四川省泸县第四中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学（理）试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 四川省泸县第四中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学（理）试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 522.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-06 16:02:01 | ||
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文档简介
泸州市部分中学2022-2023学年高二下学期开学考试
理科数学
本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某校640名毕业生学生，现采用系统抽样方法，抽取32人做问卷调查，将640人按1，2，…，640随机编号，则抽取的32人中，编号落入区间[161,380]的人数为
A．10 B．11 C．12 D．13
2．不等式的解集为
A． B．
C．或 D．或
3．已知，则下列说法中一定正确的是
A． B． C． D．
4．某学校举办班级间篮球比赛，甲、乙两班得分情况如茎叶图所示，甲、乙两班得分的中位数分别是x甲，x乙，则下列说法正确的是
A．，甲比乙成绩稳定
B．，乙比甲成绩稳定
C．，甲比乙成绩稳定
D．，乙比甲成绩稳定
5．命题“，”为假命题，则的取值范围为
A． B． C． D．
6．已知圆过点，且圆心在直线上，则圆 的方程为
A． B．
C． D．
7．焦点在轴上的椭圆的离心率是，则实数的值是
A． B． C． D．
8．已知点为抛物线：上一点，且点到轴的距离比它到焦点的距离小3，则
A．3 B．6 C．8 D．12
9．已知实数，，且，则的最大值为
A． B． C． D．
10．在空间直角坐标系中，四面体SABC各顶点坐标分别为，，，，则该四面体外接球的表面积是
A． B． C． D．
11．已知双曲线的左右焦点分别是和，点关于渐近线的对称点恰好落在圆上，则双曲线的离心率为
A． B．2 C． D．3
12．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上一点，且在第一象限，当取得最小值时，点的坐标为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为______.
14．已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为_____．
15．在定圆上随机取三点A、B、C，则是锐角三角形的概率等于______．
16．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，有以下四个命题
①直线与平面所成的角的正弦值为；②；
③若点为直径上一点，且，则平面；
④在球内任取一点，则落在三棱锥内的概率是.
其中正确命题有_____（填上所有正确命题的序号）
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知圆心为的圆经过原点O.
（1）求圆C的方程；
（2）求与直线平行，且与圆C相切的直线方程.
18．（12分）某书店销售刚刚上市的高二数学单元测试卷，按事先拟定的价格进行5天试销，每种单价试销1天，得到如下数据：
单价/元 18 19 20 21 22
销量/册 61 56 50 48 45
由数据知，销量y与单价x之间呈线性相关关系．
(1)求y关于x的回归直线方程；附：，．
(2)预计以后的销售中，销量与单价服从（1）中的回归直线方程，已知每册单元测试卷的成本是10元，为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为多少元？
19．（12分）已知双曲线C的方程为（），离心率为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过的直线交曲线于两点，求的取值范围.
20．（12分）如图，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC＝∠BAD＝90°，F为PA中点，，．四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N．
(1)求证：AC∥平面DEF；
(2)求二面角A－BC－P的余弦值．
21．（12分）已知拋物线的焦点为，过点且斜率为的直线交于两点.当时，.
(1)求的方程；
(2)若关于轴的对称点为，当变化时，求证：直线过定点，并求该定点坐标.
22．（12分）已知C：的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为：，过点M作垂直于直线m交直线m于点E.
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)①若线段EN必过定点P，求定点P的坐标；
②点O为坐标原点，求面积的最大值.
泸州市部分中学2022-2023学年高二下学期开学考试
理科数学参考答案：
1．B 2．A 3．B 4．C 5．A 6．C 7．A 8．B 9．B 10．D 11．B 12．B
13． 14．x+2y﹣8=0． 15． 16．①②③④
17．解：（1）圆的半径为
从而圆的方程为
（2）设直线方程为，
圆心为，半径为，直线与圆相切，
∴圆心到直线的距离为
∴，，方程为
18．解：（1）由表格数据得，．
则，，
则，，
则y关于的回归直线方程为.
（2）获得的利润，对应抛物线开口向下，
则当时，取得最大值，
即为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为21.5元．
19．(1)根据题意，由离心率为，知双曲线是等轴双曲线，所以
，故双曲线的标准方程为.
(2)当直线斜率存在时，设直线的方程为，
则由消去，得到，
∵直线与双曲线交于M N两点，，解得.
设，则有，，
因此，
∵，∴且，故或，
故；
②当直线的斜率不存在时，此时，易知，，故.
综上所述，所求的取值范围是.
20．（1）因为四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N，所以N为PC的中点．
连接FN，在△PAC中，F，N分别为PA，PC的中点，所以FN∥AC，
因为平面DEF，平面DEF，所以AC∥平面DEF.
（2）因为PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC＝∠BAD＝90°，所以DA，DC，DP两两垂直，
如图以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
则，，，，所以，．
设平面PBC的法向量为，则，令x=1，则.
因为PD垂直于梯形ABCD所在的平面，所以是平面ABC的一个法向量，所以.
由图可知所求二面角为锐角，即所求二面角的余弦值为.
21．(1)直线l的斜率为k且过焦点，则直线l的方程为，
当k=1时，直线l的方程为，
联立方程组消去y，得设
则，所以，，解得
所以抛物线C的方程为.
(2)设，直线PQ的斜率存在，，
因为P，T关于x轴对称，则，所以，
直线TQ的方程为，即
联立方程组消去x，得，由题知所以
直线TQ的方程为，即，令得
所以，直线TQ过定点.
22．解：（1）由题意可得:
故椭圆的标准方程为 .
（2）证明:①由题意知, ,
设直线 方程: ,
联立方程 , 得 ,
所以 ,
所以 , 又 ,
所以直线 方程为: ,
令 , 则 .
所以直线 过定点 .
② 由①中 , 所以 ,
又 ，
所以 ,
令 , 则 ,
令 , 当 时, ,
故 在 上单调递增,则 在 上单调递减,
即 在 上单调递减,
所以 时, .
理科数学
本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某校640名毕业生学生，现采用系统抽样方法，抽取32人做问卷调查，将640人按1，2，…，640随机编号，则抽取的32人中，编号落入区间[161,380]的人数为
A．10 B．11 C．12 D．13
2．不等式的解集为
A． B．
C．或 D．或
3．已知，则下列说法中一定正确的是
A． B． C． D．
4．某学校举办班级间篮球比赛，甲、乙两班得分情况如茎叶图所示，甲、乙两班得分的中位数分别是x甲，x乙，则下列说法正确的是
A．，甲比乙成绩稳定
B．，乙比甲成绩稳定
C．，甲比乙成绩稳定
D．，乙比甲成绩稳定
5．命题“，”为假命题，则的取值范围为
A． B． C． D．
6．已知圆过点，且圆心在直线上，则圆 的方程为
A． B．
C． D．
7．焦点在轴上的椭圆的离心率是，则实数的值是
A． B． C． D．
8．已知点为抛物线：上一点，且点到轴的距离比它到焦点的距离小3，则
A．3 B．6 C．8 D．12
9．已知实数，，且，则的最大值为
A． B． C． D．
10．在空间直角坐标系中，四面体SABC各顶点坐标分别为，，，，则该四面体外接球的表面积是
A． B． C． D．
11．已知双曲线的左右焦点分别是和，点关于渐近线的对称点恰好落在圆上，则双曲线的离心率为
A． B．2 C． D．3
12．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上一点，且在第一象限，当取得最小值时，点的坐标为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为______.
14．已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为_____．
15．在定圆上随机取三点A、B、C，则是锐角三角形的概率等于______．
16．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，有以下四个命题
①直线与平面所成的角的正弦值为；②；
③若点为直径上一点，且，则平面；
④在球内任取一点，则落在三棱锥内的概率是.
其中正确命题有_____（填上所有正确命题的序号）
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知圆心为的圆经过原点O.
（1）求圆C的方程；
（2）求与直线平行，且与圆C相切的直线方程.
18．（12分）某书店销售刚刚上市的高二数学单元测试卷，按事先拟定的价格进行5天试销，每种单价试销1天，得到如下数据：
单价/元 18 19 20 21 22
销量/册 61 56 50 48 45
由数据知，销量y与单价x之间呈线性相关关系．
(1)求y关于x的回归直线方程；附：，．
(2)预计以后的销售中，销量与单价服从（1）中的回归直线方程，已知每册单元测试卷的成本是10元，为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为多少元？
19．（12分）已知双曲线C的方程为（），离心率为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过的直线交曲线于两点，求的取值范围.
20．（12分）如图，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC＝∠BAD＝90°，F为PA中点，，．四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N．
(1)求证：AC∥平面DEF；
(2)求二面角A－BC－P的余弦值．
21．（12分）已知拋物线的焦点为，过点且斜率为的直线交于两点.当时，.
(1)求的方程；
(2)若关于轴的对称点为，当变化时，求证：直线过定点，并求该定点坐标.
22．（12分）已知C：的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为：，过点M作垂直于直线m交直线m于点E.
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)①若线段EN必过定点P，求定点P的坐标；
②点O为坐标原点，求面积的最大值.
泸州市部分中学2022-2023学年高二下学期开学考试
理科数学参考答案：
1．B 2．A 3．B 4．C 5．A 6．C 7．A 8．B 9．B 10．D 11．B 12．B
13． 14．x+2y﹣8=0． 15． 16．①②③④
17．解：（1）圆的半径为
从而圆的方程为
（2）设直线方程为，
圆心为，半径为，直线与圆相切，
∴圆心到直线的距离为
∴，，方程为
18．解：（1）由表格数据得，．
则，，
则，，
则y关于的回归直线方程为.
（2）获得的利润，对应抛物线开口向下，
则当时，取得最大值，
即为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为21.5元．
19．(1)根据题意，由离心率为，知双曲线是等轴双曲线，所以
，故双曲线的标准方程为.
(2)当直线斜率存在时，设直线的方程为，
则由消去，得到，
∵直线与双曲线交于M N两点，，解得.
设，则有，，
因此，
∵，∴且，故或，
故；
②当直线的斜率不存在时，此时，易知，，故.
综上所述，所求的取值范围是.
20．（1）因为四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N，所以N为PC的中点．
连接FN，在△PAC中，F，N分别为PA，PC的中点，所以FN∥AC，
因为平面DEF，平面DEF，所以AC∥平面DEF.
（2）因为PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC＝∠BAD＝90°，所以DA，DC，DP两两垂直，
如图以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
则，，，，所以，．
设平面PBC的法向量为，则，令x=1，则.
因为PD垂直于梯形ABCD所在的平面，所以是平面ABC的一个法向量，所以.
由图可知所求二面角为锐角，即所求二面角的余弦值为.
21．(1)直线l的斜率为k且过焦点，则直线l的方程为，
当k=1时，直线l的方程为，
联立方程组消去y，得设
则，所以，，解得
所以抛物线C的方程为.
(2)设，直线PQ的斜率存在，，
因为P，T关于x轴对称，则，所以，
直线TQ的方程为，即
联立方程组消去x，得，由题知所以
直线TQ的方程为，即，令得
所以，直线TQ过定点.
22．解：（1）由题意可得:
故椭圆的标准方程为 .
（2）证明:①由题意知, ,
设直线 方程: ,
联立方程 , 得 ,
所以 ,
所以 , 又 ,
所以直线 方程为: ,
令 , 则 .
所以直线 过定点 .
② 由①中 , 所以 ,
又 ，
所以 ,
令 , 则 ,
令 , 当 时, ,
故 在 上单调递增,则 在 上单调递减,
即 在 上单调递减,
所以 时, .
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