2022-2023学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册两角和与差的三角函数公式》第4课时课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
两角和与差的三角函数公式
第4课时
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问题1　如何化简 ？
把　　　　　 　　　　　　展开整理，可得
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追问1：右边的两个角如何用左边的两个角表示？
右边的两个角分别是左边两个角的和（差）的一半．
追问2：对任意两个角，sinx＋siny应该等于什么？
新知探究
问题2　如何运用已知的公式证明sinαcosβ＝ [sin(α＋β)＋sin(α－β)]？
你还能得出什么结论？
sin(α－β)＝sinαcos β－cosαsinβ，
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，
两式相加得sinαcosβ＝ [sin(α＋β)＋sin(α－β)]．
两式相减得cosαsinβ＝ [sin(α＋β)－sin(α－β)]．
新知探究
问题3　利用两角和差的余弦，你能求出cosαcosβ，sinαsinβ的表达式吗？
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．
两式相加可得
cosαcosβ＝ [cos(α＋β)＋cos(α－β)]．
两式相减可得
sinαsinβ＝ [cos(α＋β)－cos(α－β)]．
新知探究
问题4　你能写出积化和差的公式吗？
sinαcosβ＝ [sin(α＋β)＋sin(α－β)]．
cosαsinβ＝ [sin(α＋β)－sin(α－β)]．
cosαcosβ＝ [cos(α＋β)＋cos(α－β)] ．
sinαsinβ＝ [cos(α＋β)－cos(α－β)]．
新知探究
cos（α＋β）cos（α－β）＝ （cos2α＋cos2β）
追问1：若cos（α＋β）cos（α－β）＝ ，则cos2α－sin2β等于什么？
＝ [（2cos2α－1）＋（1－2sin2β）]
＝cos2α－sin2β．
新知探究
问题5　如何运用已知的公式证明sinx＋siny＝
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ，
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ，
两式相加得：sin（α＋β）＋sin（α－β）＝2sinαcosβ（1）
设α＋β＝x，α－β＝y，则
代入（1）得：sinx＋siny＝
新知探究
问题6　整理并写出和差化积公式？
sin x＋sin y＝
sin x－sin y＝
cos x＋cos y＝
cos x－cos y＝
新知探究
问题7　如何求sin75°－sin15°的值？
sin75°－sin15°＝2cos45°sin30°
例1　把下列各式积写成和的形式．
初步应用
解析：（1）2cos15°sin55°＝sin(55°＋15°)＋sin(55°－15°)＝sin70°＋sin20°．
（1）2cos15°sin55°．
（2）cos(x－y)cos(x＋y)．
（2）2cos(x－y)cos(x＋y)＝cos[(x＋y)＋(x－y)]＋cos[(x＋y)－(x－y)]，
即2cos(x－y)cos(x＋y)＝cos2x＋cos2y，
故cos(x－y)cos(x＋y)＝ cos2x＋ cos2y．
初步应用
牢记积化和差公式，才能正确使用．
积化和差公式特点：同名函数之积化为两角和与差余弦的和（差）的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和（差）的一半，等式左边为单角α、β，等式右边为它们的和（差）角．
在积化和差的公式中，如果从右往左看，实质上就是和差化积．
方法总结
例2　把下列各式化成积的形式．
初步应用
（2）sinx＋cosx．
（1）cosx－ ．
解析：（1）
（2）
初步应用
和差化积公式特点：
（2）型如asinx＋bcosx，可化为sin（x＋φ）也能达到和差化积的形式目的．
（1）同名函数的和与差可化为积；
余弦的和与差可化为同名函数之积；
正弦的和与差可化为异名函数之积；
等式左边为单角θ与φ，等式右边为 与 的形式．
因此cosx－ 中的 需化为 ，sin（90°－x）中cosx需化为 ．
方法总结
例3　求值：
初步应用
（2）sin220°＋cos280°＋sin20°cos80°．
（1）
解析：（1）
＝tan 15°；
例3　求值：
初步应用
（2）sin220°＋cos280°＋sin20°cos80°．
（2）sin220°＋cos280°＋sin20°cos80°＝sin220°＋sin210°＋sin20°sin10°
＝sin220°＋sin210°＋2cos 30°sin 20°sin 10°
＝（sin220°＋cos30°sin20°sin10°）＋（sin210°＋cos30°sin20°sin10°）
＝sin20°（sin20°＋cos30°sin10°）＋sin10°（sin10°＋cos30°sin20°）
＝sin20°[sin（30°－10°）＋cos30°sin10°]＋sin10°[sin（30°－20°）＋cos30°sin20°]
＝sin30°sin20°cos10°＋sin30°sin10°cos20°
＝ （sin20°cos10°＋sin10°cos20°）
＝ ．
＝ sin30°
初步应用
三角函数变换的灵活性更多地体现在拆角的灵活性上，该小题中要注意7°与15°和8°的关系．
牢记积化和差与和差化积这两组公式的区别与联系，才能正确使用之．
明确公式是由两角和与差的三角函数公式推导而得，进一步明确三角函数中公式虽然多，但都不是孤立的，另外，弄清公式的来源以及公式的内在联系，才能更好地记忆和使用它们．
方法总结
归纳小结
（1）证明三角恒等式的基本原则是什么？
（2）套用和差化积公式的关键是什么呢？
问题8　回归本节的学习，你有什么收获？可以从以下几个问题归纳．
（1）证明三角恒等式的基本原则是化繁为简，即由较为复杂的一边向较简单的一边证明，
注意观察等号两边的函数名和结构形式的差异，利用三角函数公式进行转化．
（2）套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式；
为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积；
有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来．
作业布置
作业：教科书P152页A组第3题．
1
目标检测
C
sin15°cos165°的值是（　　）
A．
C．
D．
B．
解析：sin15°cos165°＝sin15°cos（180°－15°） ＝－sin15°cos15°
故选C．
＝　 sin30 °＝ ．
2
目标检测
B
化简 的结果为（　　）
A．tan α
C．
D．
B．tan 2α
故选B．
解析：
3
目标检测
已知sinα＋sinβ＝（cos β－cos α），α，β∈ ，求α－β的值．
即　　　　　　 ，故α－β＝ ．
解析：因为sin α＋sin β＝
而（cos β－cos α）＝
又因为sin α＋sin β＝（cos β－cos α），α，β∈
故
当α，β∈　　 时，则 ≠0，而且
所以
4
目标检测
求证：cosx＋cos2x＋…＋cosnx＝
证明：（cosx＋cos2x＋…＋cosnx）
故cosx＋cos2x＋…＋cosnx＝