2).
当平行四边形为ACDB时，由＝(1，2)，＝(x－3，y－4)，且＝，得D(4，6).
当平行四边形为ACBD时，由＝(5，3)，＝(－1－x，3－y)，且＝.得D(－6，0).
故D点坐标为(2，2)或(4，6)或(－6，0).
19.已知O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设＝a，＝b，＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用a，b表示c.
解：如图，以O为原点，为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，
由三角函数的定义，得B(cos 150°，sin 150°)，C(3cos 240°，3sin 240°)．
即B(－，)，C(－，－)，
又∵A(2，0)，
故a＝(2，0)，b＝(－，)，c＝(－，－)．
设c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，∴(－，－)＝λ1(2，0)＋λ2(－，)＝(2λ1－λ2，λ2)，
∴∴
∴c＝－3a－3b.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
6.3.2~6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示、向量加、减运算的坐标表示 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
学习目标 把握航向 目的明确
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.
2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示.
3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．
重点：向量加、减运算的坐标表示．
难点：对向量坐标表示的理解．
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
注意点：
正交分解可看成是平面向量基本定理的特例，平面向量基本定理是把平面内的任意一个向量分解为任意两个不共线的向量，正交分解则是这个不共线向量互相垂直的特殊形式.
知识点二 平面向量的坐标表示
1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).
2.在直角坐标平面中，i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0).
注意点：
(1)a＝(x，y)中的x，y实际上是由平面向量基本定理得出来的，所以x，y的值是唯一确定的；
(2)向量的坐标表示是继向量的几何表示、字母表示后的又一种表示方法，向量的坐标表示实际上是向量的代数表示；
(3)由向量的坐标表示的定义可知，两向量相等等价于它们的横、纵坐标分别相等，即a＝b x1＝x2且y 1＝y 2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).但表示两个相等向量的有向线段的起点、终点的坐标却可以不同.
(4)点的坐标与向量坐标的区别和联系：
区别 表示形式不同 向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号
意义不同 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)
联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同
知识点三 平面向量加、减运算的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
数学公式 文字语言表述
向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
注意点：
(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关；
(2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变；
(3)在求一个向量的坐标时，可以先求出这个向量的起点和终点的坐标，再用终点坐标减去起点坐标即可得到该向量的坐标；
(4)“向量坐标”、“起点坐标”和“终点坐标”三者之间，只要已知两个便可以求出第三个，即知二求一.
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一 平面向量的坐标表示
例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形.
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求向量的坐标；
(3)求点B的坐标.
反思感悟：(1)向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标；(2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．
跟踪训练1 已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标．
题型二 平面向量的坐标运算
例2 已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，
求(1)－；(2)＋2；(3)－.
反思感悟：(1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算．
跟踪训练2 已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.
题型三 平面向量坐标运算的应用
例3 已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)．若＝＋λ(λ∈R)，试求λ为何值时，
(1)点P在一、三象限角平分线上；
(2)点P在第三象限内．
反思感悟：(1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．(2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．
跟踪训练3 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3，7)，(4，6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．
习题精练 基础落实 强化落实
选择题
1.已知M(2，3)，N(3，1)，则的坐标是( )
A.(2，－1) B.(－1，2) C.(－2，1) D.(1，－2)
2.已知a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则a－b等于( )
A.(1，2) B.(2，0) C.(0，2) D.(2，1)
3.已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是( )
A. B. C.(－8，1) D.(8，1)
4.已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )
A. B. C.(3，2) D.(1，3)
5.设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d等于( )
A.(2，－6) B.(－2，6) C.(－2，－6) D.(0，0)
6.已知向量a＝(2，－3)，b＝(1，2)，p＝(9，4)，若p＝ma＋nb，则m＋n等于( )
A.－7 B.7 C.±7 D.0
7.设＝(2，3)，＝(m，n)，＝(－1，4)，则等于( )
A.(1＋m，7＋n) B.(－1－m，－7－n) C.(1－m，7－n) D.(－1＋m，－7＋n)
8.已知M(－2，7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且＝，则P点的坐标为( )
A.(－14，16) B.(22，－11) C.(6，1) D.
9.向量＝(7，－5)，将按向量a＝(3，6)平移后得到向量，则的坐标形式为( )
A.(10，1) B.(4，－11) C.(7，－5) D.(3，6)
10.已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，那么a－b等于( )
A.(4，0) B.(0，4) C.(3，－6) D.(－3，6)
二、填空题
11.已知A(2，0)，a＝(x＋3，x－3y－5)，若a＝，其中O为原点，则x＝________，y＝________.
12.已知平面上三点A(2，－4)，B(0，6)，C(－8，10)，则＋的坐标是________.
13.已知A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，0)，D(x，y)，且＝2，则x＋y＝________.
14.已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1，2)，则顶点D的坐标为________．
15.已知A，B(1，4)，且＝(sin α，cos β)，α，β∈，则α＋β＝________.
三、解答题
16.在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标.
17.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2).若＋＋＝0，求的坐标.
18.已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点.
19.已知O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设＝a，＝b，＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用a，b表示c.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
6.3.2~6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示、向量加、减运算的坐标表示 1/1
