2022-2023学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册两角和与差的三角函数公式》第1课时课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
两角和与差的三角函数公式
第1课时
新知探究
问题1　如图，为世界著名的艺术殿堂——法国卢浮宫，它的正门入口处有一个金字塔建筑，它的设计者就是著名的美籍华人建筑师贝聿铭．
那么在测量这类建筑物的高度时（如右图），我们需要来解复合角∠DAC＝α－β的正、余弦值，这就需要对两角差的正、余弦进行变换．
新知探究
问题2　如何用角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？
有人认为cos(α－β)＝cosα－cosβ，你认为正确吗？试举出两例加以说明．
不一定正确．
例如，当cosα－cosβ＝　　 　　　　　　 时，cos(α－β)≠cosα－cosβ．
再如，当 　　　　　时，cos(α－β)＝ ．
而cosα－cosβ＝ 　　　　　　　　　，故cos(α－β)≠cosα－cosβ．
新知探究
问题3　计算下列各式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想．
猜想：cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)．
①cos45°cos45°＋sin45°sin45°＝1；
③cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝0．
②cos60°cos30°＋sin60°sin30°＝ 60°cos30°＋sin60°sin30°．
④cos150°cos210°＋sin150°sin210°＝ ．
新知探究
根据三角函数定义得，A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)．
与的夹角是α－β．
问题4　单位圆中（如图），∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？与的夹角是多少？
新知探究
追问1：根据上图，分别利用平面向量数量积的定义及坐标运算，求出的数量积各是什么？由此得出什么结论？
平面向量数量积定义：(α－β)＝cos(α－β)．
平面向量数量积坐标运算：＝(cosα，sinα)·(cosβ，sinβ)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．
根据数量积相等，得 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．
新知探究
两角差的余弦公式
cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β，记作Cα－β．
新知探究
追问2：公式Cα－β在结构上有什么特点？
①同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦；
追问3：两角差的余弦公式的适用条件是什么？
公式中的α，β都是任意角，可以为常量，也可以为变角．
②将所得的积相加．
新知探究
问题5　把公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ中的β用－β代替，结果如何？
cos(α＋β)＝cos[(α－(－β)]
＝cosαcos(－β)+sinαsin(－β)
＝cosαcosβ－sinαsinβ．
新知探究
两角和的余弦公式
Cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ．记作Cα＋β．
新知探究
追问1：你能根据余弦两角和差的公式的结构，总结它们的记忆口诀吗？
余余正正，符号相反．
追问2：如何利用两角差的余弦和两角和的余弦公式求cos15°？
因为15°＝60°－45°，所以可用两角差的余弦公式求解．
例1　已知sinα＋sinβ＝ ，cosα＋cosβ＝ ，求cos(α－β)的值．
初步应用
由①＋②得：1＋1＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1，即2cos(α－β)＝－1，
解析：由sinα＋sinβ＝ 两边平方得：sin2α＋sin2β＋2sinαsinβ＝ ①
由cosα＋cosβ＝ 两边平方得：cos2α＋cos2β＋2cosαcosβ＝ ②
所以cos(α－β)＝ ．
初步应用
给条件求值问题要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．
方法总结
例2　已知cosα＝ ，sin(α＋β)＝ ，且α，β均为锐角，求β的值．
初步应用
解析： ∵α为锐角且cos α＝ ，
又α，β为锐角，
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sinα＝ ．
∴sin α
又∵sin(α＋β)＝ ＜sin α，
∴α＋β∈(0，π)．
∴α＋β∈( ，)．
∴cos(α＋β)＝ ．
又β为锐角，故β＝ ．
初步应用
在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角．
方法总结
归纳小结
（1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意什么？
（2）给值求角的关键是什么？常用的角的变换技巧有哪些？
问题6　回归本节的学习，你有什么收获？可以从以下几个问题归纳．
（1）要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
（2）关键是变角，把所求角用含已知角的式子表示；互余或互补关系的应用；
如 －α与 ＋α互余， ＋α与 π－α互补等．
作业布置
作业：教科书第152页，A组第1（1）（3）题，2（2），第3题．
1
目标检测
A
cos27°cos57°－sin27°cos147°等于（　　）
A．
C．
D．
B．
解析：原式＝cos27°cos57°－sin27°cos(180°－33°)
＝cos27°cos57°＋sin27°cos33°
＝cos(57°－27°)
＝cos27°cos57°＋sin27°sin57°
＝cos30°
＝ ．
2
目标检测
若角α，β均为锐角，sin α＝ ，cos（α＋β）＝ ，则cos β＝（　　）
A．
C．
D．
B．
解析： ∵α，β均为锐角， sin α＝ ，cos（α＋β）＝ ，
∴
2
目标检测
A
若角α，β均为锐角，sinα＝ ，cos(α＋β)＝ ，则cos β＝（　　）
A．
C．
D．
B．
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα
3
目标检测
已知α，β∈[0， ]，sinα＝ ，cosβ＝ ，则cos(α＋β)＝________．
所以cosα＝ ，sinβ＝ 　　　　　　，
所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝
解析：因为α，β∈[0， ]，
4
目标检测
已知sinα　　　　　　　　　　　　　　　 ，β是第三象限角，求：
（1）cosα与sinβ的值．
（2）cos(α－β)．
解析：（1）由于sinα＝ ，α∈
又由于cosβ＝ ，β是第三象限角，
故
故
4
目标检测
已知sin α　　　　　　　　　　　　　　　 ，β是第三象限角，求：
（1）cos α与sin β的值．
（2）cos（α－β）．
（2）由（1）可得，
cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β
＝右边．
故原等式成立．