河南省焦作市普通高中2022-2023学年高二下学期开学诊断考试数学试题（Word版含答案）

焦作市普通高中2022-2023学年高二下学期开学诊断考试
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置；
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，则z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若双曲线的焦距为4，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
3．已知在长方体中，，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
4．已知变量y与x线性相关，且变量x，y之间有如下对应数据：
x 2 3 4 5 6
y 7 6 9 12 11
若回归方程为，则a的值为（ ）
A．3.4 B．6.2 C．7.5 D．8.6
5．已知函数的图象经过点，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知点A是抛物线上的点，点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
7．已知直线，点和到直线l的距离分别为且，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．某班学生的一次数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布，且，则（ ）
A．0.03 B．0.05 C．0.07 D．0.09
9．已知甲箱中有6个篮球，2个足球，乙箱中有5个篮球，3个足球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件表示由甲箱取出的球是篮球、足球，再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示“由乙箱取出的两球都为篮球”，则（ ）
A． B． C． D．
10．某社区组织体检活动，项目有抽血、彩超、胸透、尿检四项，共有5名医护人员执行任务，每个项目至少需要1名医护人员，且每个医护人员只参与一个项目．其中有3名医护人员四个项目都能胜任，有2名医护人员既不会彩超也不会胸透，其他两个项目都能胜任，则这5名医护人员的不同安排方案有（ ）
A．36种 B．48种 C．52种 D．64种
11．把函数图象上所有点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把图象向右平移2个单位长度，此时图象对应的函数为，则（ ）
A． B． C．0 D．
12．甲乙两人玩闯关游戏，该游戏一共要闯三关，每个人每一关能否闯关成功是相互独立的，甲第一，第二、第三关阅关成功的概率分别是，乙第一第二、第三关网关成功的慨率都是．规定每一关闯关成功记1分，未闯关成功记0分，用表示甲在闯关游戏中的得分，用表示乙在闯关游戏中的得分，则在“”的条件下，“”的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知圆锥的侧面展开图对应的扇形的圆心角为，底面圆的半径为6，则圆锥的侧面积为___________．
14．的展开式中的系数为______________．
15．某中学统计了一个班40名学生中每一个学生的英语成绩与语文成绩，并制成了一个不完整的列联表如下：
英语成绩及格 英语成绩不及格 总计
语文成绩及格 20
语文成绩不及格 11
总计 25 40
则____________（填“有”或“没有”）的把握认为学生的英语成绩与语文成绩有关．
参考公式：，其中．
参考数据：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
16．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线C右支上位于第一象限的一点，，则双曲线C的离心率为______________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知直线被圆截得的弦长为．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l的方程为，试确定直线l与圆C的位置关系．
18．（12分）已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求a．
19．（12分）某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一支笔，有4支钢笔和3支圆珠笔．
（Ⅰ）一次取出2个盲盒，求2个育盒为同一种笔的概率；
（Ⅱ）依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是钢笔盲盒的概率；
（Ⅲ）依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是圆珠笔盲盒的概率．
20．（12分）已知一个盒子里装有两种颜色的小球，其中有红球6个，黄球3个．
（Ⅰ）现从中每次随机取出一个球，且每次取球后都放回盒中，求事件“连续取球三次，至少两次取到黄球”发生的概率；
（Ⅱ）若从盒中一次随机取出3个小球，记取到黄球的个数为X，求随机变量X的数学期望．
21．（12分）在如图所示的几何体中，底面，底面是边长为4的正方形，其中心为P，．
（Ⅰ）求三棱锥的体积；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．
22．（12分）已知椭圆的离心率，且椭圆C的右顶点与抛物线的焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）若椭圆C的左、右顶点分别为，直线与椭圆C交于E，D两点，且点E的纵坐标大于0，直线与y轴分别交于两点，问：的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
焦作市普通高中2022—2023学年高二年级开学诊断考试
数学·答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1．答案 B
命题意图 本题考查复数的运算及复数的几何意义．
解析 ，故复数z在复平面内所对应的点位于第二象限．
2．答案 D
命题意图 本题考查双曲线的性质．
解析 设双曲线的半焦距为．由题可知，所以，所以．
3．答案 C
命题意图 本题考查空间向量的运算．
解析 ，∴，∴．
4．答案 A
命题意图 本题考查线性回归．
解析 因为，因为一定满足线性回归方程，所以代入，得，解得．
5．答案 C
命题意图 本题考查指数与对数的大小比较．
解析 ∵的图象经过点，∴，则，∴．
6．答案 A
命题意图 本题考查抛物线的方程及性质．
解析 设，则，则，所以当时，取得最小值．
7．答案 C
命题意图 本题考查点到直线的距离及直线的方程．
解析 ∵点到直线l的距离为，点到直线l的距离为，而，∴，可得，解得或，故直线l的方程为或．
8．答案 D
命题意图 本题考查正态分布．
解析 ∵，∴，∴．
9．答案 B
命题意图 本题考查条件概率．
解析 由题意知，，所以．
10．答案 B
命题意图 本题考查排列组合的应用．
解析 分两种情况：第一种，先安排2人，1人做彩超，1人做胸透，从四个项目都能胜任的3人中选2人安排，有种方案，再将余下的3人安排到剩下的2个岗位上，有种方案，故共有种方案；第二种，安排四个项目都能胜任的3人做彩超、胸透，有种方案，其余2人安排做剩下的两个项目，有种方案，故共有种方案．则这5名医护人员的不同安排方案有种．
11．答案 C
命题意图 本题考查三角函数图象变换．
解析 函数图象上所有点的横坐标都伸长为原来的2倍得的图象，再把图象向右平移2个单位长度得，即的图象．这是一个最小正周期为8的周期函数，且，则．
12．答案 D
命题意图 本题考查条件概率．
解析 设事件A为“”，事件B为“”，所以，又，，，所以，所以．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分：
13．答案
命题意图 本题考查圆锥的侧面积的计算．
解析 设圆锥的母线长为l，底面圆的周长为C，则，∴，于是圆锥的侧面积为．
14．答案 24
命题意图 本题考查二项式定理．
解析 展开式中项为，∴的系数为24．
15．答案 有
命题意图 本题考查独立性检验．
解析 由题意可得列联表如下：
英语成绩及格 英语成绩不及格 总计
语文成绩及格 20 4 24
语文成绩不及格 5 11 16
总计 25 15 40
则，因此有的把握认为学生的英语成绩与语文成绩有关．
16．答案
命题意图 本题考查双曲线的性质．
解析 设双曲线的半焦距为．∵，∴为等腰三角形．设的中点为E，连接，则．由双曲线定义可得，∴，∴．又，∴，解得．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．命题意图 本题考查圆的方程及直线与圆的位置关系．
解析 （Ⅰ）由题可得圆的圆心C的坐标为，半径为．
∵圆心C到直线的距离为，
直线被圆C截得的弦长为，
∴，解得或1．
∵，∴，
故圆C的方程为．
（Ⅱ）∵l的方程可化为，
∴
解得即l恒过定点．
∵圆心为，
∴点A在圆C内，从而直线l与圆C恒相交．
18．命题意图 本题考查正余弦定理的应用．
解析 （Ⅰ）∵，
∴，
即．
由正弦定理可得．
∵，
∴，
∴．
∵，∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
而，∴．
∵，
∴由余弦定理可得，
整理得，
∴．
19．命题意图 本题考查条件概率及全概率公式．
解析 （Ⅰ）设事件“2个盲盒都是钢笔盲盒”，事件“2个盲盒都是圆珠笔盲盒”，则A与B为互斥事件．
∵，
∴2个盲盒为同一种笔的概率．
（Ⅱ）设事件“第i次取到的是钢笔盲盒”，．
∵，
∴，
即第1次、第2次取到的都是钢笔盲盒的概率为．
（Ⅲ）设事件“第i次取到的是圆珠笔盲盒”，．
∵，
∴由全概率公式，可知第2次取到的是圆珠笔盲盒的概率为
．
20．命题意图 本题考查二项分布及离散型随机变量的分布列及数学期望．
解析 （Ⅰ）由题可知，从盒子中随机取出1个球，取到黄球的概率为．
设连续从盒中取球三次，取到黄球的次数为，则，
∴．
（Ⅱ）由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
∴．
21．命题意图
本题考查空间向量的应用．
解析 ∵底面是边长为4的正方形，∴．
∵底面底面，∴．
又，∴平面．
又平面，∴．
以D为坐标原点，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∴．
设平面的法向量为，
则
令，则．
（Ⅰ）设点F到平面的距离为d，
则．
∵，∴，
∴．
∴三棱锥的体积．
（Ⅱ）设平面的法向量为，
则
令，则．
∴．
∵二面角的平面角为锐角，
∴二面角的平面角的余弦值为．
22．命题意图 本题考查椭圆的方程与性质．
解析 （Ⅰ）设椭圆的焦距为．∵椭圆C的离心率，∴．
又椭圆C的右顶点与抛物线的焦点重合，而抛物线的焦点为，
∴，
∴．
故椭圆C的方程为．
（Ⅱ）由题意可知直线l的斜率不为0，
故直线l的方程可化为．
与椭圆方程联立得
消去x，整理可得．
设，
则，
∴．
∵∴．
由题可知，且直线的斜率存在，
∴直线的方程为．
令，可得，
即，同理可得．
于是
．