四川省内江市威远中学校2022-2023学年高二下学期开学考试数学（理）试题（Word版含答案）

威远中学校2022-2023学年高二下学期开学考试
理科数学
本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．
A．24 B．18 C．12 D．6
2．某汽车制造厂分别从A，B两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程（单位：）．
A类轮胎：94，96，99，99，105，107． B类轮胎：95，95，98，99，104，109．
根据以上数据，下列说法正确的是
A．A类轮胎行驶的最远里程的众数小于B类轮胎行驶的最远里程的众数
B．A类轮胎行驶的最远里程的极差等于B类轮胎行驶的最远里程的极差
C．A类轮胎行驶的最远里程的平均数大于B类轮胎行驶的最远里程的平均数
D．A类轮胎的性能更加稳定
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
4．若直线与直线平行，则
A． B． C． D．
5．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为，如.如图所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的“中国剩余定理”.执行该程序框图，则输出的i等于
A．7 B．10 C．13 D．16
6．下列关于抛物线的图象描述正确的是
A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为
C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为
7．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间
为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现
绿灯的概率为
A． B． C． D．
8．圆与圆的位置关系是
A．相交 B．外切 C．内切 D．相离
9．在直三棱柱中，，且，点M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
10．直线与圆相交于两点，则的最小值为
A．6 B．4 C． D．
11．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为
A． B． C．1 D．
12．已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为
A．4 B．8 C．16 D．32
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．一组样本数据为m，0，1，2，3，若该样本的平均数为1，则样本方差为______________.
14．一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为________.
15．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为坐标原点，记直线的斜率分别为，则______.
16．在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，四边形ABCD是等腰梯形，，，，若四棱锥的体积为24，则四棱锥外接球的表面积是___________.
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）设：函数的定义域为；：不等式对任意的恒成立．
(1)如果是真命题，求实数的取值范围；
(2)如果“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．
18．（12分）某地区2013年至2019年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2013年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：,
19．（12分）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，．
(1)求圆A的标准方程；
(2)求直线l的方程．
20．（12分）某学校为了调查学校学生在一周零食方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，分成四组[20,30），[30，40），[40,50），[50，60].其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60]元的学生有180人.
（1）求n的值;
（2）请以样本估计全校学生的平均支出为多少元（同一组的数据用该区间的中点值作代表）;
（3）如果采用分层抽样的方法从[30，40）， [40，50）共抽取5人，然后从中选取 2 人参加学校进一步的座谈会，求在[30，40）， [40，50）中正好各抽取一人的概率为多少.
21．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，是的中点，，.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
22．（12分）已知椭圆()的左、右焦点分别是，，点为的上顶点，点在上，，且.
（1）求的方程；
（2）已知过原点的直线与椭圆交于，两点，垂直于的直线过且与椭圆交于，两点，若，求.
威远中学校2022-2023学年高二下学期开学考试
理科数学参考答案：
1．B 2．D 3．A 4．A 5．C 6．A 7．B 8．C 9．B 10．D 11．B 12．B
13．2 14．. 15． 16．
17．(1)解：因为是真命题，所以对任意的恒成立，
当时，不等式，显然在不能恒成立；
当时，则满足解得，
故实数的取值范围为．
(2)解：因为，所以，当且仅当时，等号成立．
若是真命题，则；
因为“”为真命题，“”为假命题，所以与一真一假．
当真假时，所以；当假真时，所以，
综上，实数的取值范围为．
18．（1）由所给数据计算得，
，
，
，
，，所求线性回归方程为；
（2）由（1）知，，故年至年该地区居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加万元，
将年的年份代号代入（1）中的线性回归方程，得，
故预测该地区年居民家庭人均纯收入为万元.
19．（1）设圆A半径为R，由圆与直线相切得，
∴圆A的标准方程为.
（2）i. 当直线l与x轴垂直时，即，此时，符合题意；
ii. 当直线l不与x轴垂直时，设方程为，即，
Q是MN的中点，，∴，即，解得，∴直线l为：.
∴直线l的方程为或.
20．（1）由图可知，支出在[50，60]元的学生频率为 ，
所以 人；
（2）样本平均数为 元，
那么估计全校学生的平均支出为43.6元；
（3）用分层抽样的方法从[30，40）， [40，50）共抽取5人，
因为[30，40）， [40，50）中人数比例为2:3，
那么[30，40）抽取2人记为a,b，[40，50）中抽取3人记为A,B,C，
5人中选取2人有 共10种情况，
[30，40）， [40，50）中各抽取1人有共6种情况，故概率为 .
21（1）证明：∵，，∴△≌△, ∴,
设，
在△中，由余弦定理得，即，
则, 即，，
连接交于点，分别以，为轴、轴，过作轴，建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，的中点，
则，，
∵，∴.
（2）由（1）可知，，，
，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，即，
则，
记直线与平面所成角为，.
22．（1）设椭圆的焦距为，∵，
∴的坐标为.∵在上，将代人，得.
又∵，∴，
∴.又∵，∴，，的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，，，不符合题意；
当直线的斜率为0时，，，也不符合题意.
∴可设直线的方程为,
联立得，则，.
.
由得或
∴.又∵，∴，∴，
∴.∵到直线的距离，∴.