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第六章 平面向量及其应用 单元培优检测卷（解析版）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知向量，，且，则实数（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【解析】∵向量，，且，
∴，解得。
故答案为：D.
2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则c=（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知．
故答案为：B．
3．在中，已知D为BC上一点，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】在中，，所以.
故答案为：B
4．下列关于向量，，的运算，一定成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A，当，夹角时，，即，A不正确；
对于B，由数量积的运算律知，B符合题意；
对于C，当，同向共线时，，C不正确；
对于D，与共线，与共线，当，不共线且实数与都不为0时，与不共线，即D不正确.
故答案为：B
5．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且的面积为，，则c=（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】中由，结合正弦定理可得，
即．由余弦定理可得，
∴．的面积为，解得．又，
∴，解得c=1．
故答案为：A
6．已知、是两个非零向量，它们的夹角为，，则下列结论正确的是（ ）
A．当为锐角时，在方向上的投影向量为；为钝角时，在方向上的投影向量为
B．当为锐角时，在方向上的投影向量为；为钝角时，在方向上的投影向量为
C．若存在实数，使，则
D．若，则一定存在唯一的实数，使
【答案】D
【解析】对于AB选项，向量在上的投影为，易知为与同向的单位向量，
所以，在方向上的投影向量为，AB均错；
对于C选项，若存在实数，使，则、共线，
若，则、共线，但，C不符合题意；
对于D选项，若，则，，则，即、方向相同，
则、共线，一定存在唯一的实数，使，D对.
故答案为：D.
7．中，，，，PQ为内切圆的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知，，所以是直角三角形，，
设内切圆半径为，则，解得，
设内切圆圆心为，因为是内切圆的一条直径，
所以，，
则，，
所以，
因为M为边上的动点，所以；当与重合时，，
所以的取值范围是，
故答案为：C
8．已知，点是边上的一点，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．16
【答案】C
【解析】在中，，设，，则，
因为，
所以，
因为，所以，
因为，
所以，所以，
因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为16，
所以的最小值为4。
故答案为：C
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知向量，，且，是与同向的单位向量，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【解析】对于A，根据，求出的值，A符合题意；
对于B，由，得，B不符合题意；
对于C，，，可得，所以，C符合题意；
对于D，因为单位向量与同向，所以，，D符合题意.
故答案为：ACD.
10．有下列说法，其中错误的说法为（ ）
A． 、 为实数，若 ，则 与 共线
B．若 、 ，则
C．两个非零向量 、 ，若 ，则 与 垂直
D．已知向量 ， ，若 在 上的投影向量为 （ 为与向量 同向的单位向量），则
【答案】A,B,D
【解析】解：对于A选项，当λ=μ=0时，可以为任意向量，满足，但不一定共线，故A错误，
对于B选项，如果都是非零向量，，满足已知条件，但是结论不成立，故B错误，
对于C选项，若，所以，即，所以，所以，故C正确，
对于D选项，由向量，在上的投影向量为，所以，解得t=7，故D错误.
故选： ABD.
11．的内角A，，的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是 （ ）
A．若，则
B．若，则此三角形为等腰三角形
C．若，，，则解此三角形必有两解
D．若是锐角三角形，则
【答案】A,D
【解析】由正弦定理可知，又，所以，可得，因为，所以，A正确；
因为，且角2A，2最多有一个大于，所以由可知，或，即或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
由正弦定理可得，因为，所以，故此三角形有唯一解，C错误；
因为是锐角三角形，所以，即，又在上单调递增，所以，同理，
所以，D正确.
故答案为：AD
12．已知平面向量，，满足，，，则下列结论正确的是（ ）
A．对任意，
B．对任意，的最小值为
C．的最大值为
D．的最小值为
【答案】A,B,D
【解析】对于A，因为，．所以，故A正确.
对于D，设，则，，应用A的结论得，
，等号可以取到，故D正确．
对于B，因为 ，所以，
，故B正确．
对于C，，故C错误，
故答案为：ABD．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13．在平面直角坐标系中，，，，若A，B，C三点共线，则正数 ．
【答案】11
【解析】由题意可得 ，因为A，B，C三点共线，所以，进而 或
因为 ，所以 ，
故答案为：11
14．已知向量，其中＝，＝2，且，则向量和的夹角是 .
【答案】
【解析】由题意知：，
设向量和的夹角为θ，
∴有2－2cosθ＝0，解得cosθ＝，
，∴θ＝。
故答案为：。
15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由及正弦定理得，整理得，由于所以，解得，则，所以，因为，所以，所以，所以的取值范围是．
故答案为：．
16．已知，且，实数满足，且，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】在平面直角坐标系中，令，设，则，
，解得，则，依题意，不妨令，，
而，则，有
，
当且仅当，即时取“=”，而，则，当且仅当时取“=”，
因此，，当且仅当且，即且时取“=”，
所以当，，时，取得最小值。
故答案为：。
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知平面向量，满足，，，若，．
（1）求；
（2）求.
【答案】解：平面向量，满足，，，，．．（Ⅱ）求.【答案】解：因为，．所以，．所以．
（1）解：平面向量，满足，，，，．．
（2）解：因为，．
所以，．
所以．
18．在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角C的大小；
（2）若，且，求△ABC的周长．
【答案】（1）解：由及正弦定理得
因为，故．
又∵ 为锐角三角形，所以．
（2）解：由余弦定理，
∵，得
解得：或
∴ 的周长为．
19．已知向量，，，．
（1）求；
（2）若，求实数的值．
（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为，，，．
（2）解：，，
，， 解得．
（3）解：与的夹角是钝角，，且，
，且，解得且．
20．如图，，为某公园景观湖畔的两条木栈道，，现拟在两条木栈道的，处设置观景台，记，，（单位：百米）
（1）若，求的值；
（2）已知，记，试用表示观景路线的长，并求观景路线长的最大值．
【答案】（1）解：由已知条件可得，∵，∴，
即，∴
（2）解：由题意，在中，，则，∴，，
∴观景路线的长，
且，∴时，观景路线长的最大值为
21．在①，②， ③，在三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____.
（1）求角B
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：若选条件①，则有，
根据正弦定理得，
所以，
因为，所以.
若选条件②，根据正弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，解得，
因为，所以.
若选条件③，则有，
所以， 则，
因为，所以.
（2）解：由正弦定理知，
所以
，
因为，所以，
所以， 则，
所以的取值范围为.
22．如图，设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，为的中点，已知，．
（1）若，求；
（2）点，分别为边，上的动点，线段交于，且，，，求的最小值．
【答案】（1）解：由，，
∵为的中点，
，
，
，
∴，
又，
所以；
（2）解：由（1）可知：，
，
∵，为的中点，
∴，
，
解得，
设，，
则，
设，
，
则，解得，
故，
，
，
令，
，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
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第六章 平面向量及其应用 单元培优检测卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知向量，，且，则实数（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则c=（ ）
A．3 B． C． D．
3．在中，已知D为BC上一点，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
4．下列关于向量，，的运算，一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
5．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且的面积为，，则c=（ ）
A．1 B． C． D．
6．已知、是两个非零向量，它们的夹角为，，则下列结论正确的是（ ）
A．当为锐角时，在方向上的投影向量为；为钝角时，在方向上的投影向量为
B．当为锐角时，在方向上的投影向量为；为钝角时，在方向上的投影向量为
C．若存在实数，使，则
D．若，则一定存在唯一的实数，使
7．中，，，，PQ为内切圆的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，点是边上的一点，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．16
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知向量，，且，是与同向的单位向量，则（ ）
A． B． C． D．
10．有下列说法，其中错误的说法为（ ）
A． 、 为实数，若 ，则 与 共线
B．若 、 ，则
C．两个非零向量 、 ，若 ，则 与 垂直
D．已知向量 ， ，若 在 上的投影向量为 （ 为与向量 同向的单位向量），则
11．的内角A，，的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是 （ ）
A．若，则
B．若，则此三角形为等腰三角形
C．若，，，则解此三角形必有两解
D．若是锐角三角形，则
12．已知平面向量，，满足，，，则下列结论正确的是（ ）
A．对任意，
B．对任意，的最小值为
C．的最大值为
D．的最小值为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13．在平面直角坐标系中，，，，若A，B，C三点共线，则正数 ．
14．已知向量，其中＝，＝2，且，则向量和的夹角是 .
15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的取值范围是 ．
16．已知，且，实数满足，且，则的最小值是 ．
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知平面向量，满足，，，若，．
（1）求；
（2）求.
18．在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角C的大小；
（2）若，且，求△ABC的周长．
19．已知向量，，，．
（1）求；
（2）若，求实数的值．
（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
20．如图，，为某公园景观湖畔的两条木栈道，，现拟在两条木栈道的，处设置观景台，记，，（单位：百米）
（1）若，求的值；
（2）已知，记，试用表示观景路线的长，并求观景路线长的最大值．
21．在①，②， ③，在三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____.
（1）求角B
（2）若，求的取值范围.
22．如图，设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，为的中点，已知，．
（1）若，求；
（2）点，分别为边，上的动点，线段交于，且，，，求的最小值．
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