2022-2023学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册两角和与差的三角函数公式》第3课时课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
两角和与差的三角函数公式
第3课时
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问题1　（1）式子sin20°cos30°＋cos20°sin30°可化简为什么形式？
（2）式子　　　　　　　　　　能否化简为只含有一个三角函数的形式？
（3）式子sinx－cosx呢？
（1）sin20°cos30°＋cos20°sin30°＝sin(20°＋30°)＝sin50°．
（2）　　　　　　　　　　＝sin(20°－60°)＝－sin40°．
（3）sinx－cosx＝
新知探究
问题2　asinα＋bcosα可以转化为(α＋φ)吗？
则asinα＋bcosα＝(sinαcosφsinφcosα)＝α＋φ)．
asin α＋bcos α＝
令 　　　＝cosφ， 　　　　＝sinφ，
新知探究
角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由sinφ和cosφ的值确定，
问题3　辅助公式asinα＋bcosα＝（a，b不同时为0），如何确定辅助角公式中φ的值？
也就是由tanφ＝ 来确定．
追问1：上述的叠加公式是哪个公式的逆用？
是两角和的正弦公式的应用？
新知探究
追问2：公式Sα－β，Sα＋β，可记为什么？
“异名相乘，符号同”．
追问2：能否把cosx＋sinx化简为只含有一个三角函数的形式？
cosx＋sinx＝
新知探究
辅助公式
asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)（a，b不同时为0）．
①其中： 　　　＝cosφ， 　　　　 ＝sinφ， tanφ＝ ．
②φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tanφ＝ 来确定．
新知探究
问题4　两角和与差的正切公式是什么？
tan(α＋β)＝
追问1：你能对两角和差的正切公式，进行变形吗？
正切公式的变形：
tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．
tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．
新知探究
追问2：如何求tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°的值？
新知探究
追问3： tanαtanβ，tanα＋tanβ（或tanα－tanβ），tan(α＋β)（或tan(α－β)）中，已知
两个，可以求第三个吗？
能，由正切公式可知，
tanαtanβ，tanα＋tanβ（或tanα－tanβ），tan(α＋β)（或tan(α－β)）
三者中可以知道二个求另一个．
新知探究
两角和与差的正切公式的逆用
tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．
tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．
①tanαtanβ，tanα＋tanβ，tan(α＋β)．
②tanαtanβ，tanα－tanβ，tan(α－β)．
上述两组条件都是三者中可以知道二个求另一个．
例1　求f(x)＝sinx＋x的最大值和周期．
初步应用
所以 f(x) 的最大值为2，周期为2π．
解析：因为f(x)＝
先用辅助角公式化为一个角的形式，再利用三角函数的性质求解．
初步应用
例2　已知三个电流瞬时值的函数解析式分别是I1＝sinωt，I2＝2sin(ωt－ )，I3＝
4sin(ωt＋ )，其中ω为常数，t为线圈旋转的时间．求它们合成后的电流瞬时值的函数解析式，并求出这个函数的振幅．
解析：I＝I1＋I2＋I3＝
其中tanθ＝ ，
所以I＝sin(ωt＋θ)，且它的振幅是．
初步应用
追问：若例2改为：已知ω＞0，函数　　　　　　　　　　　　　　　在　　　 上单调
递增，则ω的取值范围多少？
又 f（x）在 上单调递增，
故　　　　　　　　　　（其中k∈Z），
解得6k－4≤ω≤4k－ ，由6k－4≤4k－ ，得k≤ ，
又因为ω＞0，k∈Z，因此k＝1，所以2≤ω≤ ．
初步应用
求解几个振幅和初相不同但频率相同的正弦波之和的问题，一般是先展开，然后利用辅助角公式化为一个角的函数求解．
方法总结
归纳小结
（1）逆用两角和、差公式要注意什么？
（2）对式子化简求值时，需要合理拆分角、凑角值，如何进行拆（凑）角呢？
问题5　回归本节的学习，你有什么收获？可以从以下几个问题归纳．
（1）逆用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，
一般是观察角、函数名、所求（或所化简）问题的整体形式中的差异，
利用诱导公式把三角函数式中的角转化为能够应用公式的形式，
或利用辅助角公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)进行转化．
归纳小结
（1）逆用两角和、差公式要注意什么？
（2）对式子化简求值时，需要合理拆分角、凑角值，如何进行拆（凑）角呢？
问题5　回归本节的学习，你有什么收获？可以从以下几个问题归纳．
（2）拆（凑）角的方法
①当已知角有两个时，所求角一般表示为两个已知角的和与差的形式；
②当已知角有一个时，此时应着眼于所求角与已知角的和与差的关系，然后应用诱导公式把所求角转变成已知角；
③角的拆分方法不是唯一的，可根据题目合理选择拆分方式．
作业布置
作业：教科书P153页，A组第7，8，9题，B组第2，3，5题．
1
目标检测
A
若cosα－sinα＝ ，则 的值为（　　）
A．
C．
D．
B．
解析：由于cosα－sinα＝ ，故
所以
故
2
目标检测
A．向左平移
C．向右平移
B．向左平移
D．向右平移
将函数f(x)＝sinx－cosx的图象的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）得到函数g(x)的图象，再由g(x)的图象（　　）单位可得y＝cos2x＋sin2x的图像．
解析：化简f((x)＝sin x－cos x＝
函数f(x)的图像横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），
得到g(x)＝
目标检测
A．向左平移
C．向右平移
B．向左平移
D．向右平移
又y＝cos2x＋sin2x＝
故g(x)＝　　　　　　　的图像向左平移 个单位长度，
得到g(x)＝
2
将函数f(x)＝sinx－cosx的图象的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）得到函数g(x)的图象，再由g(x)的图象（　　）单位可得y＝cos2x＋sin2x的图像．
A
3
目标检测
tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°的值是________．
解析： ∵tan60°＝
∴tan23°＋tan37°＝tan23°tan37°，
∴tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°＝．
4
目标检测
已知函数f(x)＝sin　　　　＋sin　　　　＋cos2x．
（1）求f(x)的最小值及最小正周期；
（2）求使f(x)＝3的x的取值集合．
∴f(x)min＝2×（－1）＋1＝－1，
故最小正周期T＝　　　　＝π．
解析：（1）∵
f(x)＝sin　　　　＋sin　　　　＋cos2x
＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin　　　　＋1．
4
目标检测
已知函数f（x）＝sin　　　　＋sin　　　　＋cos2x．
（1）求f（x）的最小值及最小正周期；
（2）求使f（x）＝3的x的取值集合．
（2）∵f（x）＝3，∴2sin　　　　＋1＝3，
∴　　　　　　　　，k∈Z，
∴sin 　　　＝1，
∴x＝kπ＋ ，k∈Z，
∴使f（x）＝3的x的取值集合为{x|x＝kπ＋ ，k∈Z}．