河南省安阳市、鹤壁市、新乡市、商丘市2022-2023学年高三下学期开学考试（理科）数学试题（含解析）

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安阳市、鹤壁市、新乡市、商丘市2022-2023学年高三下学期开学考试
数学考试（理科）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合，则（ ）．
A． B． C． D．
2．设复数z满足，则z的共轭复数为（ ）．
A． B． C． D．
3．已知向量，，且，则（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．下图是我国跨境电商在2016～2022年的交易规模与增速表，由图可以知道下列结论正确的是（ ）．
2016～2022年我国跨境电商交易规模、增速
A．这7年我国跨境电商交易规模的平均数为8.0万亿元
B．这7年我国跨境电商交易规模的增速越来越大
C．这7年我国跨境电商交易规模的极差为7.6万亿元
D．图中我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为13.8％
5．函数的图象大致为（ ）．
A．B．C．D．
6．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，下列说法正确的是（ ）．
A．为奇函数 B．在上单调递减
C．在上的值域为 D．点是图象的一个对称中心
7．设椭圆的半焦距为c，若，，则C的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
8．在正方体中，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）．
A． B． C． D．
9．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的面积为，则（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为（ ）．
A． B．
C． D．
11．定义函数，，若至少有3个不同的解，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
12．已知函数，的定义域均为R，，连续可导，它们的导函数分别为，．若的图象关于点对称，，且，与图象的交点分别为，，…，，则下列说法错误的是（ ）．
A．是奇函数 B．的图象关于直线对称
C．的图象关于直线对称 D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．设x，y满足约束条件，则的最小值为__________．
14．已知，则__________．
15．某居民小区前有9个连成一排的车位，现有4辆不同型号的车辆要停放，则恰有2辆车停放在相邻车位的概率是__________．
16．已知抛物线，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，，若，且与交于点M，则的面积的最小值为__________．
三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知等比数列的前n项和，为常数．
（1）求的值与的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求．
18．（12分）如图，四边形是菱形，，平面，，．
（1）证明：．
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
19．（12分）某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成一个小组．游戏规则如下：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”．已知甲、乙两名队员投进篮球的概率分别为，．
（1）若，，求他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率．
（2）若，则在游戏中，甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号，理论上他们小组至少要进行多少轮游戏才行？并求此时，的值．
20．（12分）已知双曲线的离心率为，且点在C上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若点M，N在双曲线C上，且，直线不与y轴平行，证明：直线的斜率k为定值．
21．（12分）已知函数，为它的导函数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若关于x的方程有两个不相等的实根，求实数a的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）写出曲线C的极坐标方程；
（2）已知A，B是曲线C上的两点，且，求的最大值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
高三数学考试参考答案（理科）
1．C 【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养．
因为，所以．
2．A 【解析】本题考查复数的四则运算，考查数学运算的核心素养．
因为，所以，则．
3．B 【解析】本题考查平面向量的平行，考查数学运算的核心素养．
因为，所以，解得．
4．D 【解析】本题考查统计的知识，考查数据分析与数学运算的核心素养．
这7年我国跨境电商交易规模的平均数为万亿元．A错误；
这7年我国跨境电商交易规模的增速有升有降，B错误；
这7年我国跨境电商交易规模的极差为万亿元，C错误；
我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为％，D正确．
5．C 【解析】本题考查函数的图象与性质，考查逻辑推理的核心素养．
易知的定义域为，
由，得，
所以是奇函数，其图象关于原点对称，排除A，B．
在内，，，所以，排除D．故选C．
6．D 【解析】本题考查三角函数的性质，考查数学运算的核心素养．
，A错误；
因为，，在上先增后减，所以B错误；
因为，，，所以C错误；
因为，所以点是图象的一个对称中心，D正确．
7．C 【解析】本题考查椭圆的性质，考查数学运算的核心素养．
因为，所以，
解得，．故．
8．B 【解析】本题考查立体几何初步的知识，考查直观想象的核心素养．
如图所示，取的中点F，连接，，．
因为E，F分别为和的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，从而，
所以为异面直线与所成的角．
设，则，，
所以．
9．D 【解析】本题考查解三角形的知识，考查数学运算的核心素养．
因为，
所以，
整理得，
因为，所以．
又，所以．
因为的面积为，，
所以，解得，，
所以，则．
10．A 【解析】本题考查几何体的体积，考查直观想象与数学运算的核心素养．
因为，
，
所以该青铜器的体积．
11．B 【解析】本题考查函数的新定义，考查推理论证能力与直观想象的核心素养．
令，，
依题意有解，则，得或．
当时，必须满足，解得；
当时，必须满足，无解．
综上，，即实数a的取值范围是．
12．D 【解析】本题考查导数在研究函数中的应用，考查逻辑推理的核心素养．
因为的图象关于点对称，所以为奇函数，故A正确；
因为的图象关于点对称，所以，对其两边取导数，
得，所以的图象关于直线对称，故B正确；
因为，所以（C为常数），
由，得，即，
令，，解得，，
所以的图象关于直线对称，故C正确；
因为，的图象都关于点对称，
所以，故D错误．
13． 【解析】本题考查线性规划的知识，考查数学运算与直观想象的核心素养．
画出可行域（图略）知，当直线过点时，z取得最小值．
14． 【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养．
因为，所以．
15． 【解析】本题考查排列组合的知识，考查数学抽象与数学建模的核心素养．
9个车位要停放4辆车，基本事件的总数为，
其中4辆车中恰有2辆车停放在相邻车位包含的基本事件的个数为，
所以所求概率．
16．1 【解析】本题考查抛物线的性质，考查直观想象与数学运算的核心素养．
抛物线C的方程可化为，所以．
设，，则，，
因为，所以．
设直线l的方程为，与抛物线C的方程联立得，
消去y得，，
所以，，解得，即．
联立方程，解得，即．
因为点M到直线l的距离，
，
所以，
显然当时，的面积取得最小值1．
17．解：（1）因为，所以，（1分）
当时，，（3分）
因为为等比数列，所以，解得，（5分）
所以．（6分）
（2）因为，（7分）
所以，
，（9分）
两式相减得，（10分）
即，（11分）
所以．（12分）
评分细则：
【1】第一问，写出，得1分，写出，累计得3分，证出是等比数列，且求出，累计得5分，写出的通项公式，累计得6分．
【2】第二问，求出，累计得7分，求出，累计得10分，直到给出正确结论得12分．
18．（1）证明：连接．
因为四边形是菱形，所以．（2分）
又平面，所以．（3分）
因为，所以平面．（4分）
又，所以平面就是平面，
因为平面，所以．（5分）
（2）解：设，相交于点O，以O为坐标原点，，所在直线分别为x，y轴建立如图所示的空间直角坐标系．（6分）
设平面的法向量为，，，
则，取，可得．（10分）
取的中点G，连接．易证平面平面，
因为是正三角形，所以，
从而平面，即是平面的一个法向量．
因为，，所以，（11分）
所以，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．（12分）
评分细则：．
【1】第一问，证出，得2分，证出，累计得3分，第一问全部证完，累计得5分．
【2】第二问，建立空间直角坐标系，累计得6分，写出相关点和相关向量的坐标，累计得8分，计算出平面的法向量，累计得10分，写出平面的一个法向量，累计得11分，直至正确求出锐二面角的余弦值，累计得12分．
19．解：（1）由题可知，可能的情况有①甲投中1次，乙投中2次；②甲投中2次，乙投中1次；③甲投中2次，乙投中2次．（2分）
故所求概率为．（4分）
（2）他们在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率，（6分）
因为，所以，
因为，，，所以．（7分）
又，所以．（9分）
令，则，设，
当时，，（10分）
他们小组在n轮游戏中获得“神投小组”称号的次数满足，
由，则，
所以理论上至少要进行625轮游戏．（11分）
此时，，．（12分）
评分细则：
【1】第一问，会进行分类，得2分，正确求出概率，累计得4分．
【2】第二问，求出他们在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率，累计得6分，求出，累计得9分，求出，累计得10分，整个题完全正确得12分．
20．（1）解：因为，所以，解得．（2分）
所以双曲线C的方程为，
把点的坐标代入，得，解得，（3分）
所以双曲线C的方程为．（4分）
（2）证明：设，．
设直线的方程为，代入，
得，于是，．①（6分）
由，得，则，
整理得．（8分）
将①代入上式，可得，
整理得．（10分）
因为不在直线上，所以，
所以，解得．
即直线的斜率k为定值．（12分）
评分细则：
【1】第一问，正确写出，得2分，写出，累计得3分，求出C的方程，累计得4分．
【2】第二问，根据韦达定理写出，，累计得6分，写出，累计得10分，算出，累计得12分．
21．解：（1）当时，，则．（1分）
令，得，
再令，则，
易知在上单调递减，在上单调递增．（2分）
又，所以当时，，当时，，（3分）
故的单调递减区间为，单调递增区间为．（4分）
（2）由，得，
令，得．（5分）
①当时，，只有一个根，不符合题意．（6分）
②当时，，易知此时在上单调递减，在上单调递增，
所以．
又，所以当时，存在，使得，
即在上有一个根．（7分）
当时，，则，
所以，
取，则，
所以，方程在上有一零点，
所以有两个不同的根，符合题意．（8分）
③当时，由，得或．
当，即时，由，得或，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
因为的极大值，所以至多有一个根，不符合题意．（9分）
当，即时，在R上单调递增，
所以至多有一个根，不符合题意．（10分）
当，即时，由，得或，
所以在，上单调递增，在上单调递减．
因为当，时，，所以．
又，所以至多有一个根，不符合题意．（11分）
综上，，即实数a的取值范围为．（12分）
评分细则：
【1】第一问，写出，得1分，正确判断出的单调区间，累计得2分，第一问都正确，累计得4分．
【2】第二问，写出，累计得5分，每正确进行一次讨论，得1分，第二问都正确，累计得8分．
【3】第三问，后续每讨论一种情况得1分，直至求出正确答案，累计得12分．
【4】采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分．
22．解：（1）先将曲线C的参数方程（为参数）化为普通方程，
得，（2分）
再转化成极坐标方程，
进一步化简得．（4分）
（2）不妨设点A的极坐标为，点B的极坐标为，（5分）
所以，
，（7分）
所以，（8分）
所以，（9分）
所以的最大值为．（10分）
评分细则：
【1】第一问，曲线C的极坐标方程写成或都不扣分，得4分．
【2】第二问，写出A，B的极坐标方程，累计得5分，写出，，累计得7分，写出，累计得9分，求出最大值为，累计得10分．
23．解：（1）不等式等价于
或或，（1分）
因为的解集为，（2分）
的解集为，（3分）
的解集为，（4分）
所以不等式的解集为．（5分）
（2）若，不等式等价于，
即，（6分）
令，则，
所以，即或．（8分）
若，不等式等价于，
即或者，
所以或者，解得或者．（9分）
综上，或者，即实数a的取值范围是．（10分）
评分细则：
【1】第一问，把不等式转化成不等式组，得1分，每求出一个不等式组的解集，得1分，正确做完第一问，累计得5分．
【2】第二问，第一个讨论，并求出解集，累计得8分，直至最后写出正确结果，累计得10分．