安徽省滁州市定远县育才学校2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题（Word版含答案）

定远县育才学校2022-2023学年高二下学期开学考试
数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，是三棱锥的底面的重心，若、、，则的值为( )
A. B. C. D.
2. 已知空间向量，，，则( )
A. B. C. D.
3. 已知向量，，且与互相平行，则的值是( )
A. B. C. D.
4. 在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为( )
A. B. C. D.
5. 某节物理课上，物理老师讲解光线的入射、反射与折射，为了更好地解释光线的路径，物理老师将此问题坐标化如下：已知入射光线从射出，经过直线上的点后第一次反射，若此反射光线经过直线上的点时再次反射，反射后经过点，则可以求得直线的斜率为( )
A. B. C. D.
6. 已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
7. 已知，直线被圆：所截得的弦长为，且为圆上任意一点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8. 设，是双曲线：的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 如图，在四棱锥中，点在平面的投影为，底面为矩形，，，若为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值不可能为( )
A. B. C. D.
10. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，是的中点，直线与相交于点则下列结论正确的是( )
A. 圆的半径为
B. 的最小值为
C. 当时，
D. 为定值
11. 已知椭圆的左、右焦点为，为坐标原点，直线过交于两点，若的周长为，则( )
A. 椭圆焦距为； B. 椭圆方程为；
C. 弦长； D. ．
12. 已知点，为坐标原点，，为曲线上的两点，为其焦点下列说法正确的是( )
A. 点的坐标为
B. 若为线段的中点，则直线的斜率为
C. 若直线过点，且是与的等比中项，则
D. 若直线过点，曲线在点处的切线为，在点处的切线为，则
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知向量，，，则 ．
14. 若直线：被圆：截得线段的长为，则实数的值为__________．
15. 已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴，轴分别交于，两点，且，则的方程为___________．
16. 已知抛物线：的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于，两点，交于点，若，则 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，为的中点，且所在的直线方程为．
Ⅰ求顶点的坐标；
Ⅱ求过点且在轴、轴上的截距相等的直线的方程．
18. 本小题分
如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，平面．
求与所成的角
平面与平面所成的锐二面角余弦值．
19. 本小题分
已知椭圆过点，且离心率．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ设点为椭圆的左焦点，点，过点作的垂线交椭圆于点，，连接与交于点．
若，求；
求的值．
20. 本小题分
已知双曲线．
过点的直线与双曲线交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程；
直线：与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点．当点运动时，求点的轨迹方程，
21. 本小题分
如图，设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点．
求点的轨迹方程；
设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点．
证明：为定值；
求四边形面积的取值范围．
22. 本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线：，点，过点的直线与抛物线交于，两点，当与抛物线的对称轴垂直时，．
求抛物线的标准方程；
若点在第一象限，记的面积为，的面积为，求的最小值．
答案和解析
1. 【解析】是三棱锥的底面的重心，
，
，
、、，
，，
．故选：．
2. 【解析】，，，
，
，，
，故选：．
3. 【解析】由题意得，，．
所以，
即
解得，．故选A．
4. 【解析】设平面的一个法向量为，
则
取，得，
四棱锥的高即为点到平面的距离，即为．故选D．
5. 【解析】作出图形如下所示，
分别作关于的对称点，
以及关于直线的对称点，
则．故选D．
6. 【解析】直线，得，
此方程是过两直线和交点的定点直线系方程．
设交点为，解方程组，可知两直线的交点为，
故直线恒过定点，
如图所示，可知，
故选D．

7. 【解析】圆：的圆心为，半径为，
设圆心到直线的距离为，则，
解得，
即，
解得或舍去，
即圆心，
因此，
所以的最大值为．故选D．
8. 【解析】不妨设双曲线：的一条渐近线方程为，
则到的距离，
在中，，所以，
所以，又，
所以在与中，根据余弦定理得
，
即，得．
所以．故选C．
9. 【解析】由题意知：平面，又底面为矩形，
易得，，两两垂直，
以为坐标原点，为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，，
设平面的法向量，
，令，解得：，，，
，当且仅当，即时取等号，
即直线与平面所成角的正弦值的最大值为，
则直线与平面所成角的正弦值不可能为和．故选CD．
10. 【解析】对于，设圆的半径为，因为圆与直线相切，
所以，故选项正确；
对于，要使取最小值，则圆心到直线 的距离最大，
因为直线过定点，所以，
此时，故选项正确；
对于，当直线的方程为 ，
圆心到直线的距离，
所以直线被圆所截的弦长，
故选项正确；
对于，当直线的斜率不存在时，点，则，
又因为，所以；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，得，所以，
所以，故选项错误，故选：．
11. 【解析】直线过，得，即，椭圆焦距为，故A错误；
的周长为，根据椭圆定义得的周长为，所以，得，
所以，所以椭圆方程为，故B正确；
联立得，，
所以，故C正确；
到直线的距离，
所以故D错误，故选BC．
12. 【解析】由得，则焦点坐标，故A错误，
当直线垂直于轴，的中点在轴上，不满足题意，
当直线不垂直于轴，
设，，
直线：，，
代入得，
则，
为线段的中点，，
即，得，故B正确，
若直线过点，且是与的等比中项，
则，
设过点的直线：，代入得，
则，，
又抛物线的准线方程为，
由抛物线的定义可知，，
，
，
，
代入，
得，
得，满足判别式，
则，故C正确，
，，则，，
设在处切线斜率为，在处切线斜率为，
则在处切线方程为，
与联立，可得，
由，可得，
同理可得，
则，由选项C知，，
则，即，故D正确．故选：．
13.
【解析】
由题意，解得，
．
故答案为．

14.
【解析】圆：的圆心坐标为，
圆心到直线的距离，
则由圆的半径，得，解得．故答案为．
15.
【解析】设，，线段的中点为，
由，，
相减可得：，
则，
设直线的方程为：，，，，，
，，
，解得，
，，化为：．
，，解得．
的方程为，即，
故答案为：．
16.
【解析】如图所示，分别过点，做，，垂足分别为，，
设，由，
则，，
，
即，解得，
则，
故答案为：．
17.解：边上的高所在的直线方程为，．
直线方程为：，化为：，
联立，解得，．
．
设，则．
联立，解得，．
由直线与轴、轴截距相等，
当直线经过原点时，设直线的方程为：．
把的坐标代入可得：，解得．
直线的方程为：
当直线不经过原点时，设直线的方程为：．
把的坐标代入可得：．
直线的方程为：．
综上直线的方程为：或．
18.解：由，可得，
又平面，
故以分别为轴建立空间直角坐标系．
则，
由，
则，所以，
所以与所成的角是；
由题意为平面的一个法向量，
设为平面 的一个法向量，，
由，令，则，
故，
所以，
所以平面与平面所成的锐二面角余弦值是．
19.解：由题意得
解得，．
所以椭圆的方程为．
当时，直线的斜率，
则的垂线的方程为，
由得，
解得，
故；
由，，显然斜率存在，，
当时，，
当时，直线过点且与直线垂直，则直线方程为，
由得，
显然，
设，，
则，
则，中点的横坐标为，
直线的方程为，
由得，
所以．
综上，的值为．
20.解：设，，则，
两式相减得，即，
因为点是线段的中点，所以，
即直线的斜率为，
所以直线的方程为，即．
联立方程组得，满足，
故直线的方程为．
联立方程组得，
因为直线：与双曲线有唯一的公共点，
，得，
所以的坐标为，其中，
因为过点且与垂直的直线为，
令，得，令，，
所以，
故点的轨迹方程为：，
的轨迹是焦点在轴上，实轴长为，虚轴长为且不包含两个顶点的双曲线．
21.解：圆即为，
可得圆心，半径，
由，可得，
由，可得，
即为，即有，
则，
故E的轨迹为以，为焦点的椭圆，且有，即，，，
则点的轨迹方程为
证明：依题意：与轴不垂直，设的方程为，，，不妨设．
由得．
则，．
所以，
所以
其中，
，
所以，
故为定值
椭圆，设直线，
由，设，
由可得，
设，，
可得，，
则
，
到的距离为，
，
则四边形面积为
，
当时，取得最小值，又，可得，
即有四边形面积的取值范围是
22.解：当与抛物线的对称轴垂直时，，
则令，，则代入抛物线方程，则，解得，
所以抛物线方程是．
设直线的方程为，，
联立抛物线整理得：，，，
，，
有，由在第一象限，则，即，
，可得，，
又到的距离，
，而，
，，
，令，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
的最小值为．