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第七章 复数 单元培优检测卷（解析版）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．是虚数单位，若复数，则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，。
故答案为：A.
2．若复数（i为虚数单位），则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】，，
故答案为：B.
3．已知，则的虚部为（ ）
A．-2 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以的虚部为-2.
故答案为：A.
4．已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则复数 在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】令 ， ，则 ，
又 ，则 ，
∴ ，即 ，
∴ ，则复数 在复平面内所对应的点在第四象限.
故答案为：D
5．已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ）
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若是虚数，则都是虚数.
A．①④ B．② C．②③ D．①②③
【答案】C
【解析】解：为复数，
①若，因为没有大小（虚部为0，即为实数时除外），故是错误的，
②若，设，则，由，得，所以，正确，
③若，则，正确，
④若是虚数，不一定都是虚数，比如，而是虚数，故错误，
故②③正确，
故答案为：C.
6．已知复数，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】∵，∴．
故答案为：B
7．下列关于复数的命题中（其中为虚数单位），说法正确的是（ ）
A．若复数，的模相等，则，是共轭复数
B．已知复数，，，若，则
C．若关于x的方程（）有实根，则
D．是关于x的方程的一个根，其中为实数，则
【答案】D
【解析】若，，则，A不符合题意；
若，满足，B不符合题意；
若关于x的方程（）有实根，，
因为，所以，所以，C不符合题意；
将代入方程，得，
即，所以，得，D符合题意.
故答案为：D.
8．已知复数 和 满足 ， ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，
则 表示点 到点 的距离是到点 距离的 倍.
则 ，
化简得： ，
即复数 在复平面对应得点为以 为圆心，5为半径的圆上的点.
设 ，因为 ，所以点 和点 距离为3，
所以复数 在复平面对应得点为以 为圆心，2为半径的圆上的点或以 为圆心，8为半径的圆上的点，如图所示：
表示点 和原点 的距离，由图可知 的最小为3，最大为 .
故答案为：D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．复数，（为虚数单位），则正确的是（ ）
A．，互为共轭复数 B．
C． D．
【答案】A,B,C
【解析】依据共轭复数的定义，A选项正确；
共轭复数，B选项命题正确；
；C选项命题正确；
，，D选项错误.
故答案为：ABC
10．下列说法正确的是（ ）
A．若平面向量，则
B．若平面向量，则
C．若复数，则
D．若复数，则
【答案】A,B,D
【解析】解：对于A：，
即当且仅当与同向且时取等号，A符合题意；
对于B：因为，
所以，
即，当且仅当与共线且时取等号，B符合题意；
对于C：若，，则，，
显然不满足，C不符合题意；
对于D：设，，，，，，
，
，
，，
，
所以当且仅当时取等号，D符合题意；
故答案为：ABD
11．已知复数 ， ，下列结论正确的有（ ）
A．
B．若 ，则 ， 中至少有一个为0
C．
D．若 ，则
【答案】A,B,C
【解析】A：因为复数 ， ，所以设
因此本结论正确；
B：因为 ，所以 ， 中至少有一个为0，因此本结论正确；
C：因为复数 ， ，所以设
因此本结论正确；
D：令 ，显然 成立，但是 不成立，因此本结论不正确。
故答案为：ABC
12．设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则
C．若，则的虚部为
D．若，则点的集合所构成的图形的面积为
【答案】B,D
【解析】A中，令，则，A不符合题意；
B中，若点Z的坐标为，则，所以，
整理得，所以，解得，
所以，B符合题意；
C中，易知的虚部为-2，C不符合题意；
D中，记，则
所以，
圆的面积为，圆的面积为π，
所以点的集合所构成的图形的面积为，D符合题意.
故答案为：BD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13．已知复数满足，则 .
【答案】
【解析】设，则
由题得，
所以，
所以，解得
故，.
故答案为：.
14．若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且（为虚数单位），则复数 .
【答案】-5
【解析】因为，复数，在复平面内对应的点关于轴对称，所以，
因此.
故答案为：-5.
15．已知复数 满足 则 .
【答案】
【解析】设 ，
，
，①
，②
由①②得 ，
故答案为 ．
16．已知复数z满足为z的共轭复数，则的最大值为 ．
【答案】9
【解析】设，则，由，得，即，所以z所对应的点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，因为为z的共轭复数，所以，即，而可看作该圆上的点到原点的距离的平方，所以。
故答案为：9。
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知是复数，（为虚数单位）为实数，且.
（1）求复数；
（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：根据题意，设复数（，），
则为实数，即，解得，
所以，.
又∵，∴，得，
所以复数.
（2）解：由（1）知，对应的点在第四象限，
所以解得：，即.
所以实数的取值范围是.
18．设是实数，复数，（是虚数单位）．
（1）在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围；
（2）求的最小值．
【答案】（1）解：，则，解得
（2）解：，则，，，当时，的最小值为．
19．已知复数.
（1）求；
（2）若，且为纯虚数，求在复平面内对应的点的坐标.
【答案】（1）解：因为，所以，故
（2）解：因为为纯虚数，所以m=1，所以，所以z2在复平面内对应的点的坐标为（-16，-8）.
20．已知复数，.
（1）当时，求复数的模；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，
则.
（2）解：因为，即，即，
令，则，
则，，
当时，，
当时，，
故，
所以的取值范围为.
21．已知方程 ， ．
（1）设 ， 为虚数单位，且 是方程 的一个根，求 ；
（2）设 、 是方程 的两个根，若 ，求 的值．
【答案】（1）解： 是方程 的一个根，
所以 ，
所以
又 ， ，
则 ，解得 ，
故 的值为 ；
（2）解：因为 、 是方程 的两个根，
所以 ， ，
又 ，所以 ，
所以 ，解得： 或 ，
故 的值为 或 ．
22．已知复数 ( ， )，若存在实数 使得 成立.
（1）求证： 为定值；
（2）若 ，求 的取值范围.
【答案】（1）解：因为 ， ， ， ，
所以 ， ，
由 得 （ ），
所以 ，得 ，
所以 .
（2） ， ，
，得 ，
且 ，或 ，
，
令 ，（ 且 ，或 ），
因为抛物线 的对称轴为 ，且开口向上，
所以 ，且
所以 ，且
所以 .
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第七章 复数 单元培优检测卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．是虚数单位，若复数，则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
2．若复数（i为虚数单位），则（ ）
A． B． C．1 D．
3．已知，则的虚部为（ ）
A．-2 B．2 C． D．
4．已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则复数 在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ）
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若是虚数，则都是虚数.
A．①④ B．② C．②③ D．①②③
6．已知复数，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．下列关于复数的命题中（其中为虚数单位），说法正确的是（ ）
A．若复数，的模相等，则，是共轭复数
B．已知复数，，，若，则
C．若关于x的方程（）有实根，则
D．是关于x的方程的一个根，其中为实数，则
8．已知复数 和 满足 ， ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．复数，（为虚数单位），则正确的是（ ）
A．，互为共轭复数 B．
C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．若平面向量，则
B．若平面向量，则
C．若复数，则
D．若复数，则
11．已知复数 ， ，下列结论正确的有（ ）
A．
B．若 ，则 ， 中至少有一个为0
C．
D．若 ，则
12．设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则
C．若，则的虚部为
D．若，则点的集合所构成的图形的面积为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13．已知复数满足，则 .
14．若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且（为虚数单位），则复数 .
15．已知复数 满足 则 .
16．已知复数z满足为z的共轭复数，则的最大值为 ．
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知是复数，（为虚数单位）为实数，且.
（1）求复数；
（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围.
18．设是实数，复数，（是虚数单位）．
（1）在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围；
（2）求的最小值．
19．已知复数.
（1）求；
（2）若，且为纯虚数，求在复平面内对应的点的坐标.
20．已知复数，.
（1）当时，求复数的模；
（2）若，求的取值范围.
21．已知方程 ， ．
（1）设 ， 为虚数单位，且 是方程 的一个根，求 ；
（2）设 、 是方程 的两个根，若 ，求 的值．
22．已知复数 ( ， )，若存在实数 使得 成立.
（1）求证： 为定值；
（2）若 ，求 的取值范围.
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