中小学教育资源及组卷应用平台
第六章 平面向量及其应用 单元培优检测卷（解析版）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设向量 ， ，若 ，则实数 的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【解析】∵ ∥ ，∴﹣2k﹣4＝0，解得k＝﹣2．
故答案为：B．
2．设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由向量加法的结合律知A项正确；由向量数量积的运算律知B项、D项正确；C项若，不共线且不垂直，则，C不一定正确．
故答案为：C.
3．已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，所以，
所以，所以，
因为，所以
所以与的夹角为．
故答案为：D
4．在ABC中，若c=2acosB，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】解 : ∵△ABC中，2acosB=c，
∴由正弦定理得：2sinAcosB=sinC，
又△ABC中，A+B+C=π，
∴C=π﹣（A+B），
∴sinC=sin（A+B），
∴2sinAcosB=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinAcosB﹣cosAsinB=0，
∴sin（A﹣B）=0，又A、B为△ABC中的内角，
∴A﹣B=0，
∴A=B．
∴△ABC必定是等腰三角形．
故选：B．
5．已知点是平面内任意一点，则“存在，使得”是“三点共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】充分性：由得，
故，则，故三点共线，所以充分性成立，
必要性：若三点共线，由共线向量定理可知，从而，所以，所以，
所以必要性成立.
综上所述：”是“三点共线”的充要条件.
故答案为：C
6．已知正方形的边长为，为的中点，则= （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】考虑建立如图所示平面直角坐标系，则，，，，于是，，所以.故选C.
7．在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝2DC＝4，，则AD的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】A
【解析】因为，所以，
在中，由正弦定理可得，则，
在中，由余弦定理得
，
因为，所以，
则当，即时，
取得最大值为.
故答案为：A.
8．设非零向量 夹角为 ，若 ，且不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不等式 等价于： ，
即 ，①
其中 ， ，
将其代入①式整理可得： ，
由于 是非零向量，故： 恒成立，
将其看作关于 的一次不等式恒成立的问题，由于 ，故：
，解得： ；
且： ，解得： ；
综上可得，实数 的取值范围为 .
故答案为：A.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则存在唯一实数 使得
C．若 ， ，则
D．与非零向量 共线的单位向量为
【答案】A,B,C
【解析】解：对于A，当时，显然不成立，故A错误；
对于B，当时，显然不成立，故B错误；
对于C，当时，显然不成立，故C错误；
对于D， 与非零向量 共线的单位向量为 ，故D正确.
故答案为：ABC
10．的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则是钝角三角形
C．若，则符合条件的有两个
D．若，则角的大小为
【答案】A,B,D
【解析】A选项，在三角形中，大角对大边，所以
，由正弦定理得
，所以
，所以A选项正确.
B选项，由正弦定理得
，所以
为钝角，所以B选项正确.
C选项，由余弦定理得
，有唯一解，C选项错误.
D选项，由正弦定理得
，
，D选项正确.
故答案为：ABD
11．已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若在上的投影为，则向量与夹角为
C．与共线的单位向量只有一个为
D．存在，使得
【答案】B,D
【解析】解：向量，，
对A：因为，所以，所以，A不符合题意；
对B：因为在上的投影为，即，
所以，又，
所以，
因为，所以向量与夹角为，B符合题意；
对C：与共线的单位向量有两个，分别为和，C不符合题意；
对D：当时，，此时向量与共线同向，满足，所以存在，使得，D符合题意；
故答案为：BD.
12．在中，D是边BC中点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则是在上的投影向量
C．若点P是的外心，，且，则
D．若点Q是线段AD上的动点，且满足，则的最大值为
【答案】A,B,C
【解析】A：因为D是边BC中点，所以，即，因此本选项说法正确；
B：因为分别表示方向上的单位向量，
由平面向量加法的几何意义可知：表示的平分线表示的向量，
所以由可得：是的平分线，而D是边中点，
所以有，在上的投影为：，所以是在上的投影向量，因此本选项说法正确；
C：因为点P是的外心，D是边BC中点，所以，即，
，
，因为，所以
，因此本选项的说法正确；
D：因为D是边BC中点，所以由，可得：
，因为点Q是线段上的动点，所以三点共线，因此可得：，要想有最大值，则一定有，
，当且仅当时取等号，即时取等号，因此本选项说法不正确，
故答案为：ABC
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13．已知向量 ，则与 方向上的单位向量是 .
【答案】
【解析】解：∵ ，
∴
则与共线的单位向量可表示为： ，
故答案为： .
14．已知向量 和 满足 ， ，则 ．
【答案】1
【解析】由题意 ，①，
，②，
由①②联立可解得 ．
故答案为：1．
15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 bsinC+ csinB=4asinBsinC，b2+c2-a2=8，则△ABC的面积为 .
【答案】
【解析】解：∵bsinC+csinB=4asinBsinC.
由正弦定理得：
，
又 ，
则 。
16．已知向量 及实数 满足 ．若 ，则 的最大值是 ．
【答案】
【解析】因为 ≥ ，即 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，所以 的最小值为 ．
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知非零向量 ， 满足| |=1，且（ ﹣ ） （ + ）= ．
（1）求| |；
（2）当 =- 时，求向量 与 +2 的夹角θ的值．
【答案】（1）解：因为（ ﹣ ） （ + ）= ，即 = ，即| |2﹣| |2= ，
所以，| |2=| |2﹣ =1﹣ = ，故| |=
（2）解：因为| |2 =| |2+4 +|2 |2=1﹣1+1=1，故| |=1．
又因为 （ ）=| |2+2 =1﹣ = ，
∴cos θ= ═ ，
又0°≤θ≤180°，故θ=60°
18．已知向量 满足 .
（1）若 ，求实数 的值；
（2）当 取最小值时，求向量 与 的夹角的余弦值.
【答案】（1）解：因为 ，当 时， ，解得
（2）解： ，当 时， 取最小值，此时， ，且 ，夹角的余弦值为
19．重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，，设.
（1）将、用含有的关系式表示出来；
（2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计、的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？
【答案】（1）解：因为，，，
所以，，.
（2）解：因为，，所以，
在中，由余弦定理易知，
即
，
因为，所以，，
当，即时，
取最大值，取最大值，
此时，
，
故当时，取最大值.
20．在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小
（2）若，点是的重心，且，求内切圆的半径．
【答案】（1）解：因为 ，由正弦定理可得
，
即 ，
又 ，所以 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，解得 ．
（2）解：因为点 是 的重心，所以 ，
所以 ，
即 ，解得 或 舍 ．
由余弦定理得 ，解得 ．
设 内切圆的半径为 ，则 ，
即 ，
解得 ，即 内切圆的半径为 ．
21．如图所示，在中，D为BC边上一点，且．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）．
（1）用，表示；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）解：在中，由，
又，
所以，
所以
（2）解：因为，
又，
所以，，
所以，
又三点共线，且在线外，
所以有：，
即.
22．在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为 ，且
（1）求角C的大小；
（2）若 ，求 的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
即，
又∵sinB≠0，
∴，
∴，
又C∈（0，π），
∴ C= ；
（2）解： 由（1），结合正弦定理，得，
∴a=2sinA，b=2sinB=2sin（A+30°），
∴=4[sin2A+sin2(A+30°)]，
，
由得60°
所以，
所以，
所以，
所以 的取值范围为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com) 1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
第六章 平面向量及其应用 单元培优检测卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设向量 ， ，若 ，则实数 的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
2．设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．在ABC中，若c=2acosB，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
5．已知点是平面内任意一点，则“存在，使得”是“三点共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
6．已知正方形的边长为，为的中点，则= （ ）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝2DC＝4，，则AD的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．2
8．设非零向量 夹角为 ，若 ，且不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则存在唯一实数 使得
C．若 ， ，则
D．与非零向量 共线的单位向量为
10．的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则是钝角三角形
C．若，则符合条件的有两个
D．若，则角的大小为
11．已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若在上的投影为，则向量与夹角为
C．与共线的单位向量只有一个为
D．存在，使得
12．在中，D是边BC中点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则是在上的投影向量
C．若点P是的外心，，且，则
D．若点Q是线段AD上的动点，且满足，则的最大值为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13．已知向量 ，则与 方向上的单位向量是 .
14．已知向量 和 满足 ， ，则 ．
15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 bsinC+ csinB=4asinBsinC，b2+c2-a2=8，则△ABC的面积为 .
16．已知向量 及实数 满足 ．若 ，则 的最大值是 ．
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知非零向量 ， 满足| |=1，且（ ﹣ ） （ + ）= ．
（1）求| |；
（2）当 =- 时，求向量 与 +2 的夹角θ的值．
18．已知向量 满足 .
（1）若 ，求实数 的值；
（2）当 取最小值时，求向量 与 的夹角的余弦值.
19．重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，，设.
（1）将、用含有的关系式表示出来；
（2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计、的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？
20．在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小
（2）若，点是的重心，且，求内切圆的半径．
21．如图所示，在中，D为BC边上一点，且．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）．
（1）用，表示；
（2）若，，求的值．
22．在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为 ，且
（1）求角C的大小；
（2）若 ，求 的取值范围．
21世纪教育网(www.21cnjy.com) 1 / 1