永定县中2022-2023学年高一下学期开学摸底考试
数学试卷
考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．5
2．已知角α的终边经过点P(3,﹣4),则角α的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．函数，，满足，若，在有两个实根，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼会很快失去新鲜度.已知某种鱼失去的新鲜度h与其出水后时间t（分）满足的函数关系式为.若出水后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%.那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知，结果取整数）（ ）
A．33分钟 B．43分钟 C．50分钟 D．56分钟
7．函数，则关于函数性质说法正确的是（ ）
A．周期为 B．在区间上单调递增
C．对称中心为(k∈Z) D．其中一条对称轴为x=
8．如图，点，在函数的图象上，点在函数的图象上，若为等边三角形，且直线轴，设点的坐标为，则
A．2 B．3 C． D．
多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列化简正确的是 （ ）
A． B． C．= D．=
10．若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若，则xy，，且当 时，，则称集合A是“紧密集合”以下说法正确的是（ ）
A．整数集是“紧密集合” B．实数集是“紧密集合”
C．“紧密集合”可以是有限集 D．若集合A是“紧密集合”，且，则
11．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．若是第二象限角，则在第三象限
C．已知扇形的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）为的弧度数为
D．若角的终边过点，则
12．已知函数是定义在R上的函数，其中f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a可以为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
第II卷（非选择题）
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若函数，则的值为__ ____.
14．函数在区间上的最小值是______ .
15．若函数，在上恰有一个最大值点和两个零点，则实数的取值范围是________ .
16．对于正整数，函数定义如下：对于实数，记方程的不同实数解的个数为，求使得函数的最大值为4的所有正整数的和为___________.
四．解答题：本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题10分）
已知集合.
求集合和； （2）求.
18．（本小题12分）
已知函数.
（1）求的最小正周期
（2）将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数图象，求的单调递减区间.
19．（本小题12分）
已知函数（）．
(1)若函数为奇函数，求的值；
(2)判断函数在上的单调性，并证明．
20．（本小题12分）
已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式及对称中心；
(2)先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到的图象，求函数在上的值域.
（本小题12分）
已知函数.
(1)当，时，求满足的的值；
(2)当时，若函数是定义在上的奇函数，函数满足
①求及的表达式；
②若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值.
（本小题12分）
北京冬奥会已于月日开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温，与冬奥会相关的周边产品也销量上涨.因可爱而闻名的冰墩墩更是成为世界顶流，在国内外深受大家追捧.对某商户所售的冰墩墩在过去的一个月内（以天计）的销售情况进行调查发现：冰墩墩的日销售单价（元/套）与时间（被调查的一个月内的第天）的函数关系近似满足（常数），冰墩墩的日销量（套）与时间的部分数据如表所示：
（套）
已知第天该商品日销售收入为元，现有以下三种函数模型供选择：
①，②，③
(1)选出你认为最合适的一种函数模型，来描述销售量与时间的关系，并说明理由；
(2)根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入（，）在哪天达到最低．永定县中2022-2023学年高一下学期开学摸底考试
数学试卷参考答案
1．A
【详解】为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确；是无理数，所以，所以②错误；不是正整数，所以，所以③正确；，所以④正确；
是无理数，所以，所以⑤正确；，所以⑥错误.故选:A.
2．C
【详解】由题意可得x=3，y=﹣4，则r==5，则sinα==﹣，故选：C．
3．D
【详解】因为，所以，则
（当且仅当，也即时取等号）,所以最小值为5，故选：D.
4．C
【详解】因为，所以，又，
所以故选：C
5．A
【详解】∵ ，∴关于对称，∴，，解得：，，又∵ ， ∴，∴
因为， ，即：，，
设， 则在有两个实根，即：在有两个交点，如图所示，当时，，∴ ，即：，故选：A.
6．B
【详解】由题意知，，解得，所以，
所以，即，故选：B
7．B
【详解】由题意，函数，可得函数的最小正周期为，所以A不正确；由，可得，由余弦函数在上为单调递增函数，可得函数在区间为单调递增函数，所以B正确；令，解得，可得函数的对称中心为，所以C不正确；令，解得，
可得不是函数的对称轴，所以D不正确.故选：B.
8．D
【详解】根据题意，设，，，，，线段轴，是等边三角形，，，，；又，，
；又，，；；，
，故选：．
9．BC
【详解】，A错误；，B正确；
，C正确；可得到，从而，D错误.故选：BC
10．BC
【详解】A选项：若，，而，故整数集不是“紧密集合”，A错误；
B选项：根据“紧密集合”的性质，实数集是“紧密集合”，B正确；
C选项：集合是“紧密集合”，故“紧密集合”可以是有限集，C正确；
D选项：集合是“紧密集合”，当，时，，D错误．故选：BC.
11．ABC
【详解】对于:命题“，”的否定是“，”故正确;
对于: 因为,又因为是第二象限角, ,
所以,则在第三象限,故正确;对于:已知扇形的面积为4，周长为10，则或(舍)或者，故正确；对于：角的终边过点，当时，，故错误；故选：.
12．AB
【详解】根据题意，f（x）+g（x）＝ax2﹣x，则f（﹣x）+g（﹣x）＝ax2+x，
两式相加可得f（x）+f（﹣x）+g（x）+g（﹣x）＝2ax2，又由f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）是定义在R上的偶函数，所以2g（x）＝2ax2，即g（x）＝ax2，
若对于任意，都有，变形可得，
令，则h（x）在区间上单调递增，若a＝0，则h（x）＝﹣4x在上单调递减，不满足题意；若，则h（x）＝ax2﹣4x是对称轴为的二次函数，
若h（x）在区间上单调递增，只需，解得，所以a的取值范围为，则a可以取值3，2.故选：AB
13．0
【详解】根据题意，函数，则，
则；故答案为：0
【详解】解：，设，
所以，.二次函数抛物线的对称轴为,
由于，.所以函数的最小值是.
故答案为：
15．
【详解】解：
，即，由，所以，又在上恰有一个最大值点和两个零点，则，
解得，所以的取值范围是．故答案为：．
16．
【详解】因为当时，，所以当时，先减后增，方程至多有两个不同实数解；
当时，单调递减，方程至多有一个实数解；
当时，，所以当时，先减后增，方程至多有两个不同实数解；当时，单调递增，方程至多有一个实数解；
所以当时，方程至多有4个不同实数解，又为正整数，所以使得函数的最大值为4的正整数可取3,4,5,6,7,8，所以，
即使得函数的最大值为4的所有正整数的和为33.故答案为：33.
17．【详解】（1）由题意,,…………3分
.………………5分
（2）,则或,………………7分
故或.……………………10分
18．【详解】解：（1）
………………2分
…………4分
…………6分
（2）将函数的图像上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得，再将的图像向右平移个单位长度，得
即，………………………………10分
令.解得
即的单调递减区间为……………………12分
19．【详解】(1)因为函数为奇函数,所以,因此；…………4分
(2)函数在上单调递增,……………………5分
理由如下：设………………6分
,……………………9分
因为,所以,因此,…………11分
所以函数在上单调递增.…………………………12分
20．【详解】（1）解：根据函数，，的部分图像，
可得，……………………1分
，．………………3分
再根据五点法作图，，，………………4分
故有．………………5分
根据图像可得，是的图像的一个对称中心，故函数的对称中心为，．…………………6分
（2）解：先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像，
再向右平移个单位，得到的图像，
即，………………………………10分
令，，解得，，
结合，可得，故当，时，取得最大值，即；
当，时，取得最小值，即．故值域为.…………12分
21．【详解】（1）因为，时，，………………1分
又因为，所以（）………………3分
所以，所以，即；………………5分
①因为是定义在上的奇函数，所以，，，…………6分
所以………………7分
所以，……………………8分
②由①可得，因为对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
令（），所以，即………………10分
又因为
由对勾函数（）的单调性可知，时有最小值，
所以，所以，所以的最大值为.…………12分
【详解】（1）模型③最合适，…………………………1分
理由如下：
对于模型①，为指数型函数模型，表格中对应的数据递增的速度较慢，故模型①不合适；…………………………2分
对于模型②，为二次函数模型，其图象关于直线对称，有，与表中数据不符，故模型②不合适；…………………………3分
对于模型③，幂函数型增长模型满足表格中对应数据较慢的递增速度，
将表中数据，代入模型③，有
，解得，
∴，
经验证，均满足表中数据，
因此，使用模型③来描述销售量与时间的关系最合适.…………………………5分
（2）∵第天冰墩墩的日销售单价（元/套），
∴第天的日销售收入为（元），
∴，………………7分
∴，………………8分
由（1）所选模型③，当且时，
（元）…………………………10分
当且仅当，即时，等号成立，………………11分
∴在第天时，该商品的日销售收入达到最低元.………………12分
