辽宁省葫芦岛市第一高级中学2013-2014学年高二下学期期初考试数学（文科）试题

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葫芦岛市第一高级中学2013-2014学年高二下学期期初考试
数学文试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，总计60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(A)- (B)- (C)-2 (D)-4
4.ABC中,A>B是sinB(A)必要不充分 (B)充分不必要 (C) 充要 (D)不充分不必要
5.设f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,若不等式f(x)<0的解集是(-∞,-3)∪(2,+∞),则a+b=( )
(A)-8 (B)-2 (C)8 (D) 2
6．在△ABC中,内角A、B、C满足:sin2A+sinAsinB+sin2B=sin2C,则∠C等于( )
(A)45° (B)135° (C)30° (D)150°
7.若关于x的不等式ax2-2ax+10无解,则实数a的取值集合为( )
(A)(0,1) (B)(0,1] (C)[0,1) (D)[0,1]
8.在数列{an}中,它的前n项和为Sn=an2+bn+3a-2(n∈N*,其中a,b是常数),
若数列{an}是等差数列,则它的公差是( )
(A) (B)1 (C) (D)与a有关
9.椭圆+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,若其上存在一点Q使得∠F1QF2=120
则其离心率的取值范围是( )
(A)(0,1) (B)[,1) (C) [ eq \f(,2),1) (D)[ eq \f(,2),1)
10.在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,公差d>0,公比q>1,则集合{n|an-bn=0,nN+}中
的元素最多为( )个
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
11.已知函数f(x)=x2-1,集合M={(x,y)|f(x)+ f(y)0}
N={(x,y)|f(x)-f(y)0},则集合M∩N所表示的平面区域的面积是( ).
(A)2 (B) (C) (D)
12.点A(4,3),又P为抛物线x2=4y上一动点,则P到A的距离与P到x轴距离之和的最小值( )
(A)5 (B)4 (C)2 (D)2-1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，总计20分.
13.双曲线4x2-y2=1的渐近线方程是____________
14.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{an}的公比为_____
15.在等式1=+中的与处各填上一个正整数,使这两个正数的和最小:
16.在ABC中,给出下列结论:(1)若A,B,C成等差数列,则∠B等于;
(2)若A,B,C成等比数列,则∠B的最大值是;
(3)若a,b,c成等比数列,则∠B的最大值是;.
其中正确的命题个数是_____________
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分）
在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2b-c)cosA-acosC=0.
(Ⅰ)求A的大小;
(Ⅱ)若a=,SABC= eq \f(3,4),试判断ABC的形状,并说明理由.
设函数f(x)=+2 ,已知f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线y=x+1对称.
(1)求g(x)的解析式;
(2)解关于x的不等式:f(x)-2a0(其中a是常数).
20.(本小题满分12分)
设椭圆E:+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,离心率e=,且点M(-1,)在椭圆上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设直线l过椭圆的右焦点F2,且与椭圆交于A,B两点,求|AB|的最小值.
21.(本小题满分12分)
在数列{an}中,a1=,an+an+1=(n∈N+)
(1)证明:{5nan-1}是常数列;
(2)设xn=(2n-1)10nan,求{xn}的前n项和Tn.
22.(本小题满分12分)
设抛物线C:y2=4x,A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线上.(A,B都不是顶点)
(1)求证:过点A的切线方程是y1y=2(x+x1).
(2)设以A,B为切点的切线分别为l1,l2,H为l1与l2的交点,若AB经过焦点F.
①证明:l1⊥l2;
②证明:H点的轨迹是C的准线.
2013-2014学年度下学期期初高二年级考试
数学(文)学科试题参考答案
一.选择题
1、D；2、C；3、A；4、C；5、D；6、B；7、C；8、A；9、D；10、B；11、C；12、D.
二.填空题
13、y=2x; 14、; 15、10与15; 16.(1)(2)(3)
三.解答题
17.解:(Ⅰ)由正弦定理知(2b-c)cosA-acosC=02sinBcosA=sin(A+C)=sinB
∵sinB>0,∴cosA=,又0(Ⅱ)由a=,A=60及余弦定理知,b2+c2-bc=3 ………………………6分
∵SABC= eq \f(3,4),∴bcsinA= eq \f(,4)bc= eq \f(3,4) ∴bc=3 ………………………8分
于是b2+c2-bc=bc,即(b-c)2=0,∴b=c 故ABC是等边三角形 …………10分
18. 解:首先==BM·BN=·120·130=7800……2分
在△MBN中,注意到cosB=,由余弦定理得
MN===20……8分
取等条件是BM=BN=10
答:当BM=BN=10米时,水渠长度的最小值为20米.……12分
19. 解. (1)设(x,y)为y=g(x)图象上任意一点
∵f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线y=x+1对称
∴x+1=+2,整理得y=,即g(x)= (x1) ……………………6分
(2)不等式f(x)-2a00
①当a>时,不等式的解集为(1,] ……………………8分
②当a=时,不等式的解集为(1,+∞) ……………………9分
③当a<时,不等式的解集为(-∞,]∪(1,+∞) ……………………11分
设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得y1+y2=-,y1y2=- …………8分
∴ |AB|2=(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]=8()2, ………………………………10分.
令t==1-,易知当m=0时, tmin=
∴|AB|2min=2,即|AB|的最小值是 ………………………………12分.
22. 解:(1)设过点A的切线方程是y-y1=k(x-x1),代入y2=4x得
ky2-4y+4y1-4kx1=0,易知k0
∵相切,∴=0,16=16k(y1-kx1),∴k1=,∴切线方程是y-y1=(x-x1)
整理即得, y1y=2(x+x1) ………………………………4分
(2)由(1)可知,以B为切点的切线l2的方程为y2y=2(x+x2)
设H(x,y),则,∴=,
∴将x1=,x2=代入整理得x= ………………………………8分
∵AB过点F(1,0),∴∥,∴(x1-1)y2=(x2-1)y1,即y1-y2=x2y1-x1y2
∴y1y2=-4,∴x=-1,即点H的轨迹是准线 …………………………10分
又k1k2==-1,∴l1⊥l2; …………………………12分
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