3.1建筑物高度的测量课件2022-2023学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册(共20张PPT)

(共20张PPT)
建筑物高度的测量
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问题1　在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形．例如，如图故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量．
假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？如果能，写出你的方案，并给出有关的计算方法；如果不能，说明理由．
新知探究
问题2 图中角楼的高度问题可以转化为用米尺与测量角度的仪器，怎样得到不便到达的两点之间的距离？
利用正、余弦定理解三角形问题．
新知探究
追问1 测量底部不能到达的建筑物的高度时，往往需要在经过建筑物底部的水平面内引一条
基线．当基线CD与建筑物AB在同一铅垂面内时，如图所示．
A
B
C
a
D
如何计算该建筑物的高度？
测量出基线CD的长及在C，D处建筑物AB顶部点A的仰角的度数．
在Rt△ABD中，BD＝
在Rt△ABC中，BC＝
所以a＝CD＝BC－BD＝
故AB＝
需要测量哪些数据？
新知探究
解三角应用题的一般步骤：
①准确理解题意，分清已知和所求，尤其要理解应用题中的名词和术语；
②画出示意图，并在图形中标注出已知条件；
③若已知量与未知量涉及多个三角形，则需要利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形作答．
新知探究
追问2 当基线CD与建筑物AB不在同一铅垂面内时，如图所示，需要测
量哪些数据如何计算该建筑物的高度？
A
B
C
a
D
测量出基线CD的长a，以及在C处建筑物AB顶部点A的仰角∠ACB的度数．
在△BCD内，测量出∠BCD与∠D的度数．
∵AB⊥BC，
在△BCD中，BC＝　　　　　　　 ×sinD，
∴∠BAC＝ －∠ACB，
∴在△ABC中，AB＝ 　　　　×sin∠ACB＝ 　　　　×sin∠ACB，
∴AB＝
新知探究
测量高度时，要准确理解仰角、俯角的数学含义．
它们是将实际问题转化为数学问题的关键．
新知探究
如图（1）所示，设线段AB表示不便到达的两点之间的距离，在能到达的地方选定位置C进行测量．
如图（2）所示，在可到达的地方再选定一点D，并使得CD的长m能用米尺测量．
用测量角度的仪器可以测量出∠ACB的大小α，但是因为点A，B都不便到达，所以△ABC的3条边都无法用米尺测量．
A
B
C
（1）
用测量角度的仪器测出∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ACD＝θ，∠ADC＝φ；
然后利用α，β，γ，θ，φ，m，即可求出AB的长．
A
B
C
m
α
β
γ
θ
φ
（2）
D
新知探究
A
B
C
（1）
最后，在△ABC中，根据余弦定理，利用AC，BC，α可得到AB的长．
首先，在△BCD中，因为∠CBD＝π－β－γ，
所以由正弦定理，可得
因此BC＝
同理，在△ACD中，可得 AC＝
A
B
C
m
α
β
γ
θ
φ
（2）
D
新知探究
以上给出一个测量小组的测量结果，与其他测量小组的比较，分析产生误差的原因，改进测量方法，使测量误差更小．
归纳小结
（1）正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤？
（2）测量高度时应注意的什么？
问题3　本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结．
（1）①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；
②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解
　　　　三角形的数学模型；
③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；
④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
（2）测量高度时，要准确理解仰角、俯角的数学含义．它是将实际问题转化为数学问题的关键．
作业布置
作业：教科书P134页习题3－1第1、2题．
1
目标检测
如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法．
解析：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上．
由在G，H两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD＝a，测角仪器的高是h．
在△ACD中，由正弦定理得AC＝
AB＝AE＋h＝ACsinα＋h＝
故该建筑物高度为
２
目标检测
要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500m，求电视塔的高度．
解析：由题意画出示意图，设高AB＝h．
在Rt△ABC中，由已知BC＝h，
在△BCD中，由余弦定理得，
即3h2＝h2＋5002＋500h，则h＝500．
在Rt△ABD中，由已知BD＝，
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD，
故电视塔的高度为500m．
3
目标检测
为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如图所示）．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离．
解析：方案1：
①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；
B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B的距离d（如图所示）．
请设计一个方案：包括：
①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；
②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．
3
目标检测
为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如图所示）．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离．
请设计一个方案：包括：
①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；
②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．
②文字说明及步骤：
第一步：计算AM，由正弦定理得，
AM＝
第二步：计算AN，由正弦定理得，
AN＝
3
目标检测
为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如图所示）．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离．
请设计一个方案：包括：
①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；
②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．
第三步：计算MN，由余弦定理得，MN＝．
方案2：
①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；
B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B的距离d（如图所示）．
3
目标检测
为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如图所示）．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离．
请设计一个方案：包括：
①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；
②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．
②文字说明及步骤：
第一步：计算BM，由正弦定理得，
BM＝
第二步：计算BN，由正弦定理得，
BN＝
第三步：计算MN，由余弦定理得，MN＝．
4
目标检测
某人在塔的正东方沿着南偏西60°的方向前进40m以后，望见塔在东北方向．若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔的高度．
解析：在△BCD中，CD＝40m，
∠DBC＝45°＋90°＝135°．
由正弦定理得
故 BD＝ 　　　　　　 　　　　　　　　（m）．
∠BCD＝90°－60°＝30°，
在Rt△ABE中，tan∠AEB＝ ，AB为定值，
4
目标检测
某人在塔的正东方沿着南偏西60°的方向前进40 m以后，望见塔在东北方向．若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔的高度．
故要使∠AEB最大，需要BE最小，
故BE＝BDsin∠BDE＝sin15°＝10（－1）（m）．
在Rt△ABE中，AB＝BE tan∠AEB＝10（－1）tan30°＝ （m）．
在△BCD中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°，
故塔的高度为
即BE⊥CD，这时∠AEB＝30°．