2022-2023学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册两角和与差的三角函数公式》第2课时课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
第2课时
《4.3两角和与差的三角函数公式》
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问题1　变脸是川剧艺术中塑造人物的一种特技，演员在熟练的动作之间，奇妙地变换着不同的脸谱，用以表现剧中人物的情绪、心理状态的突然变化，达到“相随心变”的艺术效果．
那么在三角函数中，两角和与差的正弦、正切之间又有怎样的变换呢？
新知探究
问题2　由公式Cα－β或Cα＋β可求sin 75°的值吗？
可以，因为sin 75°＝cos 15°＝cos（45°－30°）．
问题3　由公式Cα±β可以得到sin(α＋β)的公式吗？
＝sinαcosβ＋cosαsinβ．
可以，sin(α＋β)
新知探究
追问1：如何由sin(α＋β)的公式推出sin(α－β)的公式？
以－β代替sin(α＋β)中的β，即可得
sin(α－β)＝sin[(α＋(－β)]
＝sinαcos(－β)＋cosαsin(－β)
＝sinαcosβ－cosαsinβ
新知探究
两角和差的正弦公式
（1）sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ（Sα＋β），
（2）sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ（Sα－β）．
新知探究
追问2：公式Sα±β的适用条件是什么？
公式中的α、β是任意角，可以是具体的角，也可以是表示角的代数式．
追问3：公式Sα－β，Sα＋β，可记为什么？
“异名相乘，符号同”．
新知探究
问题4　前面学习的同角三角函数关系中，tanα，sinα，cosα的关系怎样？
追问1：利用该关系及两角和的正、余弦公式，能用tanα和tanβ表示tan(α＋β)和tan(α－β)？
①tan(α＋β)
②tan(α－β)
新知探究
两角和差的正切公式
（1）tan(α＋β)＝　 　　　　　，记作Tα＋β．
（2）tan(α－β)＝　　　　　　 ，记作Tα－β．
新知探究
追问2：两角和与差的正切公式对任意α，β均成立吗？
不是对任意α，β均成立．
①在两角和的正切公式中，使用条件是：α，β，α＋β≠kπ＋ ，（k∈Z）；
②在两角差的正切公式中，使用条件是：α，β，α－β≠kπ＋ ，（k∈Z）．
新知探究
追问3：如何计算 　　　　　？
原式＝
＝tan(45°－15°)
＝tan30°＝ ．
例1　已知 　　　　 ，α为第三象限角，求　 　　　　　　　　　　的值．
初步应用
解析：因为 ，α为第三象限角，所以
初步应用
追问：本题中　　　　　　　 ，这是一种巧合吗？
不是，因为
所以
这类题目要注意角的变换，观察待求角和已知角，把所求角表示为已知两角的和差，然后利用两角和、差公式求解．
例2　已知tanα＝2，tanβ＝ ，其中0＜α＜ ＜β＜π．
初步应用
求：（1）tan(α－β)的值；（2）α＋β．
解析：（1）
（2）因为0＜α＜ ＜β＜π，所以
而
故α＋β＝ ．
初步应用
灵活选择适当求角的三角函数值方法：
③如果角的取值范围是(0π)，则选正弦函数．
①如果角的取值范围是　　 ，则选正弦函数、余弦函数均可；
②如果角的取值范围是　　　　 ，则选余弦函数；
例3　已知0＜β＜ ＜α＜π，且
初步应用
求：（1）　　　　　 的值；　　（2） 　　　　的值．
解析：（1）因为0＜β＜ ＜α＜π ，所以
（2）
故
例3　已知0＜β＜ ＜α＜π，且
初步应用
求：（1）　　　　　 的值；　　（2） 　　　 的值．
由　　　　 得，
又 　　　　　　，则
故
故
初步应用
这类问题要注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．
方法总结
归纳小结
（1）利用两角和差的正弦、余弦、公式的求值中，要注意什么？
（2）给值求值问题的解题方法是什么？常用的角的变换技巧有哪些？
问题5　回归本节的学习，你有什么收获？可以从以下几个问题归纳．
（1）化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：
当所要化简（求值）的式子中出现特殊的数值“1”，“”时，
要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，
如“1＝　　 ”，“　　　　　”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．
归纳小结
（1）利用两角和差的正弦、余弦、公式的求值中，要注意什么？
（2）给值求值问题的解题方法是什么？常用的角的变换技巧有哪些？
问题5　回归本节的学习，你有什么收获？可以从以下几个问题归纳．
（2）在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时
分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角．
具体做法：①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．
②当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．
作业布置
作业：教科书第P147练习第6，7，8题；P152习题A组第4，5，6题．
1
目标检测
C
已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtaβ等于（　　）
A．2
C．
D．4
B．1
解析：因为tan(α＋β)
所以tanαtanβ＝ ．
2
目标检测
B
已知α∈ ，　　　　　　　则sinα等于（　　）
A．
C．
D．
B．
解析：由α∈ 得，
所以
所以sin α＝
３
目标检测
设θ为第二象限角，若　　　　　　　，则cos θ＝_________；　　　　　＝______．
解析：
由
结合θ为第二象限角，则cos θ＜0，
得cos θ＝ 　　　，sin θ＝　　．
所以
４
目标检测
如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆
相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为　 ，　 ．
x
y
O
α
β
A
B
（1）求tan(α＋β)的值；（2）求α＋2β的值．
∵α，β为锐角，
解析：由条件得cos α＝ ，cos β＝ ，
∴sinα＝　　，sinβ＝　 ，
∴tanα＝7，tanβ＝ ．
（1）tan(α＋β)＝　　　　　　　　　　　　＝－3．
４
目标检测
如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆
相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为　 ，　 ．
x
y
O
α
β
A
B
（1）求tan（α＋β）的值；（2）求α＋2β的值．
（2）tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜ ，
故可得α＋2β＝　 ．