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第七章 复数 单元培优检测卷（解析版）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】依题意，
即，
所以，即。
故答案为：C
2．已知复数满足：（i为虚数单位），则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】，故.
故答案为：C.
3．设a，b为实数，若复数 ，则（ ）
A． B．a=3，b=1 C． D．a=1，b=3
【答案】A
【解析】解：由 可得1+2i=（a﹣b）+（a+b）i，所以 ，解得 ， ，
故选A．
4．已知复数（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】，
则 ，即z的共轭复数在复平面内所对应的点位于第三象限，
故答案为：C
5．已知复数，，则下面四个命题中为真命题的是（ ）
：若，则；：若，则；
：若，则；：若，则.
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】模长相等不能推出复数相等，故错误；相反复数的模长相等，故正确；共轭复数模长相等，故正确；模长相等不能推出为共轭复数，故错误
故答案为：C
6．若，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】解：因为，所以，
故设，则，
所以.
故答案为：D
7．已知是关于x的方程的一个根，其中，则（ ）
A．18 B．16 C．9 D．8
【答案】A
【解析】由题意得，化简得，
所以解得所以．
故答案为：A
8．在复平面内，复数z满足，且z所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则a+2b的最小值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】B
【解析】由，得，
因为z所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，
所以，即，
设，解得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以a+2b的最小值为-1.
故答案为：B.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．设是复数，则下列命题中是真命题的是（ ）
A．若，则不一定是实数 B．若，则是虚数
C．若是虚数，则 D．若是纯虚数，则
【答案】B,D
【解析】设，则，
对于A，因为，所以，因为，可得，即，所以一定是实数，所以A不符合题意；
对于B，因为，所以，因为，所以且，即，所以是虚数，所以B符合题意；
对于C，若是虚数，则，即，若，则为虚数，不能和0比较大小，若，则，均不满足，所以C不符合题意；
对于D，若是纯虚数，则且，即，所以，所以D符合题意.
故答案为：BD.
10．下列四个命题中，不正确的是（ ）
A．若复数z满足 ，则
B．若复数 ， 满足 ，则
C．若复数 （ ），则 为纯虚数的充要条件是
D．若 ，则
【答案】A,C,D
【解析】对于A：令 ，则 ，但 ，A错误，符合题意；
对于B：若复数 ， 满足 ，令 ，则 ，
，B正确，不符合题意；
对于C：若复数 （ ），则 为纯虚数的充要条件是 ，C错误，符合题意；
对于D：当 ， ， 时，
，D错误，符合题意；
故答案为：ACD
11．已知复数（均为实数），下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．的虚部为
C．若，则 D．
【答案】B,C,D
【解析】对于A； 若，则，但是复数不可以比较大小，故错误，
对于B； ，所以的虚部为，故正确，
对于C； 若，则，故
，故，正确，
对于D； 而，进而，故，所以正确，
故答案为：BCD
12．若复数，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为2 B．的最大值为4
C． D．
【答案】A,B,C
【解析】设对应的向量为，由向量加法法则可得，
当反向和同向时分别取等，即，故的最小值为2，最大值为4，A、B符合题意；
设，则，又，
则，C符合题意；
又，则，则
，D不符合题意.
故答案为：ABC.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13．是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，则点对应的复数为 .
【答案】3-2i
【解析】三点对应的复数分别是，
则复平面内三点对应点的坐标为
设复平面内点坐标为，则，
又是复平面内的平行四边形，
则，则，解之得，则
则点对应的复数为3-2i
故答案为：3-2i
14． .
【答案】
【解析】由题知，，
因为
所以.
故答案为：.
15．在复平面内，三点 、 、 分别对应复数 、 、 ，若 ，则 的三边长之比为
【答案】3：4：5
【解析】设 表示的复数为 ， 表示的复数为 ，
则 ，
所以 ， ，
所以 表示的复数为 ，
所以 ，
所以 ,
又 ，所以 ，
又 ,则 ，
所以 的三边长之比为： ,
故答案为： .
16．已知z∈C.若关于x的方程(i为虚数单位)有实数根，则 的最小值为 .
【答案】1
【解析】设z=a+bi>i(a、b∈R)，x=x0为原方程的一个实根.
则
，
，当且仅当时，上式等号成立.
从而，|z|的最小值为1.
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知复数，，i为虚数单位．
（1）若，求z的共轭复数；
（2）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：由，所以；
（2）解：由题意，复数，，则，
∵复数在复平面上对应的点在第一象限，
∴解得，
∴实数a的取值范围．
18．已知复数z在复平面内对应的点A位于第一象限，且．
（1）求z；
（2）设，在复平面内对应的点分别为B，C，求．
【答案】（1）解：设，则，
由题意知，
解得，
∴
（2）解：∵，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴
19．已知复数 .
（1）求 ；
（2）计算： …… ．
【答案】（1）
，∴
（2） ，……
有 ，且显然
…… ．
20．设 分别是方程 的两个虚数根.
（1）求a的取值范围及 的值；
（2）若 ，求a的值.
【答案】（1）解：由方程 有两个虚数根
所以 ，解得
由 是方程 的两个虚数根.
可得 ，不妨设 ,
所以
（2）解：由（1）可得
根据 ，即 ，解得
21． 为虚数单位， 且 是纯虚数，
（1）求 的取值范围；
（2）若 ， ， ，求 的最小值.
【答案】（1）解： ，
因为 为纯虚数，
所以 且 ，
所以 或 ，
当 时，
，
当 时，
， ，
所以 ，
综上： .
（2）解：由（1） 或 ，又 ，
所以 ， ，
， ，
由题意知 ，
所以 ，
，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
22．设 是虛数， 是实数，且 ．
（1）求 的实部的取值范围；
（2）若 ，求 的最小值．
【答案】（1）解：设 ，（ ， ， ），
则
因为 是实数， ，
所以 ，所以 ，
由 得 ，
所以 的实部的取值范围是 ；
（2） ，
．
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以
当且仅当 ，即 时， 取到最小值 ．
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第七章 复数 单元培优检测卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知复数满足：（i为虚数单位），则（ ）
A． B．1 C． D．2
3．设a，b为实数，若复数 ，则（ ）
A． B．a=3，b=1 C． D．a=1，b=3
4．已知复数（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知复数，，则下面四个命题中为真命题的是（ ）
：若，则；：若，则；
：若，则；：若，则.
A．， B．， C．， D．，
6．若，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
7．已知是关于x的方程的一个根，其中，则（ ）
A．18 B．16 C．9 D．8
8．在复平面内，复数z满足，且z所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则a+2b的最小值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．设是复数，则下列命题中是真命题的是（ ）
A．若，则不一定是实数 B．若，则是虚数
C．若是虚数，则 D．若是纯虚数，则
10．下列四个命题中，不正确的是（ ）
A．若复数z满足 ，则
B．若复数 ， 满足 ，则
C．若复数 （ ），则 为纯虚数的充要条件是
D．若 ，则
11．已知复数（均为实数），下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．的虚部为
C．若，则 D．
12．若复数，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为2 B．的最大值为4
C． D．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13．是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，则点对应的复数为 .
14． .
15．在复平面内，三点 、 、 分别对应复数 、 、 ，若 ，则 的三边长之比为
16．已知z∈C.若关于x的方程(i为虚数单位)有实数根，则 的最小值为 .
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知复数，，i为虚数单位．
（1）若，求z的共轭复数；
（2）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
18．已知复数z在复平面内对应的点A位于第一象限，且．
（1）求z；
（2）设，在复平面内对应的点分别为B，C，求．
19．已知复数 .
（1）求 ；
（2）计算： …… ．
20．设 分别是方程 的两个虚数根.
（1）求a的取值范围及 的值；
（2）若 ，求a的值.
21． 为虚数单位， 且 是纯虚数，
（1）求 的取值范围；
（2）若 ， ， ，求 的最小值.
22．设 是虛数， 是实数，且 ．
（1）求 的实部的取值范围；
（2）若 ，求 的最小值．
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