6.3正方形

课件31张PPT。6.3 正方形1、正方形定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形2、正方形有哪些性质?演练导学:根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打 ”√”√√√√√√√√√√√√√√√√演练导学:轴对称第十九章 四边形 在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）
思维拓展如何设计花坛？第十九章 四边形平行四边形矩形菱形正
方
形正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？演练导学:ADCBO
正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角 三角形？演练导学:结论：
分成八个等腰直角三角形。例：在正方形ABCD中P是对角线BD上的一点, PF⊥BC, PE⊥DC 求证:AP=EFFEDCBAP已知：正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F
求证：OE=OF例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，
分析：要证明BM＝CN，大家观察
图形可以考虑证哪两个三角形全等 ?
MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。　　　　　　　　　
你能完成证明吗???
　AB＝BC，∠1＝∠2＝45 °　　条件够吗？　　还需要的条件是 AM＝BN
△ABM≌△BCN
你所要证明的两个三角形已经满足
了哪些条件?
由正方形可以得到的条件有：例3．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线
上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，
　　 求证：∠MFD＝45° 分析：
欲证∠MFD＝45°，由于
△MDF是直角三角形,只须证△MDF是等腰三角形,即只要证 _____=_____要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等?

试一试
看能不能完成证明???△CMD≌△ADF练习．如图(5)，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。求证：(1) △ACF≌△DCB
(2) BH⊥AF　　　　　　　　　　　　　　
证明：
例4．如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。求证：∠CEA＝∠ABG　　　　　　　　　　　　　　　 分析：欲证∠CEA＝∠ABG，
大家想一想证明两个角相等的方法，
你有办法了吗？？？通过自己的努力，看能不能解决问题？
证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。　　　　∴AE＝AB　AG＝AC　∠1＝∠2＝90°　　　　又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC　　　　 ∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC　　　　∴∠EAC＝∠BAG　　　　∴△AEC≌△ABG　(SAS)
　　 ∴∠CEA＝∠ABG 5. 已知：E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边
三角形，
求： △ EAD各内角的度数。几种特殊四边形的性质 对边平行
且相等对边平行 且相等对边平行
四边相等对边平行
四边相等对角相等
邻角互补 四个角
都是直角对角相等
邻角互补 四个角
都是直角对角线互相平分对角线相等
且互相平分对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角中心对称图形 轴对称图形
中心对称图形 轴对称图形
中心对称图形 轴对称图形
中心对称图形 你觉得什么样的四边形是正方形呢?１．一个矩形的２条对角线互相垂直，它是正方形吗？
２．一个菱形的２条对角线相等，它是正方形吗？小试牛刀思考：例1：1、要使一个菱形成为正方形需
增加的条件是（填上一个条件即可）例２：下列正确的是Ａ. 四边相等的四边形是正方形
Ｂ．四角相等的四边形是正方形
Ｃ．对角线垂直的平行四边形是正方形
Ｄ．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形例：在正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ`，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分别在ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上，且ＡＡ`＝ＢＢ`＝ＣＣ`＝ＤＤ`.四边形Ａ`Ｂ`Ｃ`Ｄ`是正方形吗？为什么？练习：在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别是E,F.
1)试说明:DE=DF
2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.
请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外
添加辅助线,无需证明)例：矩形ABCD中，四个内角的平分线组成四边形EMFN，判断四边形EMFN的形状,并说明原因ABCDNFME用一张长方形的纸片折出一个正方形.动手1. 下列说法是否正确，并说明理由．
①对角线相等的菱形是正方形（ ）
②对角线互相垂直的矩形是正方形（ ）
③对角线垂直且相等的四边形是正方形（ ）
④四条边都相等的四边形是正方形（ ）
⑤四个角相等的四边形是正方形（ ）√√√×× 2. 正方形的四条边______，四个角_______，两条对角线______________________ .相等相等相等且互相垂直1.如图，已知正方形ABCD，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连结DE，CE，
则∠DEC=（ ） D3、如图,点E是正方形ABCD边BC上延长线上一点，且CE=AC，若AE交CD于点F，求∠E和∠AFC的度数。4、在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，求PE+PF的值。例1：已知：如图(2)，点A’、B’、C’、D’分别是正方形ABCD 的边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形A'B'C'D'是正方形。　　　 分析:你能先证明四边形是矩形吗？

2.已知:如图,△ABC中.∠ABC=90°,BD是角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F.试说明：四边形DEBF是正方形.解:∵ DF⊥BC,DE⊥AB,∴ ∠DEB= ∠DFB=90°,而∠ABC=90°, ∴四边形DEBF是矩形∵ BD平分∠ABC, DF⊥BC , DE⊥AB, ∴ DE= DF ∴四边形DEBF是正方形 7.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D。DE⊥AC，DF⊥AB。求证:四边形CEDF为正方形ABCDEFG证明：过点D作DG⊥AB，垂足为G
∵AD是∠CAB的平分线
DE⊥AC，DG⊥AB
∴ DE=DG
同理：DG=DF
∴ED=DF
∵ DE⊥AC，DF⊥AB
∴∠DEC= ∠DFC=90 °
又∵ ∠C=90 °
∴四边形ADFC是矩形
∴四边形ADFC是正方形