【新课标】1.1.4等腰三角形 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
1.1.4等腰三角形
北师版八年级下册
教学目标
1. 掌握等边三角形的判定定理，并能加以运用.
2. 掌握“30°的角所对的直角边等于斜边的一半”这一定理，并能运用定理解决问题.
3. 进一步丰富探索几何图形性质的经验，提升几何推理证明的能力.
新知导入
等边三角形有哪些性质？
等边三角形的性质：
(1)等边三角形的三边都相等；
(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°；
(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线；
(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等．
新知讲解
A
B
C
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ 一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？
请证明自己的结论，并与同伴交流.
新知讲解
1.定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.
如何判断它是等边三角形呢？
等边三角形的性质：三个内角都相等，每个角都是60°.
三个角都相等
等边三角形的判定： 的三角形是等边三角形.
猜想
？
新知讲解
条件：三个角都相等的三角形 已知：如图，在△ABC 中， ∠A =∠B=∠C
结论：等边三角形 求证： AB=AC=BC
A
B
C
∵ ∠A= ∠B,（已知）
∴ AC=BC.（等角对等边）
∵ ∠B=∠C,（已知）
∴ AB=AC.（等角对等边）
∴AB=AC=BC.（等量代换）
证明：
三个角都相等的三角形是等边三角形？
归纳总结
数学符号语言如下：
判定定理1 三个角都相等的三角形是等边三角形。
A
B
C
∵ ∠A =∠B =∠C （已知）
∴AB = AC=BC，
新知讲解
有一个角是60°
等边三角形的判定： 的等腰三角形是等边三角形.
猜想
等边三角形是特殊的等腰三角形。
新知讲解
条件：有一个角是60°的等腰三角形 已知：如图,在△ABC 中,AB=AC , ∠A=60°.
结论：等边三角形 求证： AB=AC=BC
A
B
C
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？
证明：∵AB=AC , ∠A= 60 °.
∴∠B＝∠C＝ (180。－∠A)= 60°.（等边对等角）
∴∠A=∠B=∠C.（等量代换）
∴AB=AC=BC.（等角对等边）
新知讲解
证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知),
∴∠C=∠B=60°(等边对等角)，
∴∠A=60°(三角形内角和定理)．
∴∠A=∠B =∠C=60°．
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).
已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°．
求证:△ABC是等边三角形．
第二种情况：有一个底角是60°.
A
C
B
60°
【验证】
总结：涉及到等腰三角形，不论是边还是角，大家要有分类讨论的意识
归纳总结
判定定理2：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
符号语言：
∵在△ABC 中，BC=AC，∠A=60°，
∴△ABC 是等边三角形．
C
A
B
新知讲解
总结：
证明一个三角形是等边三角形的方法：
(1)若已知三边关系，则选用等边三角形定义来判定；
(2)若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定；
(3)若已知是等腰三角形，则选用“有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形”来判定．
想一想
用两个含有30°角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？
30°
30°
你能说出所拼成的三角形的形状吗？
猜想：在直角三角形中, 30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
30°
30°
30°
30°
30°
结论:在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半.
新知讲解
条件：在直角三角形中, 有30°角
已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠BAC = 30°.
结论：30°角所对的直角边等于斜边的一半
求证：BC =AB.
30°
新知讲解
A
B
C
D
60°
30°
证明：延长 BC 至 D，使 CD = BC，连接 AD.
∵∠ACB = 90°，∠BAC = 30°
∴∠ACD = 90°，∠B = 60°
∵AC = AC，
∴△ABC ≌ △ADC（SAS）.
∴AB = AD（全等三角形的对应边相等）.
∴△ABD 是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）.
∴BC =BD =AB.
归纳总结
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．
几何语言：
在△ABC中,
∵∠ACB=90°,∠A=30°．
∴BC= AB．(在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半)
A
B
C
30°
典例精析
C
B
A
D
例3 求证：如果等腰三角形的底角为 15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 15°.CD 是腰 AB 上的高.
求证：CD =AB.
典例精析
证明：在△ABC 中，
∵AB = AC，∠B = 15°，
∴∠ACB =∠B = 15°（等边对等角）.
∴∠DAC =∠B +∠ACB = 15°+ 15°= 30°.（三角形的外角）
∵CD 是腰 AB 上的高，
∴∠ADC = 90°.
∴CD =AC（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
∴CD=AB.（等量代换）
总结归纳
利用含30°角的直角三角形的性质，关键要有两个要素：
一是含30°的角；
二是直角三角形．
根据这两个要素可建立直角三角形中斜边与直角边之间
的关系．
课堂练习
1. 等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是(　　)
A．有一个内角是60° B．有一个外角是120°
C．有两个角相等 D．腰与底边相等
2.下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有(　　)
A．①②③ 　　　 B．①②④
C．①③ 　　　 　D．①②③④
C
D
课堂练习
3.如图，AC＝BC＝10 cm，∠B＝15°，AD⊥BC 交BC 的延长线于点D，则AD 的长为 。
4.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD是高，∠A =30°，AB =4．则BD = .
5 cm
1
课堂练习
5.如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AE＝BE，D 为EC 的中点．
(1)求∠CAE 的度数；
(2)求证：△ADE 是等边三角形．
课堂练习
(1)解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝×(180°－120°)＝30°.
∵AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝30°.
∴∠CAE＝120°－30°＝90°.
(2)证明：∵∠CAE＝90°，∠C＝30°，
∴AE＝EC.
又∵D 为EC 的中点，
∴ED＝EC.
∴AE＝ED.
又∵∠AED＝∠B＋∠BAE＝30°＋30°＝60°
∴△ADE 是等边三角形．
课堂练习
6.如图,在△ABC中,∠B=60°,D是BC延长线上一点,过D作DE⊥AB于E，交AC于F，若CD=CF。
求证：△ABC是等边三角形
证明：∵DE⊥AB
∴∠BED=∠AEF=90°
∴∠B+∠D=90°，∠A+∠AFE=90°
∵CD=CF
∴∠D=∠DFC
∵∠DFC=∠AFE
∴∠D=∠AFE
∴∠A=∠B
∴AC=BC（等角对等边）
∵∠B=60°
∴△ABC是等边三角形
课堂总结
等边三角形的判定方法：
(2) 含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对
的直角边等于斜边的一半．
+底和腰相等
+有一个角是60°
等腰三角形 等边三角形
三个角相等
三角形 等边三角形
板书设计
1.1.4 等腰三角形
1.等边三角形的判定定理
2.30°角的直角三角形的性质
作业布置
【必做题】
教材第13页习题1.4的1、2
【选做题】
教材第13页习题1.4的5题.
谢谢
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