第二十七章 相似单元检测卷（含解析）

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人教版2023年九年级下册第27章《相似》单元检测卷
一、选择题(共30分)
1．已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则等于（ ）
A．1 B．2.5 C．7.5 D．10
2．在如图所示的肉眼成像的示意图中，可能没有蕴含下列哪项初中数学知识（　　）
A．平行线的性质 B．相似三角形的判定
C．位似图形 D．旋转
3．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．若，相似比为：，则与的周长的比为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，，要使得，需要补充的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，已知点D，E分别是边AC，BC上的点，，且，则等于（ ）
A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5
8．如图，与是位似图形，相似比为，已知，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．15
9．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点C是线段的中点，轴于点D．动点P从点D出发，沿向点C匀速运动，过点P作轴于点E，连接．当所在直线与所在直线第一次垂直时，点P的坐标（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，M是边上的点，连结，交边于点N，若，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(共20分)
11．已知线段，，则a，b的比例中项线段长等于_______．
12．如图，，，．点在上移动，当以为顶点的三角形与相似时，则的长为___________．
13．如图，正方形中，分别在边上，相交于点，若，则的值是_______．
14．在如图所示的网格中，的位似图形是______．
15．如图，的顶点B在x轴负半轴上，点C是边的中点，反比例函数的图象经过A、C两点，若的面积等于9，则k的值为___．
三、解答题(共70分)
16．(6分)如图，为的角平分线，的垂直平分线交的延长线于E，交于F，连接．求证：．
17．(6分)如图，路灯（P点）距地面4.8米，身高1.6m的学生从距路灯底部（O点）6m的A点沿OA所在的直线行走4米到B点时，落在地上的影子变短了多少？
1
18．(8分)如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，求的值．
19．(9分)如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为，的顶点均在网格格点上，且．
(1)以原点为位似中心，在第一象限画出，使得与位似，且相似比为；
(2)在（1）的条件下，写出与的面积比．
20．(9分)已知：如图，点C，D在线段AB上，是等边三角形，．
(1)求证：；
(2)若，求BD的长度．
21．(10分)已知：如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
(1)求证：平分．
(2)过点O作线段的垂线，垂足为E．若，．求垂线段OE的长．
22．(10分)如图，在和中，，点G、F分别是的中点，连接．
(1)求证：；
(2)求的值．
23．(12分)如图 1，在矩形中，，是边的中点，（与点不重合）是边上一动点，连接，延长交的延长线于点．
(1)若，求证：
①；
②求的长．
(2)如图 2，分别取的中点，连接，当时， 求的长和的面积．
参考答案
1．D
【分析】根据比例线段的定义得到，然后把代入进行计算即可．
【详解】解：∵线段是成比例线段，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】考查了比例线段的定义：若四条线段有，那么就说这四条线段成比例．
2．D
【分析】根据位似图形、相似三角形的判定、平行线的性质、旋转的概念判断即可．
【详解】解：∵两棵树是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，
∴这两个图形是位似图形，
∴蕴含了平行线的性质、相似三角形的判定、位似图形，没有蕴含旋转，
故选：D．
【点睛】考查的是位似图形、相似三角形的判定、平行线的性质、旋转的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．
3．B
【分析】根据，再利用比例的基本性质则即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故选B．
【点睛】考查了比例的基本性质，熟记比例的性质是解的关键．
4．B
【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比进行求解即可．
【详解】解：∵，相似比为，
与的周长的比为．
故选：B．
【点睛】主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键．
5．D
【分析】根据相似三角形的判定条件逐一判断即可．
【详解】解：∵，
∴；
由，可以证明，故A不符合题意；
由可得，再由可以证明，故B不符合题意；
由可得，再由，可以证明，故C不符合题意；
由结合已知条件不能证明，故D符合题意；
故选D．
【点睛】主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．
6．D
【分析】由，设则，根据平行线分线段成比例得，代入计算即可．
【详解】解：∵，
设则，
，
∴，
故选：D．
【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例，解题的关键是找到对应线段成比例．
7．C
【分析】直接根据平行线分线段成比例求解即可；
【详解】，
，
，
故选择：C．
【点睛】主要考查平行线分线段成比例，结合图形，明确各个对应线段的比例关系是解题的关键．
8．C
【分析】由与是位似图形，位似比为，可得，继而可求得的长．
【详解】∵与是位似图形，相似比为1：3，
∴，且，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】主要考查了位似图形的性质，平行线分线段成比例，掌握位似图形的性质是解答的关键．
9．B
【分析】先根据题意求得和的长，再判定，列出相关的比例式，求得的长，最后根据的长得到点的坐标．
【详解】解：延长交于点,当时,
由题意知,
是的中点,
是的中点,
易知四边形为矩形，
设,则,
,
,
,
即
,
当直线与直线第一次垂直时，，即点的坐标为
故选：B
【点睛】主要考查了坐标与图形性质，解决问题的关键是掌握平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质，解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似．
10．D
【分析】过点C作于点P，交于点Q，根据，可得， 设，根据勾股定理可得，再由，可得，进而得到，再由，可得，从而得到，再由，可得，进而求出，，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作于点P，交于点Q，
∵四边形和和是正方形，
∴，，
∴，，
∴，，
设，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
∴．
故选：D
【点睛】主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理是解题的关键．
11．6
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．
【详解】解：设a，b的比例中项为c，
根据比例中项的定义得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，
∴，
解得：或（不合题意，舍去）
故答案为：6．
【点睛】主要考查了比例线段；理解比例中项的概念，注意线段不能是负数．
12．或2或12
【分析】根据题意，分两种情况：和，然后分别利用相似三角形的性质，对应线段成比例列出方程求解即可得出答案．
【详解】解：若，
∴，
设，
，
，
解得；
若，
∴，
设，
，
，
解得；
综上所述，的长度为或2或12，
故答案为：或2或12．
【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质并分情况讨论是解题的关键．
13．
【分析】作，交与，设，则，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】解：如图所示，作，交与，
四边形是正方形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
设，则，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
14．
【分析】根据位似图形的对应点连线，经过位似中心，由图可知，线段经过点，确定位似中心为点，进而求解即可．
【详解】如图，线段经过点，并且，则位似中心为点，
连接并延长到点，连接并延长到点，
连接、、，
由图可知：，
，
∴，
∴的位似图形是，位似中心为点；
故答案为：．
【点睛】考查位似图形．熟练掌握位似图形的性质，确定位似中心，是解题的关键．
15．
【分析】如图所示，过点C作轴于D，过点A作轴于E，则，
设点Ｃ的坐标为，则点A的坐标为，证明，推出，则，再根据得到，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点C作轴于D，过点A作轴于E，则，设点Ｃ的坐标为，则点A的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】主要考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
16．见解析
【分析】根据角平分线的定义得到，根据线段垂直平分线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质可得即可得到结论．
【详解】∵是的平分线，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又
∴．
【点睛】考查了三角形相似的判定，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．
17．米
【分析】由题易得，再根据对应线段成比例可以求出两个点影子长度，再相减．
【详解】解：
即
解得，；
同理，可得
即，
∴米，
∴（米）．
∴小明的身影变短了米．
【点睛】考查相似三角形的性质与应用，掌握对应线段成比例是关键．
18．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列比例式，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
【点睛】考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理内容是关键：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
19．(1)见解析
(2)与的面积比为
【分析】（1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，将的坐标都乘以得到的坐标，然后连线即可求解；
（2）根据相似比的等于位似比，面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】（1）解：如图所示．
（2）解：与的面积比为．
【点睛】考查了画位似图形，位似的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)9
【分析】对于（1），根据等边三角形的性质可得，由三角形的内角和定理，再根据“两角相等的两个三角形相似”得出结论；
对于（2），根据相似三角形的对应边成比例及等边三角形的性质可得答案．
【详解】（1）为等边三角形，
，
.
，
．
，
，
，
．
（2），
.
为等边三角形，
，
，
解得．
【点睛】主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
21．(1)见详解；
(2)
【分析】（1）连接，根据切线性质即可得到，根据可得，即可得到，最后根据可得，即可得到证明；
（2）根据垂径定理即可得到，再根据可得，结合（1）中，即可得到，可得，
即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
，
∵，，
∴
∴．
【点睛】考查勾股定理，垂径定理，相似三角形判定与性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是根据切线及垂直得到角度相等．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由条件可知和都是等腰直角三角形，然后证明，即可解决问题；
（2）连接，，证明，进而得到，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵，
∴和都是等腰直角三角形，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴．
（2）解：如图，连接，，
∵和都是等腰直角三角形，且点G，F分别是ED，BC的中点，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线构造相似三角形．
23．(1)①见解析；②或2
(2)，
【分析】（1）①根据矩形的性质及角度的等量代换得出，利用相似三角形的判定即可证明；②根据全等三角形的判定和性质得出，再由相似三角形的性质求解即可；
（2）连接，交于点，根据中位线的性质得出，，再由相似三角形的判定和性质得出，利用勾股定理得出，即可确定三角形的面积；再次利用勾股定理即可得出结果．
【详解】（1）证明：①在矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵是的中点，
∴，
在矩形中，有，
∴，
又∵，
∴，
∴
设，则，
∵，
∴，即，
解得，
即或2；
（2）如图，连接，交于点，
∵分别为的中点，
∴，，
∵
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
可得：，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴．
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质及勾股定理解三角形，三角形中位线的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．