第五章 一元函数的导数及其应用 单元检测-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案）

第五章 一元函数的导数及其应用单元检测
一、单选题
1．已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（ ）
A． B． C． D．
2．设在处可导，则（ ）
A． B． C． D．
3．若直线是曲线在某点处的切线，则实数（ ）．
A． B．1 C．2 D．3
4．已知函数.曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．若直线与曲线相切，则（ ）
A．为定值 B．为定值
C．为定值 D．为定值
7．设，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，若函数在区间上有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中错误的是（ ）
A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度
B．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度
C．18m/s是物体从3s到s这段时间内某一时刻的速度
D．18m/s是物体从3s到s这段时间内的平均速度
10．下列选项正确的是（ ）
A．，则 B．，则
C．，则 D．，则
11．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若关于直线对称，为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
12．函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的解集是
B．
C．时，取得最大值
D．的解集是
三、填空题
13．设函数可导且在处的导数值为1，则__________．
14．若曲线在点处的切线方程是，则______．
15．已知，函数在其定义域上单调递减，则实数__________.
16．给出如下关于函数的结论：
①；②对，都，使得；
③，使得；④对，都有
其中正确的有___________.（填上所有你认为正确结论的序号）
四、解答题
17．（1）求曲线，在点处的切线方程；
（2）求过点的抛物线的切线方程．
18．求下列函数的导数.
(1)；
(2).
19．已知抛物线，其中，直线 l 为抛物线在点处的切线．
(1)求切线 l 的方程；
(2)求证：抛物线上除切点外，其余各点都在该切线 l 的上方．
20．已知函数．
(1)当时，求函数的单调增区间．
(2)讨论函数的单调性．
21．已知函数，（，为自然对数的底数）.
(1)求函数的极值；
(2)若对，恒成立，求的取值范围.
22．已知函数．
(1)当时，求证：；
(2)设，若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数k的取值范围．
答案
1．A
2．A
3．C
4．C
5．B
6．D
7．C
8．D
9．ACD
10．BCD
11．ABC
12．BC
13．
14．
15．2
16．①③④
17.（1），可知所求切线的斜率
故所求切线的方程为，即．
（2）设切点坐标为，，可知所求切线的斜率
∵切线过点和点，∴，
解得或，∴切线的斜率为2或6
故所求切线的方程为或，
即或．
18．（1）
（2）
19．（1）由已知得，则，
于是所求切线的斜率为，
所以切线 l 的方程为，即；
（2）将切线l的方程化为，
当时，恒成立，
因此抛物线上除切点外，其余各点都在该切线l的上方．
20．（1）函数的定义域为，
当时，，
所以.
故当时， ，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增；
所以函数的单调递增区间有和；
（2）由可得：.
①当时， ，在上单调递增；
②当时，时，时，在上单调递增；
时，时，在上单调递减；
时， ，在上单调递增；.
③当时，，且仅在时，，
所以函数在上单调递增；
④当时，时，时，在上单调递增；
时，时，在上单调递减；
时， ，在上单调递增；.
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
21．（1）定义域为，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，无极小值.
（2）由得：，在上恒成立；
令，则；
令，则，
在上单调递增，又，，
，使得，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，；
由得：，，
，，
则实数的取值范围为.
22．（1）要证，只需证，
令，，
由，，，，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴，即，∴．
（2）由题意得，，
∵，显然，，
∴在区间上为增函数，
∴时，，
∴，
设，有在时恒成立，
∵，
①时，∵，显然，∴在时单调递减，此时不符合；
②时，∵，显然，∴在时单调递减，此时不符合；
③时，∵，
若，显然，则在区间上单调递减，此时不符合；
若，显然当时，，则在区间上单调递减，此时，不符合；
若时，则在区间上单调递增，此时，符合．
综上得，解得，即实数k的取值范围为．