第一章集合——2023年寒假高一数学复习学案-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册(含答案)

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名称 第一章集合——2023年寒假高一数学复习学案-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册(含答案)
格式 zip
文件大小 1.8MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2023-02-07 07:59:54

文档简介

集合
【知识点回归】
1.元素与集合
(1)特性:确定性、互异性(重点考查方向)、无序性。
(2)元素与集合的关系:属于或不属于,表示符号分别为 和 。
(3)表示方法:列举法、描述法、图示法。
(4)常用集合的符号
N*或N+表示正整数集,N表示非负整数集(或自然数集),
Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集.
2.集合间的基本关系
(1)子集:若对任意 ,都有 ,则 或 。
(2)真子集:若 ,且集合 中至少有一个元素不属于集合 ,
则 或 。
(3)相等:若 ,且 ,则 。
(4)空集(重点考查方向): 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
(5)子集、交集、并集、补集之间的关系式:
(其中为全集)
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号表示 若全集为 ,则集合 的补集为
图形表示
性质 ; ; ; ; ; ;
【例题回归】
一、元素的三大特性
例1、(确定性)下列四组对象中能构成集合的是( ).
A.本校学习好的学生 B.在数轴上与原点非常近的点
C.很小的实数 D.倒数等于本身的数
例2、(互异性)已知集合,,若,求的值为( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
例3、(无序性)下列命题中正确的是( )
①与表示同一个集合
②由1,2,3组成的集合可表示为或
③方程的所有解的集合可表示为
④集合可以用列举法表示
A.只有①和④ B.只有②和③ C.只有② D.以上都对
跟踪训练1、已知集合,,若,则的值为( )
A.0 B. C.1 D.
二、元素与集合的关系
例4、设集合,若,则( )
A.-3或-1或2 B.-3或-1 C.-3或2 D.-1或2
跟踪训练2、已知x,y,z为非零实数,代数式的值组成的集合是M,则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
三、集合间的基本关系
例5、已知集合,,则之间的关系是( )
A. B. C. D.
跟踪训练3、集合之间的关系是( )
A. B. C. D.
例6.已知集合,集合,若,则的取值范围为
A. B.
C. D.
四、Venn图
例7、如图,U是全集,M,P,S是U的子集,则阴影部分表示的集合是( )
A. B. C. D.
跟踪训练4、如图所示的阴影部分表示的集合是( )
A. B.
C. D.
五、集合的基本运算
例8、设集合,,,则( )
A. B. C. D.
跟踪训练5、集合,,若,则实数a的取值范围是( )
A. B.或
C. D.或
跟踪训练6、已知全集,集合,,则( )
A. B. C. D.
【能力提升】
一、子集个数
(1)若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个,非空子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个。
(2) U(A∩B)=( UA)∪( UB), U(A∪B)=( UA)∩( UB).(摩根律)
1、集合的非空真子集的个数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2、集合的子集共有( )个
A.8 B.7 C.6 D.5
3、设集合,,则集合的真子集个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、容斥原理
如果被计数的事物有A、B两类,那么,A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。(A∪B = A+B - A∩B)
4、《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
5、高二(一)班共有学生50人,每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人,这三门课程都不选的有10人,这三门课程都选的有10人,在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人,在物理、化学中只选一门的学生都至少有6人,那么同时选择物理和化学这两门课程的学生人数至多为( )
A.16 B.17 C.18 D.19
三、德·摩根定律
(1)集合形式,
(2)命题形式:,
6、已知全集,集合,,则( )
A. B. C. D.集合
【知识点回归】
1.元素与集合
(1)特性:确定性、互异性(重点考查方向)、无序性。
(2)元素与集合的关系:属于或不属于,表示符号分别为 和 。
(3)表示方法:列举法、描述法、图示法。
(4)常用集合的符号
N*或N+表示正整数集,N表示非负整数集(或自然数集),
Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集.
2.集合间的基本关系
(1)子集:若对任意 ,都有 ,则 或 。
(2)真子集:若 ,且集合 中至少有一个元素不属于集合 ,
则 或 。
(3)相等:若 ,且 ,则 。
(4)空集(重点考查方向): 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
(5)子集、交集、并集、补集之间的关系式:
(其中为全集)
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号表示 若全集为 ,则集合 的补集为
图形表示
性质 ; ; ; ; ; ;
【例题回归】
一、元素的三大特性
例1、(确定性)下列四组对象中能构成集合的是( ).
A.本校学习好的学生 B.在数轴上与原点非常近的点
C.很小的实数 D.倒数等于本身的数
【答案】D
【解析】集合中的元素具有确定性,对于A,B,C,
学习好、非常近、很小都是模糊的概念,没有明确的标准,不符合确定性;
对于D,符合集合的定义,D正确.
故选:D.
例2、(互异性)已知集合,,若,求的值为( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
【答案】B
【解析】因为,则,或,又因为x在分母,所以,故,即;所以有,利用元素的互异性得,,故得,所以.
故选:B.
例3、(无序性)下列命题中正确的是( )
①与表示同一个集合
②由1,2,3组成的集合可表示为或
③方程的所有解的集合可表示为
④集合可以用列举法表示
A.只有①和④ B.只有②和③ C.只有② D.以上都对
【答案】C
【解析】对于①,由于“0”是元素,而“”表示集合,所以①不正确;
对于②,根据集合中元素的无序性可知②正确;
对于③,根据集合元素的互异性可知③错误;
对于④,由于该集合为无限集、且无明显的规律性,所以不能用列举法表示,所以④不正确.
综上可得只有②正确.故选C.
跟踪训练1、已知集合,,若,则的值为( )
A.0 B. C.1 D.
【答案】B
【解析】根据集合中元素的互异性可知,.
因为,所以或.
当时,,此时;
当时,,因为,所以,
此时.所以的值为.
二、元素与集合的关系
例4、设集合,若,则( )
A.-3或-1或2 B.-3或-1 C.-3或2 D.-1或2
【答案】C
【解析】当时,解得,则,符合题意.当时,解得或.当时,,不满足元素的互异性,不符合题意;当时,,符合题意.所以或.故选C.
跟踪训练2、已知x,y,z为非零实数,代数式的值组成的集合是M,则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】ACD
三、集合间的基本关系
例5、已知集合,,则之间的关系是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
,故一定是或的真子集.
跟踪训练3、集合之间的关系是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵

故,故选C.
例6.已知集合,集合,若,则的取值范围为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解不等式得,
要使,当集合时,,解得;
当集合时,,解得.
综上:.故选D.
四、Venn图
例7、如图,U是全集,M,P,S是U的子集,则阴影部分表示的集合是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由图知,阴影部分在集合M中,在集合P中,但不在集合S中,
故阴影部分所表示的集合是.
故选:C.
跟踪训练4、如图所示的阴影部分表示的集合是( )
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】由于题图中阴影部分在P中,且不在M,N中,则题图中阴影部分表示的集合是P的子集,也是的子集,即是或.故选CD.
五、集合的基本运算
例8、设集合,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
解析:,所以,
所以,
故选:C
跟踪训练5、集合,,若,则实数a的取值范围是( )
A. B.或 C. D.或
【答案】D
【解析】集合或,,,,
当时,,符合条件;
当时,,或,
解得或,
则实数a的取值范围为.
故选:D.
跟踪训练6、已知全集,集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题得,
所以.
故选:A.
【能力提升】
一、子集个数
(1)若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个,非空子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个。
(2) U(A∩B)=( UA)∪( UB), U(A∪B)=( UA)∩( UB).(摩根律)
1、集合的非空真子集的个数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】B
【解析】由题意,集合A的非空真子集为,,,,,,共6个.故选:B.
2、集合的子集共有( )个
A.8 B.7 C.6 D.5
【答案】A
【解析】,
A的子集有:,,,,,,,
故共有8个
3、设集合,,则集合的真子集个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】联立方程组解得或因而集合含有2个元素,其真子集个数为3.故选C.
二、容斥原理
如果被计数的事物有A、B两类,那么,A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。(A∪B = A+B - A∩B)
4、《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
【答案】C
【解析】由题意得,该校阅读过《西游记》的学生人数为,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为.故选C.
5、高二(一)班共有学生50人,每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人,这三门课程都不选的有10人,这三门课程都选的有10人,在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人,在物理、化学中只选一门的学生都至少有6人,那么同时选择物理和化学这两门课程的学生人数至多为( )
A.16 B.17 C.18 D.19
【答案】C
【解析】把50名学生看成一个集合U,
选择物理课程的人组成集合A,
选择化学课程的人组成集合B,
选择生物课程的人组成集合C,
将选择不同科目的学生视为不同的集合,作出相应的Venn图,使用数形结合思想求解.
要使同时选择物理和化学这两门课程的学生人数最多,且满足物理、化学、生物这三门课程都不选的有10人,这三门课程都选的有10人,
则其他几个选择的人数均为最少,
故只选物理的最少有6人,只选化学的最少有6人,三门课程中只选化学、生物的最少有3人,只选物理、生物的最少有3人,只选生物的最少有4人,以上最少有42人,可作出如下图所示的Venn图,
所以三门课程中只选物理、化学的至多有8人,所以同时选择物理和化学这两门课程的学生人数至多为.故选C.
三、德·摩根定律
(1)集合形式,
(2)命题形式:,
6、已知全集,集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题得,
所以.
故选:A.集合——2023 年寒假高一复习学案
集合
【知识点回归】
1.元素与集合
(1)特性:确定性、互异性(重点考查方向)、无序性。
(2)元素与集合的关系:属于或不属于,表示符号分别为∈ 和 。
(3)表示方法:列举法、描述法、图示法。
(4)常用集合的符号
N*或 N+表示正整数集,N表示非负整数集(或自然数集),
Z表示整数集,Q 表示有理数集,R表示实数集.
2.集合间的基本关系
(1)子集:若对任意 ∈ ,都有 ∈ ,则 或 。
(2)真子集:若 ,且集合 中至少有一个元素不属于集合 ,
则 或 。
(3)相等:若 ,且 ,则 = 。
(4)空集(重点考查方向): 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
(5)子集、交集、并集、补集之间的关系式:
A B A B A A B B A C IB C IA B I (其中 I 为全集)
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号表示 ∪ ∩ 若全集为 ,则集合 的补集为
图形表示
性质 ∪ = ; ∩ = ; ∪ = ;
∪ = ; ∩ = ; ∩ = ;
∪ = ∪ ∩ = ∩ =
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集合——2023 年寒假高一复习学案
【例题回归】
一、元素的三大特性
例 1、(确定性)下列四组对象中能构成集合的是( ).
A.本校学习好的学生 B.在数轴上与原点非常近的点
C.很小的实数 D.倒数等于本身的数
y
例 2 、(互异性)已知集合 A x, ,1 ,B x x
2 , x y, 0 ,若 A B,求 x2019 y2018

的值为( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
例 3、(无序性)下列命题中正确的是( )
① 与 0 表示同一个集合
②由 1,2,3 组成的集合可表示为 1,2,3 或 3,2,1
③方程 (x 1)2 (x 2) 0 的所有解的集合可表示为 1,1,2
④集合{x∣4 x 5}可以用列举法表示
A.只有①和④ B.只有②和③ C.只有② D.以上都对
1 2跟踪训练 、已知集合 A a ,0, 1 , B {a,b,0},若 A B,则 (ab)2021 的值为( )
A.0 B. 1 C.1 D. 1
二、元素与集合的关系
例 4、设集合 A 2,1 a,a2 a 2 ,若 4 A,则a ( )
A.-3 或-1或 2 B.-3或-1 C.-3或 2 D.-1或 2
x y z xyz
跟踪训练 2、已知 x,y,z 为非零实数,代数式 x y z xyz 的值组成的集合是 M,则
下列判断正确的是( )
A. 0 M B. 2 M C. 4 M D. 4 M
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集合——2023 年寒假高一复习学案
三、集合间的基本关系
例 5、已知集合 A x | x 4n 1,n Z ,B x | x 4n 3,n Z ,C x | x 8n 1,n Z ,则
A,B,C之间的关系是( )
A. C B A B. A B C C. C A B D. A B C
跟踪训练 3、集合
M x x 5k 2,k Z , P x x 5n 3,n Z , S x x 10m 3,m Z 之间的
关系是( )
A. S P M B. S P M C. S P M D. P M S
x 2
例 6.已知集合 A x 0 ,集合 B x m 1 x 2m 1 ,若 B A,则
2x 3
m的取值范围为
1 1 1 1
A. , B. , 2 , 2 2 2 2
1 1 1 1C. , 2 , , 2 , D.
2 2 2 2
四、Venn 图
例 7、如图,U 是全集,M,P,S 是 U 的子集,则阴影部分表示的集合是( )
A. (M P) S B. (M P) S C. (M P) US D. (M P) US
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集合——2023 年寒假高一复习学案
跟踪训练 4、如图所示的阴影部分表示的集合是( )
A.M (N P) B. UM (N P)
C.P U (M N) D. P UM UN
五、集合的基本运算
例 8、设集合U= x Z x 2 ,A 1,0,1 ,B 0,1 ,则 A UB ( )
A. 2, 1,0,1,2 B. 1,0,1 C. 1 D. 1,0
x 3
跟踪训练 5、集合 A x 0

, B x ax 1 0 ,若 A B A,则实数 a
x 1
的取值范围是( )
A. x 1 x 1

B. x x 1或 x 0
3
C. 1 1 x x 1 D.{x x 0 或0 x 1}
3 3
跟踪训练 6、已知全集 U 0,1,2,3,4 ,集合 A 1,2,3 , B 2,4 ,则
U A B ( )
A. 0,1,3,4 B. 0 C. 0,2,4 D. 1,3,4
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集合——2023 年寒假高一复习学案
【能力提升】
一、子集个数
(1)若有限集 A中有 n个元素,则 A的子集有 2n个,真子集有 2n-1 个,非空
子集有 2n-1个,非空真子集有 2n-2个。
(2) U(A∩B)=( UA)∪( UB), U(A∪B)=( UA)∩( UB).(摩根律)
小试牛刀
1、集合 A {0,1, 2}的非空真子集的个数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2、集合 A a,b,c 的子集共有( )个
A.8 B.7 C.6 D.5
x y x2 y
3、设集合M x, y 1 ,N x, y 1 ,则集合M N的真子
4 3 4 3
集个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、容斥原理
如果被计数的事物有 A、B 两类,那么,A 类 B 类元素个数总和= 属于 A 类
元素个数+ 属于 B类元素个数—既是 A类又是 B类的元素个数。(A∪B = A+B - A
∩B)
小试牛刀
4、《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小
说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了 100 位学生,其中阅
读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有 90 位,阅读过《红楼梦》的学生共有 80 位,阅读
过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有 60 位,则该校阅读过《西游记》的学生人数
与该校学生总数比值的估计值为( )
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
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集合——2023 年寒假高一复习学案
5、高二(一)班共有学生 50 人,每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六
门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少 20 人,这三门
课程都不选的有 10 人,这三门课程都选的有 10 人,在这三门课程中选择任意两门课程的都
至少有 13 人,在物理、化学中只选一门的学生都至少有 6 人,那么同时选择物理和化学这
两门课程的学生人数至多为( )
A.16 B.17 C.18 D.19
三、德·摩根定律
(1)集合形式CI (A B) (CIA) (CIB) ,CI (A B) (CIA) (CIB)
(2)命题形式: ( p q) ( p) ( q) , ( p q) ( p) ( q)
小试牛刀
6、已知全集U 0,1,2,3,4 ,集合 A 1,2,3 ,B 2,4 ,则 U A B ( )
A. 0,1,3,4 B. 0 C. 0,2,4 D. 1,3,4
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