课件14张PPT。18.1 一元二次方程你还认识“老朋友”吗？1、你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？
2、什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？
一般形式：ax+b=0 (a≠0)
3、我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗?
◆1.审;2.设;3.列;4.解;5.验;6.答。回顾与复习问题情境1 问题1：某地为增加农民收入，需要调整农作物种植结构，计划2007年无公害蔬菜的产量比2005年翻一翻，要实现这一目标，2006年和2007年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？
思考：
1、根据以往的经验，你想用什么知识来解决这个实际问题？2、如图：如果假设无公害蔬菜产量的年平均增长率是x,2005年的产量为a，那么2006年无公害蔬菜产量为 ，2007年无公害蔬菜产量为 。 a+ax=a(1+x)a(1+x)+a(1+x)x=a(1+x)23、你能根据题意，列出方程吗？a(1+x)2=2a把以上方程整理得： .X2+2X-1=0 （1）
方程
问题２： 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛。如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？
问题情境2 32x2、你能根据题意，列出方程吗？整理以上方程可得：思考：1、若设小路的宽是xm，那么横向小路的面______m2，纵向小路的面积是 m2,两者重叠的面积是 m2.由于花坛的总面积是570m2，2×20x32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=5702x2x2-36x＋35=0 （2）想一想：还有其它的列法吗？试说明原因。(20-x)(32-2x)=57032-2x20-2x类比发现，探索新知仔细观察，你会发现什么规律？写出你的结论1、请观察下面两个方程并回答问题：
x2+2x-1=0 x2-36x+35=0
（1）它们是一元一次方程吗？
（2）与一元一次方程有何异同？
（3）通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？ 特点： 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 的形式,我们把
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？想一想 a x 2 + b x + c = 0(a ≠ 0)二次项系数一次项系数常数项（4）通过与一元一次方程的对比，你能给这类方程取个合理的名字吗？（1）列表填空：4x2-3x=0X2-2x-8=0X2-x-64-301-2-81-1-62、做一做：（2）下列方程中哪些是一元二次方程，并说明理由？X+2=5x-3X2=42X2-4=(x+2)2(3)方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程？3、议一议： 通过以上习题的练习的情况，你认为在确定一元二次方程的各项系数及常数项的时候，需要注意哪些？（1）在确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项时必须把方程化为一般形式才能进行。（2）二次项系数、一次项系数以及常数项都要连同它前面的符号。（3）二次项系数a≠0归纳小结 反思提高 本节课学习了哪些内容，有什么收获和体会？分层落实拓展题：从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．提高题：试说出一元三次方程、一元四次方程的定义及一般形式。课件11张PPT。一元二次方程的解法一元二次方程的解法
1) 直接开平方法
2) 配方法
3) 公式法
4) 因式分解法
例 x2-16=0
解: (x-4)(x+4)=0
我们知道０的一个特性，０与
任何数相乘都等于０．
如果两个数相乘积等于０，那么
这两个数中至少有一个为０．
所以上式可转化为
x-4=0 或 x+4=0
x1=4 x2=-4
因此，我们把方程的左边因式分解，
这样将一元二次方程转化为两个一
元一次方程来求解的方法叫做因式
分解法．
例 x2-5x+6=0
解：把方程的左边因式分解
得(x-2)(x-3)=0
因此 ，有 x-2=0或 x-3=0
解得 x1=2 ，x2=3 交流 １） x2+3x=0
解：x(x+3)=0
因此有 x=0或 (x+3)=0
解得 x1=0 ，x2=-3 ２） x2=x
解：x2-x=0
x(x-1)=0
x=0 或 x-1=0
∴ x1=0 x2=1 ２) x2=x
解：把方程两边同除x,
得 x=1
大家讨论一下，这样解方程是否
正确？为什么？ 答案：不正确
因为方程两边同除x,就把
x=0这个解丢失了．因此，方程
的两边不能除以含有未知数的
整式，否则会失根．
形如 ax2+c=0（a≠0,a,c异号）
ax2=-c
x2=- (a*c<0)
我们用直接开平方法求解．
当a*c>0时，此时原方程没有
实数解（根）．形如 ax2+bx=0 (a≠0)
x(ax+b)=0
x=0 或 ax+b=0
x1=0 x2=-课件13张PPT。18.3 一元二次方程的
根的判别式利用公式法解下列方程对于一元二次方程
你能谈论一下它的根的情况吗?
在什么情况下，一元二次方程有解?有什
么样的解?
什么情况下一元二次方程无解?想一想 例1. 不解方程，判别下列方程的根的情况。解：＞0原方程有两个不相等的实数根。解：原方程可变形为原方程有两个相等的实数根。解：＜0原方程没有实数根。1.不解方程，判别下列方程的根的情况。练一练2.在一元二次方程 （ ）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.根的情况无法确定
A例2：已知关于 的方程 ，
问 取何值时，这个方程： ⑴有两个不相等的实数根？
⑵有两个相等的实数根？
⑶没有实数根？
解：⑴＞0方程有两个不相等的实数根＜＜时，原方程有两个不相等的实数根⑵方程有两个相等的实数根时，原方程有两个相等的实数根⑶＜ 0＞＞时，原方程没有实数根解得当解得当解得当方程 有等根时,实数
的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)大于22. 关于 的一元二次方程
m≥0且m≠1有两个实数根，则m的取值范围为c试一试设 的三边为 ， ， ，方程 有两个相等的实数根，且 ， ， 满足 。试判断 的形状。 议一议解课堂小结①本节课你学到了什么知识？掌握了什么方法？
②本节课你有什么收获？还有什么疑问?课件27张PPT。18.4 一元二次方程的根与系数的关系2.求根公式
问题：你发现这些一元二次方程的两根
x1+ x2，与x1 ? x2系数有什么规律？
猜想：当二次项系数为1时，方程
x2+px+q=0的两根为x1,, x2
2 13
2
-1 3 2-31 4
5
4-2x1+ x2，x1?x2与系数有什么规律?猜想：
如果一元二次方程
ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0）
的两根为x1、x2，则：
x1+x2和x1.x2与系数a，b，c 的关系.
任何一个一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 ,那么X1 + X2= , X1 ·X2= -（韦达定理）注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0一、直接运用根与系数的关系例1、不解方程，求下列方程两根的和与积.知识源于悟在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
⑵在使用X1+X2=－ 时，
注意“－ ”不要漏写.二、求关于两根的对称式或代数式的值例2、设 是方程 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.
关于两根几种常见的求值三、构造新方程例3、求一个一元二次方程，使
它的两个根是2和3，且二
次项系数为1.
变式：且二次项系数为5三、构造新方程例4、点p(m,n)既在反比例函数 的图象上, 又在一次函数 的图象上,求以m,n为根的一元二次方程.
三、构造新方程例5、已知关于x的方程x2-5x-2=0（1）,且关于y的方程的两根分别是关于方程（1）的两根的平方.求关于y的方程.例6、小明和小敏解同一个一元二次方程时，小明看错了一次项系数所求出的根为-9和-1；小敏看错了常数项所求出的根是8和2。你知道原来的方程是什么吗？ 三、构造新方程练习、甲、乙二人解同一个一元二次方程时，甲看错了常数项所求出的根为1，4；乙看错了一次项系数所求出的根是-2，-3。则这个一元二次方程为__________________ 三、构造新方程x2-5x+6=0四、求方程中的待定系数 例7、如果－1是方程的一个根，
则另一个根是____ｍ=____。
（还有其他解法吗？)
-3练习：已知3是方程 的一根，求m及另一根
例8、方程
的两根同为正数，求p、q的取值范围.四、求方程中的待定系数 变式:方程
有一个正根，一个负根，求m的取值范围.解:由已知,△=即m>0
m-1<0∴0X1X2＜0两个正根△≥0
X1X2＞0
X1+X2＞0两个负根△≥0
X1X2＞0
X1+X2＜0例9、 已知方程 的两
个实数根是 且
求k的值。 四、求方程中的待定系数 注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0小结一元二次方程根与系数的关系？注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0 已知两个数的和是1，积是-2，则两个数是 解法(一):设两数分别为x,y则:{解得:x=2
y=－1{或 ｘ＝－1
y=2{解法(二):设两数分别为一个一元二次方程
的两根则:求得∴两数为2,－１*已知两个数的和与积，求两数 *求未知系数的取值范围*例题:已知关于x的方程9x2+(m+7)x+m-3=0.
(1)求证:无论k取何值时,方程总有两不相等的实数根.
(2)当k取何值时,方程的一根大于1,另一根小于1?分析:(1)列出△的代数式,证其恒大于零
(2)(x1-1)(x2-1)<0解:(1)∵△=(m+7)2-4(m-3)=(m+5)2+36>0
∴方程总有两个不相等的实数根(2)由题意得:解得:当 时方程的一根大于1,另一根小于1练习返回练习:*1.当a取什么值时,关于未知数x的方程ax2+4x-1=0,只有正实数根?
*2.已知:x1,x2是关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0的两个非零实根,问x1,x2能否同号?若能同号,请求出相应m的取值范围;若不能同号,请说明理由.
返回 ***题9 在△ABC中a,b,c分别为∠A, ∠B,∠C
的对边,且c= ,若关于x的方程
有两个相等的实数根,又方程
的两实数根的平方和为6,求△ABC的面积.五 综合拓广探索1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由根与系数的关系得x1+x2= , x1x2=∴解得k1=9,k2= -3当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。课件14张PPT。18.5 一元二次方程的应用1.解一元二次方程有哪些方法？ 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
2.解方程
(80－2x)(60－2x)＝1500
(80－2x)(60－2x)＝1500 解(1)先把方程化为一元二次方程的一般形式 x2－70x＋825＝0．
(2)确认a，b，c的值 a＝1，b＝－70，c＝825
(3)判断b2－4ac的值
b2－4ac＝702－4×1×825＝1600＞0，
(4)代入求根公式得x1＝55，x2＝15 3.列一元一次方程方程解应用题的步骤？
①审题，
②找等量关系
③列方程，
④解方程，
⑤答。 如图所示，用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子．求截去的小正方形的边长 解：设截去的小正方形的边长xcm. 则长和宽分别为(80－2x)cm、 (60－2x)cm (80－2x)(60－2x)＝1500得x1＝55，x2＝15检验：当x1＝55时 长为80－2x＝-30cm
宽为60－2x＝-50cm． 想想，这符合题意吗？不符合． 舍去． 当x2＝15时 长为80－2x＝50cm
宽为60－2x＝30cm． 符合题意 所以只能取x＝15． 答：截取的小正方形的边长是15cm 列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、找、列、解、答．这里要特别注意．在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求． 练习：一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，? 然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000cm3，求铁板的长和宽． 解：设铁板的宽为xcm,则有长为2xcm5(2x-10)(x-10)=3000一次方程组的应用（二）例1、某农场用库存化肥给麦田施肥，若每亩施肥6千克，就缺少化肥200千克；若每亩施肥5千克，又剩余300千克。问该农场有多少麦田？库存化肥多少千克？例1、某农场用库存化肥给麦田施肥，若每亩施肥6千克，就缺少化肥200千克；若每亩施肥5千克，又剩余300千克。问该农场有多少麦田？库存化肥多少千克？
设…..x亩…….y千克。①实际施肥 （6x) 库存化肥 缺少化肥200千克 = +②实际施肥 （5x) 库存化肥 剩余300千克 = -练习：
1、计划若干节车皮装运一批货物。如果每节装15.5吨，则有4吨装不下，如果每节装16.5吨，则还可多装8吨。问多少节车皮？多少吨货物？
2、食堂存煤，若每天用130千克，按计划天数计算缺少60千克；若每天用120千克，则到计划天数后剩余60千克。问食堂存煤多少？计划用多少天？3、某班学生旅游要住旅馆，若每个房间住4人，则有13人没有房间住；若每个房间住5人，则还缺少一个房间。求：这家旅馆多少房间？学生多少人？
例2、用白铁皮做罐头盒。每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。现有150张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以刚好配套？例2、用白铁皮做罐头盒。每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。现有150张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以刚好配套？
设…..x张……y张。① 制盒身、盒底张数 = 150张② 盒身个数 （16x) 个数盒底(43y)2× =例3、汽车从甲地到乙地，若每小时行使45千米，就要延误0.5小时到达；若每小时行使50千米，就可提前0.5小时到达。求：甲乙两地间的距离及原计划行使的时间。例3、汽车从甲地到乙地，若每小时行使45千米，就要延误0.5小时到达；若每小时行使50千米，就可提前0.5小时到达。求：甲乙两地间的距离及原计划行使的时间。
设………..x千米…………y小时。①实际时间 延误时间（0.5小时） 计划时间（y小时）②实际时间 延误时间（0.5小时） 计划时间（y小时） + = + =实际时间=甲乙两地间的距离 / 速度4、一辆汽车从甲地驶往乙地，途中要过一桥。用相同时间，若车速每小时60千米，就能越过桥2千米；若车速每小时50千米，就差3千米才到桥。问甲地与桥相距多远？用了多长时间？
