第28章 锐角三角函数 单元检测卷（含解析）

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人教版2023年九年级（下）第28章 锐角三角函数 单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．已知α为锐角，，则α的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，则下列三角函数表示正确的是（　　）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．tanB＝
3．在△ABC中，∠C＝90°，，则sinA的值是（　　）
A． B． C． D．
4．某斜坡的坡度i＝1，则它的坡角是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（　　）cm．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．周末，刘老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起去江边垂钓．如图，钓鱼竿AC的长为4m，露在水面上的鱼线BC的长为，刘老师想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′的长度是（　　）
A．3m B．2m C．2m D．3m
7．如图，某飞机于空中A处探测到正下方的地面目标C，此时飞机高度BC为1200米，从飞机上看地面控制点B的俯角为α，则C、A之间的距离为（　　）
A．米 B．1200tanα米 C．1200sinα米 D．1200cosα米
8．如图，琪琪开车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达O地后沿着南偏西40°的方向行驶来到B地，且B地恰好位于A地正东方向上，则下列说法正确的是（　　）
A．O地在B地的北偏东50°方向上
B．∠AOB＝30°
C．A地在O地的南偏西60°方向上
D．sin∠BAO＝
9．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线交AC于D，M在AC延长线上，N在BD上，MN经过BC中点E，MD＝MN，若sinA＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB＝，则线段AB的长的最小值为（　　）
A． B． C．3 D．4
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．在△ABC中，若，则△ABC是 　 　三角形．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，2AB＝5BC，则cosB的值为 　 　．
13．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格图中，点A，C，M，N均在格点（网格线的交点）上，AN与CM相交于点P，则tan∠CPN的值为 　 　．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AF⊥CD，AF分别与CD、CB相交于点E、F，如果tanB＝，那么的值是 　 　．
15．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，cosB＝，点P是斜边AB上一点，过点P作PM⊥AB交边AC于点M，过点P作AC的平行线，与过点M作AB的平行线交于点Q．如果点Q恰好在∠ABC的平分线上，那么AP的长为 　 　．
三．解答题（共9小题，满分70分）
16．（6分）计算：
（1）tan60°cos30°﹣3sin245°；
（2）．
17．（6分）如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，sin∠ABC＝，求边AC的值．
18．（6分）如图，CD是△ABC的中线，∠B是锐角，sinB＝，tanA＝，AC＝．
（1）求AB的长．
（2）求tan∠CDB的值．
19．（8分）如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC＝6，cosA＝．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠DBE的值．
20．（8分）如图，在中俄“海上联合一2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°．位于军舰A正上方500米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°．试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数）（sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，≈1.7）
21．（8分）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i＝1：3（点E、C、B在同一水平线上）．
（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．
22．（8分）图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测得BC＝10cm，AB＝24cm，∠BAD＝60°，∠ABC＝50°．
（1）在图2中，过点B作BE⊥AD，垂足为E．填空：∠CBE＝　 　°；
（2）求点C到AD的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.73，sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）
23．（10分）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°＝　 　；
（2）如图②，△ABC中，CB＝CA，若sadC＝，求tanB的值；
（3）如图③，Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，试求sadA的值．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径的⊙O交AC于点D，在AC上截取AE＝AB，连接BE交⊙O于点F．
（1）求证：∠EBC＝∠BAC；
（2）若⊙O的半径长r＝5，tan∠CBE＝，求CE的长．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【解答】解：∵α为锐角，，
∴α的度数为60°，
故选：C．
2．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，
∴AC＝＝，
∴sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝＝，tanB＝＝，
因此选项A符合题意，
故选：A．
3．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，＝，
设BC＝3a，则AC＝4a，
∴AB＝＝5a，
∴sinA＝＝，
故选：C．
4．【解答】解：设斜坡的坡角为α，
由题意得：tanα＝1，
则α＝45°，
故选：B．
5．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，
∴BD＝AD，
∴CD+BD＝8（cm），
∵cos∠BDC＝＝，
∴＝，
解得：CD＝3cm，BD＝5cm，
∴BC＝4cm．
故选：D．
6．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝4m，BC＝2m，
∴sin∠CAB＝＝＝，
∴∠CAB＝45°，
∵∠CAC′＝15°，
∴∠C′AB＝∠C′AC+∠CAB＝60°，
在Rt△C′AB′中，AC′＝4m，
∴C′B′＝AC′ sin60°＝4×＝2（m），
∴露出水面的鱼线B′C′长度是2m，
故选：C．
7．【解答】解：根据题意可得：BC＝1200米，∠ABC＝α，
∵tanα＝，
∴AC＝tanαBC＝1200tanα（米）．
故选：B．
8．【解答】解：过O作OC⊥AB于C，
∴∠BCO＝90°，
∵∠AOC＝40°，
∴∠OBC＝50°，
∴O地在B地的北偏东40°方向上，故A错误；
∵∠OAB＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝20°，A地在O地的南偏西60°方向上，故B错误；C正确；
∵∠BAO＝30°，
∴sin∠BAO＝，故D错误；
故选：C．
9．【解答】解：过D作DH⊥AB于H，延长MN交AB于F，如图：
在Rt△ABC中，sinA＝，
∴＝，
设BC＝6x，则AB＝7x，
∵E为BC中点，
∴BE＝BC＝3x，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBH，
∵∠DHB＝∠DCB＝90°，BD＝BD，
∴△BCD≌△BHD（AAS），
∴BH＝BC＝6x，∠CDB＝∠HDB，
∵MD＝MN，
∴∠CDB＝∠MND，
∴∠MND＝∠HDB，
∴DH∥MN，
∵DH⊥AB，
∴MN⊥AB，即NF⊥AB，
∴∠BEF＝90°﹣∠EBF＝∠A，
∴sin∠BEF＝sinA＝，
∴＝，即＝，
∴BF＝x，
∵NF⊥AB，DH⊥AB，
∴NF∥DH，
∴＝＝＝，
故选：A．
10．【解答】解：如图，过点O作直线l′∥直线l，则直线l与直线l′之间的距离为4，作点B关于直线l′的对称点B′，连接OB′，AB′，AB′交直线l′于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．
在Rt△ABB′中，AB＝＝，
∴AB′的值最小时，AB的值最小，
∵OA+OB＝OA+OB′≥AB′，
∴当A，O，B′共线时，AB′的值最小，此时AB的值最小，
∵直线l垂直平分线段BB′，
∴TB＝TB′，
∴∠TBB′＝∠TB′B，
∵∠TBA+∠TBB′＝90°，∠TAB+∠TB′B＝90°，
∴∠TAB＝∠TBA，
∴TA＝TB，
∵cos∠AOB＝cos∠ATB＝，
∴＝，
∴可以假设TH＝3k，AT＝TB＝5k，
∴BH＝TB﹣TH＝2k，
∴AH＝＝4k，
∴AB＝＝＝2k，
∵S△TAB＝ AB TW＝ TB AH，
∴×2k×4＝×5k×4k，
解得k＝，
∴AB的最小值＝2×＝4，
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．【解答】解：∵，
∴sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝60°，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：等边．
12．【解答】解：∵2AB＝5BC，
∴，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴，
故答案为：．
13．【解答】解：作AB∥MC，连接BN，如图所示，
则AB＝＝，BN＝＝，AN＝＝，
∴AB2+BN2＝AN2，
∴△ABN是直角三角形，
∴tan∠BAN＝＝＝1，
∵AB∥MC，
∴∠BAN＝∠CPN，
∴tan∠CPN＝tan∠BAN＝1，
故答案为：1．
14．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝DB＝AB，
∴∠B＝∠DCB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，
∵AF⊥CD，
∴∠CEA＝90°，
∴∠ACD+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠DCB，
∴∠CAE＝∠DCB＝∠B，
∴tanB＝tan∠DCB＝tan∠CAE＝，
在Rt△ACE中，tan∠CAE＝＝，
设CE＝2x，则AE＝3x，
在Rt△CEF中，EF＝CE tan∠DCB＝2x ＝，
∴＝＝，
故答案为：．
15．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，cosB＝，
∴AB＝＝10，AC＝＝6，
∵PM⊥AB，
∴∠APM＝90°＝∠C，
∵∠A＝∠A，
∴△APM∽△ACB，
∴＝＝，
设AP＝3x，则PM＝4x，AM＝5x，
∴MC＝6﹣5x，
∵MN∥AB，
∴＝＝，
∴CN＝8﹣x，MN＝10﹣x，
∵BQ平分∠ABC，MN∥AB，
∴∠QBN＝∠BQN，
∴NQ＝BN＝BC﹣CN＝x，
∵MN∥AB，PQ∥AC，
∴四边形APQM是平行四边形，
∴QM＝AP＝3x，
∴MN＝NQ+MQ＝x+3x＝x，
∴x＝10﹣x，
解得x＝，
∴AP＝3x＝，
故答案为：．
三．解答题（共9小题，满分70分）
16．【解答】解：（1）tan60°cos30°﹣3sin245°
＝×﹣3×（）2
＝﹣3×
＝﹣
＝0；
（2）2cos45°﹣tan30°cos30°+sin260°
＝
＝
＝．
17．【解答】解：作AD⊥BC于点D，
∵AB＝5，sin∠ABC＝，
∴＝5，
∴AD＝3，
∴BD＝＝＝4，
∵BC＝5，
∴CD＝1，
∴AC＝＝＝，
即边AC的值是．
18．【解答】解：（1）作CE⊥AB于E，设CE＝x，
在Rt△ACE中，∵tanA＝＝，
∴AE＝2x，
∴AC＝＝x，
∴x＝，解得x＝1，
∴CE＝1，AE＝2，
在Rt△BCE中，∵sinB＝，
∴∠B＝45°，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∴BE＝CE＝1，
∴AB＝AE+BE＝3，
答：∠B的度数为45°，AB的值为3；
（2）∵CD为中线，
∴BD＝AB＝1.5，
∴DE＝BD﹣BE＝1.5﹣1＝0.5，
∴tan∠CDE＝＝＝2，
即tan∠CDB的值为2．
19．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴cosA＝＝，
设AC＝3k，则AB＝5k，
∴BC＝＝4k，
∵AC＝6，
∴3k＝6，k＝2，
∴AB＝10，
∵D是边AB的中点，
∴CD＝AB＝5；
（2）过C点作CF⊥AB于F．
CF＝AC BC÷AB＝4.8，
cos∠DCF＝．
∵∠DCF＝∠DBE，
∴cos∠DBE＝．
20．【解答】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，
根据题意得：∠ACD＝30°，∠BCD＝68°，
设AD＝x米，则BD＝BA+AD＝（500+x）米，
在Rt△ACD中，CD＝＝＝（米），
在Rt△BCD中，BD＝CD tan68°，
∴500+x＝x tan68°
解得：x＝≈≈≈156（米），
∴潜艇C离开海平面的下潜深度为156米．
21．【解答】解：（1）过点D作DG⊥BE于点G．
由题意知i＝1：3，
∴CG＝3DG．
又，，
即DG2+10DG2＝160，
∴DG＝4米．
答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为4米．
（2）过点D作DH⊥AB于点H，
∵DG＝4，CG＝3DG
∴CG＝3×4＝12（ m）．
设大树高为xm．
∵∠ACB＝45°，
∴CB＝AB＝xm，DH＝BG＝BC+CG＝（x+12）m，AH＝AB﹣DG＝（x﹣4）m．
又∠ADH＝30°，
∴，即，解得．
经检验，是原方程的根且符合题意．
答：大树AB的高度是．
22．【解答】解：（1）如图：
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BAD＝30°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝20°，
故答案为：20；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为F，过点C作CG⊥BE，垂足为G，
则GE＝CF，∠BGC＝90°，
∵∠CBE＝20°，
∴∠BCG＝90°﹣∠CBE＝70°，
在Rt△ABE中，∠BAE＝60°，AB＝24cm，
∴BE＝AB sin60°＝24×＝12（cm），
在Rt△BGC中，BC＝10cm，
∴BG＝BC cos20°≈10×0.94＝9.4（cm），
∴CF＝GE＝BE﹣BG＝12﹣9.4≈12×1.73﹣9.4≈11.4（cm），
∴点C到AD的距离约为11.4cm．
23．【解答】（1）∵顶角为60°的等腰三角形是等边三角形，
∴sad60°＝．
故答案为：1．
（2）如下图②所示：
作CD⊥BA于点D，
∵△ABC中，CB＝CA，sadC＝，sadC＝，
∴AB＝，BD＝AD＝．
∴CD＝＝．
∴tanB＝．
即tanB＝．
（3）设AB＝5a，BC＝4a，则AC＝3a．
如下图③所示，在AB上截取AD＝AC＝3a，作DE⊥AC于点E，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，
∴DE＝AD sinA＝3a×＝，AE＝AD cosA＝．
∴CE＝AC﹣AE＝3a﹣．
∴CD＝＝．
∴sadA＝．
即sadA＝．
24．【解答】（1）证明：连接AF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAF+∠ABF＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABF+∠EBC＝90°，
∴∠BAF＝∠EBC，
∵AB＝AE，∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝∠BAC，
∴∠EBC＝∠BAC；
（2）过E点作EG⊥BC于点G，
∴∠AFB＝∠BGE＝90°，
∵∠BAF＝∠EBG，
∴△BAF∽△EBG，
∴，
∵tan∠BAF＝tan∠CBE＝，
∴AF＝2BF，
∵AB＝2OA＝10，
∴BF＝，AF＝，
∵AF⊥BE，AB＝AE，
∴BE＝2BF＝，
∴，
解得EG＝4，BG＝8，
∵∠ABC＝∠EGC＝90°，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△EGC，
∴，
∴，
解得CG＝，
∴CE＝．