广东省惠州市惠阳区新圩中学2021-2022学年八年级数学下学期开学考试测试卷（含解析）

广东省惠州市惠阳区新圩中学2021-2022学年八年级数学下册开学考试测试卷（附答案）
一、单选题：共30分。
1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．平行四边形 B．三角形 C．等腰三角形 D．矩形
2．平面直角坐标系内的点A（﹣3，﹣2）与点B（3，﹣2）关于（　　）
A．y轴对称 B．x轴对称 C．原点对称 D．无法确定
3．在△ABC中，如果∠A﹣∠B＝90°，那么△ABC是（　　）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．斜三角形
4．分式与的最简公分母是（　　）
A．x4﹣y4 B．（x+y）2（x2﹣y2）
C．（x﹣y）4 D．（x+y）2（x﹣y）
5．下列各组线段中，不能构成直角三角形的一组是（　　）
A．，1， B．1，，2 C．6，8，10 D．4，4，5
6．下列图标是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
7．如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和的两倍，那么这个多边形是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
8．下列各式从左到右变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
10．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N，连接EN、EF．有以下结论：①△AMN∽△BME；②AN＝EN；③BE+DF＝EF；④当AE＝AF时，，则正确的结论有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：共28分。
11．等腰三角形顶角的度数为50°，则底角的度数为　 　°．
12．已知△ABC≌△DEF，则BC＝　 　．
13．约分：＝　 　．
14．点P（4，a）关于y轴的对称点是Q（b，3），则a+b的值为 　 　．
15．两个三角形如图摆放，其中∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，DE与AC交于点M，若BC∥EF，则∠DMC的大小为 　 　．
16．已知一个多边形的内角和与外角和的比是2：1，则它的边数为 　 　．
17．如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，点Q是边CD的中点，点P是边BC上的一点，连接AP，PQ，且∠APQ＝∠PAD，则线段PQ的长为 　 　cm．
三、解答题：共62分。
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，点A，C，F，D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF．
求证：∠A＝∠D．
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是一条角平分线，它们相交于点P．已知∠APE＝55°，∠AEP＝80°，求∠BAC的度数．
21．如图，已知点E，F在线段AB上，AE＝BF，∠ADF＝∠BCE＝90°，AD＝BC．
求证：DF＝CE．
22．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明通过构造△ABC与△BCD来测量A，B间的距离，其中AC＝CD，∠ACB＝∠BCD．那么量出的BD的长度就是AB的距离．请你判断小明这个方法正确与否，并给出相应理由．
23．如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．
（1）试说明EO＝FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．
24．如图，在△ABC中，BC＝7cm，AC＝24cm，AB＝25cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索主要过程：
（1）经过多少时间后，P、Q两点的距离为5cm？
（2）经过多少时间后，S△PCQ的面积为15cm2？
（3）用含t的代数式表示△PCQ的面积，并用配方法说明t为何值时△PCQ的面积最大，最大面积是多少？
25．已知：AD是△ABC的角平分线，点E为直线BC上一点，BD＝DE，过点E作EF∥AB交直线AC于点F，当点F在边AC的延长线上时，如图①易证AF+EF＝AB；当点F在边AC上，如图②；当点F在边AC的延长线上，AD是△ABC的外角平分线时，如图③．写出AF、EF与AB的数量关系，并对图②进行证明．
参考答案
一、单选题：共30分。
1．解：A．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．三角形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．解：平面直角坐标系内的点A（﹣3，﹣2）与点B（3，﹣2）关于y轴对称．
故选：A．
3．解：在△ABC中，∵∠A﹣∠B＝90°，
∴∠A＝90°+∠B＞90°（∠B肯定大于0），那么△ABC是钝角三角形．
故选：B．
4．解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），
∴（x+y）2与x2﹣y2的最简公分母为（x+y）2（x﹣y），
故选：D．
5．解：A．∵（）2+12＝+1＝，（）2＝，
∴（）2+12＝（）2，
∴以，1，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵12+22＝1+4＝5，（）2＝5，
∴12+22＝（）2，
∴以1，2，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵62+82＝36+64＝100，102＝100，
∴62+82＝102，
∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵42+42＝16+16＝32，52＝25，
∴42+42≠52，
∴以4，4，5为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
6．解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
7．解：根据题意得，
（n﹣2） 180＝360×2，
解得n＝6，
故选：D．
8．解：A． ＝，所以A选项不符合题意；
B． ＝（m≠0），所以B选项不符合题意；
C． ＝，所以C选项不符合题意；
D． ＝，所以D选项符合题意．
故选：D．
9．解：①AB的垂直平分线交直线AC于点P1，交BC于点P2，（此时PA＝PB）；
②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC于二点P3，P1，交BC于点P4，（此时AB＝AP）；
③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P6，交AC有一点P1（此时BP＝BA）．
故符合条件的点有6个．
故选：C．
10．解：①∵四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°，
∴∠CBD＝∠EAF＝45°，
又∵∠BME＝∠AMN，
∴△AMN∽△BME，
故①正确；
②由①知△AMN∽△BME，
∴，
∴，
∵∠AMB＝∠EMN，
∴△AMB∽△NME，
∴∠NEA＝∠ABM，
∵∠ABM＝∠CBD＝45°，∠EAF＝45°，
∴∠NEA＝∠EAF＝45°，
∴AN＝EN，
故②正确；
③如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，
则AF＝AH，∠DAF＝∠BAH，
∵∠EAF＝45°＝∠DAF+∠BAE＝∠HAE，
∵∠ABE＝∠ABH＝90°，
∴H，B，E共线，
在△AEF与△AEH中，
，
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF，
故③正确；
④在△ABE与△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF＝22.5°，
∵BC＝CD，
∴CE＝CF，
假设正方形边长为1，设CE＝x，则BE＝1﹣x，
如图，连接AC，交EF于O
，
∵AE＝AF，CE＝CF，
∴AC是EF的垂直平分线，
∴AC⊥EF，OE＝OF，
∵∠BAC＝45°，
∴∠EAC＝22.5°，
∴BE＝EO＝1﹣x，
∴（1﹣x）＝x，
∴x＝2﹣，
∴，
故④错误，
故选：B．
二、填空题：共28分。
11．解：∵三角形为等腰三角形，且顶角为50°，
∴底角＝（180°﹣50°）÷2＝65°．
故答案为：65．
12．解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
故答案为：EF．
13．解：原式＝＝．
故答案为：．
14．解：∵点P（4，a）关于y轴的对称点Q（b，3），
∴a＝3，b＝﹣4，
∴a+b＝3+（﹣4）＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．解：延长ED交CB的延长线于点G，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠C＝90°﹣∠ABC＝30°，
∵∠EDF＝100°，∠F＝40°，
∴∠E＝180°﹣∠F﹣∠EDF＝40°，
∵EF∥BC，
∴∠E＝∠G＝40°，
∴∠DMC＝180°﹣∠C﹣∠G＝110°，
故答案为：110°．
16．解：内角和是2×360＝720°．
设多边形的边数是n，根据题意得：
（n﹣2） 180＝720．
解得n＝6．
故答案为：6．
17．解：如图，延长AD，PQ交于点H，
设PC＝xcm，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC＝4cm，AD∥BC，
∵点Q是边CD的中点，
∴DQ＝CQ＝2cm，
∵AD∥BC，
∴∠H＝∠QPC，
又∵∠DQH＝∠CQP，
∴△DQH≌△CQP（AAS），
∴PC＝DH＝xcm，PQ＝QH，
∴AH＝AD+DH＝（4+x）cm，
∵∠APQ＝∠PAD，
∴AH＝PH＝（4+x）cm，
∴PQ＝QH＝（）cm，
∵PQ2＝CQ2+PC2，
∴（）2＝4+x2，
∴x＝或x＝0（舍），
∴PQ＝cm，
故答案为：．
三、解答题：共62分。
18．解：原式＝
＝
＝，
当时，
原式＝．
19．证明：∵AF＝DC，
∴AF﹣CF＝DC﹣CF，
∴AC＝DF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠A＝∠D．
20．解：∵AD⊥BC，
∴∠PDC＝90°，
∵∠CPD＝∠APE＝55°，
∴∠PCD＝90°﹣55°＝35°，
∵CE是一条角平分线，
∴∠ACE＝∠PCD＝35°，
∴∠BAC＝180°﹣35°﹣80°＝65°．
21．证明：∵AE＝BF，
∴AF＝BE，且∠ADF＝∠BCE＝90°，AD＝BC，
∴Rt△ADF≌Rt△BCE（HL），
∴DF＝CE．
22．解：正确；理由如下：
在△ABC与△DBC中，
．
∴△ABC≌△DBC（SAS）．
∴AB＝DB．
23．解：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠ECB，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴OE＝OC，
同理OC＝OF，
∴OE＝OF．
（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．
如图AO＝CO，EO＝FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB，
同理，∠ACF＝∠ACG，
∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝（∠ACB+∠ACG）＝×180°＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
（3）当△ABC是直角三角形且∠ACB＝90°时，在AC边上存在点O（为其中点），使四边形AECF是正方形．
证明：∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC．
∵MN∥BC，
∴AC⊥MN，即AC⊥EF．
由（2）知，四边形AECF是矩形，
∴矩形AECF是正方形．
24．解：（1）连接PQ，
设经过ts后，P、Q两点的距离为5cm，
ts后，PC＝7﹣2tcm，CQ＝5tcm，
根据勾股定理可知PC2+CQ2＝PQ2，
代入数据（7﹣2t）2+（5t）2＝（5）2；
解得t＝1或t＝﹣（不合题意舍去）；
（2）设经过ts后，S△PCQ的面积为15cm2
ts后，PC＝7﹣2tcm，CQ＝5tcm，
S△PCQ＝×PC×CQ＝×（7﹣2t）×5t＝15
解得t1＝2，t2＝1.5，
经过2或1.5s后，S△PCQ的面积为15cm2．
（3）设经过ts后，△PCQ的面积最大，
ts后，PC＝7﹣2tcm，CQ＝5tcm，
S△PCQ＝×PC×CQ＝×（7﹣2t）×5t＝×（﹣2t2+7t）．
＝﹣5．
∴当t＝s时，△PCQ的面积最大，最大值为cm2．
25．（1）证明：如图①，延长AD、EF交于点G，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠G＝∠BAD，
∴∠G＝∠CAD，
∴FG＝AF，
在△ABD和△GED中，
，
∴△ABD≌△GED（AAS），
∴AB＝GE，
∵GE＝FG+EF＝AF+EF，
∴AF+EF＝AB；
（2）结论：AF﹣EF＝AB．
证明：如图②，延长AD、EF交于点G，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠G＝∠BAD，
∴∠G＝∠CAD，
∴FG＝AF，
在△ABD和△GED中，
，
∴△ABD≌△GED（AAS），
∴AB＝GE，
∵GE＝FG﹣EF＝AF﹣EF，
∴AF﹣EF＝AB；
（3）结论：EF﹣AF＝AB．
证明：如图③，延长AD交EF于点G，
∵AD平分∠PAC，
∴∠PAD＝∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠AGF＝∠PAD，
∴∠AGF＝∠CAD，∠ABD＝∠GED，
∴FG＝AF，
在△ABD和△GED中，
，
∴△ABD≌△GED（ASA），
∴AB＝GE，
∵EF﹣FG＝GE，
∴EF﹣AF＝AB；