04 函数的概念与性质
函数
【知识回归】
一、函数的概念及其表示
1.函数的概念
Ⅰ.① ， 是两个非空的实数集。
②对于 中任意一个数 ， 中都有唯一确定的数 与之对应。
Ⅱ.（映射定义）设 A 和 B是两个非空集合，如果按照某种对应关系 f，对于集合 A 中的任何
一个元素 a，在集合 B中都存在唯一的一个元素 b与之对应，那么，这样的对应（包括集合 A，
B，以及集合 A到集合 B的对应关系 f）叫做集合 A到集合 B的映射，记作 f：A→B。其中，b
称为 a在映射 f下的象，记作：b=f(a); a 称为 b关于映射 f的原象。集合 A中所有元素的象
的集合记作 f(A)。
【例 1】设集合M {x∣0 x 2}，N {y∣0 y 2}，那么四个图形中，能表示集合 M 到集合
N的函数关系的有( )
A.①②③④ B.①②③ C.②③ D.②
【例 2】下列对应是从 A 到 B 的函数的是_______.
(1) A R,B R
1
，对应法则 f : y .(2) A {1,2,3},B R, f (1) f (2) 3, f (3) 4
x2
.
(3) A {1,2,3},B {4,5,6} ，对应法则如图所示.
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04 函数的概念与性质
2.函数的相关概念
（1）函数的定义域、值域
在函数 = , ∈ 中， 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的定义域；与 的
值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合{ | ∈ } 叫做函数的值域。显然，值域是集合
的子集。
（2）函数的表示方法：解析法、图象法和列表法。
（3）相等函数
如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的
依据。
f (x)
【例 3】已知函数 y f (2x 1)的定义域是 2,3 ，则 y 的定义域是( )
x 2
A. 2,5 B. 2,3 C. 1,3 D. 2,5
2
【例 4】已知 f x 1 的定义域为 0,3 ，则 f (2x 1)的定义域为( )
1, 3 9 A. B. 2
0, C.[ 3,15] D. 1,3
2
【例 5】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字
命名的“高斯函数”：设 x R，用 x 表示不超过 x 的最大整数，则 y x 称为高斯函数，也称
x
取整函数，例如： 3.7 4， 2.3 2 . e 1 1已知 f x x ，则函数 y f x 的值域为( )e 1 2
A. 0 B. 1,0 C. 2, 1,0 D. 1,0,1
(2 a)x 3a, x 1,
【例 6】已知函数 f (x)
的值域为 R，那么实数 a 的取值范围是( )
x 1, x 1
A. ( , 1] B. [ 1,2) C. (0,2) D. ( 2,1]
【例 7】下列各组函数中，表示同一函数的是( )
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04 函数的概念与性质
2
A. y x 9 与 y x 3 B. y x2 1与 y x 1
x 3
C. y x0 x 0 与 y 1 x 0 D. y 2x 1， x Z 与 y 2x 1， x Z
【例 8】下列各组函数表示相同函数的是( )
2
A. f x x2 和 g x x B. f x 1和 g x x0
x, x 0
2
C. f x x x 1 和 g x D. f x x 1和 g x
x, x 0 x 1
3、函数解析式的求法
（1）待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法。
（2）换元法：已知复合函数 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围。
（3）配凑法：由已知条件 = ，可将 改写成关于 的表达式，然后以 替
代 ，可得 的解析式。
1
（4）消元法：已知 与 或 之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个
等式组成方程组，通过解方程组求出 。
【例 9】若函数 f (x) 满足 f (2x 1) 6x 5 ,则 f (x) 的解析式为( )
A. f (x) 6x 5 B. f (x) 2x 1 C. f (x) 3x 2 D. f (x) 3x 4
【例 10】已知函数 f x 1 x 2 2x 3 ，则 f x （ ）
A. x2 4x B. x2 4 C. x2 4x 6 D. x2 4x 1
4、求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，
则复合函数 f[g(x)]的定义域可由不等式 a≤g(x)≤b 求出；
(2)若已知函数 f[g(x)]的定义域为[a，b]，
则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a，b]上的值域．
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二、函数的单调性与最值
1.函数的单调性
（1）增函数、减函数
增函数：当 x1数 f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数
减函数：当 x1f(x2)，那么就称函数 f(x)在区间 D上单调递减，特别地，当函
数 f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
（2）单调区间的定义
如果函数 = 在区间 上单调递增或单调递减，那么就说函数 = 在这一区间
具有（严格的）单调性，区间 叫做函数 = 的单调区间 1。
2.函数的最值
前提 设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足
条件 ∈ ，都有 ≤ ； ∈ ，都有 ≥ ；
0 ∈ ，使得 0 = 0 ∈ ，使得 0 =
结论 为最大值 为最小值
3．单调性的判断
(1)当 f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数；
(2)若 k>0，则 kf(x)与 f(x)单调性相同；若 k<0，则 kf(x)与 f(x)单调性相反；
(3)函数 y＝f(x)(f(x)>0) 1在公共定义域内与 y＝－f(x)，y＝ 的单调性相反；
f x
(4)复合函数 y＝f[g(x)]的单调性与 y＝f(u)和 u＝g(x)的单调性有关．
【例 11】下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
x
A. y x B. y sin x C. y x3 D. y 1 2
【例 12】下列函数中，在 0, 上单调递增，且值域为 0, 的是( )
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04 函数的概念与性质
A. y 2x B. y 1 C. y x D. y log
x 2
x
三、函数的奇偶性与周期性
1.函数的奇偶性
奇偶性 条件 图象特点
偶函数 对于函数 的定义域 内任意一个 ，都关于 轴对称
有 ∈ ,且 =
奇函数 对于函数 的定义域 内任意一个 ,都关于原点对称
有 ∈ ,且 =
2.周期性
（1）周期函数：对于函数 = ,如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的任何
值时，都有 + = ，那么就称函数 = 为周期函数，称 为这个函数的周
期。
（2）最小正周期：如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，
那么这个最小正数就叫做 的最小正周期。
3.函数性质的拓展结论
Ⅰ.周期性
(1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a>0)；
1
(2)若 f(x＋a)＝ ，则 T＝2a(a>0)；
f x
1
(3)若 f(x＋a)＝－ ，则 T＝2a(a>0)．
f x
Ⅱ.对称性
(1)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a对称；
(2)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称；
(3)若对于 R上的任意 x都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a＋x)
或 f(a＋x)＝f(a－x)，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a对称．
（4）若 + = 恒成立，则 = 的图象关于直线 = + 对称
2
（5）若 + + = ，则 = + 的图象关于点 , 对称。特别地，若 +
2 2
+ = 0 = 2 ，则 = 的图象关于点 , 0 对称。
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04 函数的概念与性质
【例 13】设函数 f (x) 的定义域为 R，满足 f (x 1) 2 f (x)，且当 x (0,1]时， f (x) x(x 1) .
若对任意 x ( ,m]，都有 f (x) 8 ，则 m 的取值范围是( )
9
A. 9 7 ,
B.
,
C. ,
5 D. 8 ,
4 3 2 3
【 例 14 】 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f x 满 足 f 1 2 ， f 1 x f 1 x ， 则
f 2022 f 2023 ( )
A.4 B.0 C.-2 D.-4
【例 15】已知定义在R 上的奇函数 f x 满足 f x 2 f x 0 ,且当 x 0,1 时, f x log2 x 1 ,则下
列结论正确的是()
① f x 16 1的图象关于直线 x 1对称；② f x 是周期函数,且 2 是其一个周期；③ f f ；
3 2
④关于 x的方程 f x t 0 ( 0 t 1)在区间 2,7 上的所有实根之和是 12.
A.①④ B.①②④ C.③④ D.①②③
【例 16】已知函数 y f (x 1) ln x e的图象关于直线 x 1对称，且当 x (0, ) 时， f (x) .若 a f
，x 2
b f (2) 2， c f ，则 a,b,c的大小关系是( )
3
A． b a c B． a b c C． a c b D． c b a
【 例 17 】 已 知 函 数 f x 满 足 f (1 x) f (1 x) ， 当 ,1 时 ， 函 数 f x 单 调 递 减 ， 设
a f log 1 4 2
,b f (log1 3),c f (log3 9) ，则 a,b,c的大小关系是( )
3
A． a b c B． c a b C． a c b D． c b a
【例 18】 已 知 函 数 y f (x 1) 2 是 奇 函 数 , g(x) 2x 1 , 且 f (x) 与 g(x) 的 图 像 的 交 点 为
x 1
(x , y ) ,1 1 (x2 , y ) , ,2 (x , y ) ,则 x ( )6 6 1 x2 x6 y1 y2 y6
A.0 B.6 C.12 D.18
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04 函数的概念与性质
四、函数的图像、函数与方程
1.函数的零点
（1）函数零点的定义
对于函数 = ，我们把使 = 0 的实数 叫做函数 = 的零点。
（2）函数零点存在定理
如果函数 = 在区间[ , ] 上的图象是连续不断的一条曲线，且有 < 0 ，那
么，函数 = 在区间 , 内至少有一个零点，即存在 ∈ , ，使得 = 0 ，这个
也就是方程 = 0 的解。
【例 19】函数 f x ln x x2 的零点所在的大致区间是( )
A. 0,1 B. 1,2 C. 2,3 D. 3,4
【例 20】在下列区间中，函数 f x ex 4x 3的零点所在的区间为( )
1 1 1 1 1 3
A. ,0
B.
0,
4 4
C. , D. ,
4 2 2 4
2
【例 21】已知函数 f x ln x 1 mx 有两个零点 a，b，且存在唯一的整数 x (a,b)，则实
x 0
数 m 的取值范围是( )
A. 0, e B. ln 2e ,1 ln 3e e ln 2e 2 4
C. , D. 0, 9 2 4
ex ln x,0 x 1,
【例 22】已知函数 f (x) 则方程 2[ f (x)]2 7 f (x) 6 0 在区间 (0,4)上的实根
2 f (x 1), x 1,
个数为( )
A.9 B.10 C.11 D.12
2.二分法
对于在区间[ , ] 上图象连续不断且 < 0 的函数 = ，通过不断地把它的零
点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做
二分法。
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04 函数的概念与性质
3.函数的图像变换
左加右减、上加下减
1
【例 23】函数 f x x cos x ( π x π 且 x 0 )的图象可能为( )
x
A. B.
C. D.
ex e x
【例 24】函数 f x 2 的图象大致为( )x
A. B.
C. D.
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04 函数的概念与性质
【巩固训练】
一、选择题
1、已知P x 0 x 4 ，Q y 0 y 2 下列对应不表示从 P 到 Q 的函数的是( )
f : x x xA. y B. f : x y
2 3
3x
C. f : x y D. f : x y x
2
2、已知函数 f (x) 由下表给出，则 f (11) ( )
x 0 x 5 5 x 10 10 x 15 15 x 20
f (x) 2 3 4 5
A.2 B.3 C.4 D.5
x2 1
3、函数 y 2 的值域是( )x 1
A.[ 1,1] B. ( 1,1) C.[ 1, ) D.[ 1,1)
4 f 1 、已知 x 1 2x 5 ,且 f a 6 ,则 a 等于( )
2
A. 7 B. 7 C. 4 D. 4
4 4 3 3
5、已知函数 f (2x 1) 3x 2 ，则 f (3)的值等于( )
A.11 B.2 C.5 D.-1
1
6、已知函数 f (x) 为奇函数,且当 x 0 时, f x x2 0 ,则 f 1 ( )
x
A. -2 B. 0 C. 1 D. 2
7、若函数 f (x) 的定义域为 R,且在 (0, ) 上是减函数,则下列不等式成立的是( )
A. f 3 3 f (a
2 a 1) B. f f (a
2 a 1)
4 4
C. f 3 f (a2 a 1) D. f
3
f (a
2 a 1)
4 4
(x a)2 , x 0,
8、设函数 f (x) 若 f (0) 是函数 f (x)2 的最小值，则实数 a 的取值范围是( )
x 2x 3 a, x 0,
A.[ 1,2] B. ( 1,2) C.[0,2) D. 0,2
9、下列说法正确的是( )
A.定义在 (a,b)上的函数 f (x) ，若存在 x1, x2 (a,b) ，且 x1 x2 ，满足 f x1 f x2 ，则 f (x) 在 (a,b)上单调
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04 函数的概念与性质
递增
B.定义在 (a,b)上的函数 f (x) ，若有无穷多对 x1, x2 (a,b) ，使得 x1 x2 时，有 f x1 f x2 ，则 f (x) 在 (a,b)
上单调递增
C.若 f (x) 在区间 I1上单调递增，在区间 I2 上也单调递增，那么 f (x) 在 I1 I2 上也一定单调递增
D.若 f (x) 在区间 I 上单调递增且 f x1 f x2 x1, x2 I ，则 x1 x2
10、若函数 f (x) 在区间 (a,b)上是增函数,在区间 (b,c) 上也是增函数,则函数 f (x) 在区间 (a,b) (b,c) 上( )
A.必是增函数 B.必是减函数
C.是增函数或减函数 D.无法确定单调性
f (x), f (x) p,
11、设函数 y f (x) 的定义域为 R；对于任一给定的正数 p，定义函数 f p (x) 则
p, f (x) p,
称 f p (x)为 f (x) 的“p界函数”.若函数 f (x) x
2 2x 1，则下列结论：① f2 (2) 2；② f2 (x)的
值域为[ 2, 2]，③ f2 x 在[ 1,1]上单调递减；④函数 y f2 (x 1) 为偶函数.其中正确的结论共
有( )
A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1个
12 2a 1、已知函数 f (x) ax (a 0)，若 f (m2 1) f (m2 m 3) ，则实数 m 的取值范围是（ ）
x
A. (2, ) B. ( ,2) C. ( 2, ) D. ( , 2)
13 3 、已知函数 f (x) 是 R 上的奇函数，且 f (x 3) f (x)，且当 x 0, 时， f (x) 2x 1，则 2
f ( 2021) f (2022) 的值是( )
A.1 B.-1 C.0 D.-3
14、奇函数 y f x x R 的图象必过点( )
A. a, f a B. a, f a C. a, f a a, f 1 D.
a
15、函数 f (x) x 2x 1 的值域为( )
A. 1 , B. 1
, C. (0, ) D. [1, ) 2 2
16、某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量 m（件）与售价 x（元/
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04 函数的概念与性质
件）之间的关系满足一次函数：m 162 3x .若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为( )
A.40 元/件 B.42 元/件 C.54 元/件 D.60 元/件
17、新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点
医院并开展检测工作的第 n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时 t n (单位：小时)大致服
t0
,n N0
从的关系为 t n n ( t0 、N0 为常数).已知第 16 天检测过程平均耗时为 16 小时，第 64 天和第 67
t0 ,n N
N 0 0
天检测过程平均耗时均为 8 小时，那么可得到第 49 天检测过程平均耗时大致为( )
A.16 小时 B.11 小时 C.9 小时 D.8 小时
18、某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的 2000 元降到 1280 元，则这种手机平
均每次降价的百分率是( )
A.10% B.15% C.18% D.20%
19、某宾馆共有客床 100 张,各床每晚收费 10 元时可全部住满,若每晚收费每提高 2 元,便减少 10 张客床租
出,则总收入 y y 0 元与每床每晚收费应提高 x (假设 x是 2 的正整数倍)元的关系式为( )
A. y 10 x 100 5x B. y 10 x 100 5x , x N
C. y 10 x 100 5x , x 2,4,6,8, ,18 D. y 10 x 100 5x , x 2,4,6,8
20、一辆汽车在某段路程中的行驶速度 v与时间 t的关系图像如图,则 t 2 时,汽车已行驶的路程为
( )
A. 100km B. 125km C. 150km D. 225km
21、由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含
量阀值与检验标准（GB / T19522 2010）》于 年 月 日正式实施.车辆驾驶人员酒饮后或者
醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精
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04 函数的概念与性质
在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，车辆驾车人员血液酒精含量阀值喝 瓶啤酒的情况
π
40sin( x) 13,0 x 2
且图表示的函数模型 f (x) 3 ，则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可
90 e 0.5x 14, x 2
以驾车（时间以整小时计算）？（参考数据： ln15 2.71， ln 30 3.40）（ ）
驾驶行为类型 阀值 (mg / 100mL)
饮酒后驾车 20, 80
醉酒后驾车 80
A. B. C. D.
22、某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产总值
的年平均增长率为( )
(1 p)(1 q) 1
A. p q B. C. pq D. (1 p)(1 q) 1
2 2
23、某数学小组进行社会实践调查，了解到鑫鑫桶装水经营部在为如何定价而发愁.通过进一步调研了解到
如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元，每桶水的进价是 5 元，销售单价与日均
销售量的关系如下表：
销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
根据以上信息，你认为定价为多少时才能获得最大利润？( )
A.每桶 8.5 元 B.每桶 9.5 元 C.每桶 10.5 元 D.每桶 11.5 元
24、某家庭利用十一长假外出自驾游，为保证行车顺利，每次加油都把油箱加满，下表记录了该家庭用车
相邻两次加油时的情况.
加油时的累计里程（千
加油时间 加油量（升）
米）
2020年 10月 1 日 12 32000
2020年 10月 6 日 48 32600
（注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程）
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04 函数的概念与性质
在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为( )
A.6 升 B.8 升 C.10 升 D.12 升
25、某种新药服用 x小时后血液中的残留量为 y 毫克，如图所示为函数 y f (x) 的图像，当血液中药物残留
量不小于 240 毫克时，治疗有效.设某人上午 8：00 第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应
为当日( )
A.上午 10：00 B.中午 12：00 C.下午 4：00 D.下午 6：00
二、多项选择题
1、下列函数中，满足 f (2x) 2 f (x) 的是( )
A. f (x) x | x | B. f (x) x 1 C. f (x) x D. f (x) x2
2、已知函数 f x 定义域为 R，且 f x f x ， f 2 x f x ， f 1 1，则( )
A. f x 的图象关于直线 x 2对称
B. f 6 0
C. f x 的图象关于点 2,0 中心对称
D. f 2x 1 为偶函数
3、已知函数 f x ，g x 的定义域都为 R，且 f x 是奇函数，g x 是偶函数，则下列结论正
确的是( )
A. f x g x 是奇函数 B. f x g x 是奇函数
C. f g x 是偶函数 D. g f x 是奇函数
4、一般地，若函数 f (x) 的定义域为 [a,b]，值域为 [ka,kb]，则称[a,b]为 f (x) 的“k 倍跟随区间”.特别地，
若函数 f (x) 的定义域为 [a,b]，值域也为 [a,b]，则称 [a,b]为 f (x) 的“跟随区间”.下列结论正确的是( )
A.若[1,b]为 f (x) x2 2x 2的跟随区间，则b 3
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04 函数的概念与性质
B.函数 f (x) 2 3 不存在跟随区间
x
C.若函数 f (x) m x 1 1 存在跟随区间，则m ,0
4
D. 1二次函数 f (x) x2 x存在“3 倍跟随区间”
2
5、已知函数 f (x) 1 1 的定义域为 R，对任意实数 x，y满足：f (x y) f (x) f (y) ，且 f
2
0，
2
1
当 x 时， f (x) 0 .给出以下结论，正确的是( )
2
A. f (0) 1 B. f ( 1) 3 C. f (x)为 R 上的减函数
2 2
D. f (x) 1 为奇函数 E. f (x) 1为偶函数
2
6、定义 [x]为不大于 x 的最大整数，对于函数 f (x) x [x]有以下四个结论，其中正确的是( )
A. f (2019.67) 0.67
B.在每一个区间 [k,k 1)(k Z) 上，函数 f (x) 都是增函数
C. f 1 1
f
5 5
D. y f (x) 的定义域是 R，值域是 [0,1)
7、几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润 p(x)（单位：
万元）与每月投入的研发经费 x（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于 16 万元，
且 p(x) 1 x2 6x 20 p(x) ，利润率 y .现在已投入研发经费 9 万元，则下列判断正确的是
5 x
( )
A.此时获得最大利润率
B.再投入 6万元研发经费才能获得最大利润
C.再投入 1 万元研发经费可获得最大利润率
D.再投入 1 万元研发经费才能获得最大利润
8、汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度
下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是( )
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04 函数的概念与性质
A.消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少
C.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 8 升汽油 D.某城市机动车最高限
速 80 千米/小时，相同条件下在该市用丙车比用乙车省油
9、甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离
都是 2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程 y(km)与时间 x(min)的关系，下
列结论正确的是( )
A.甲同学从家出发到乙同学家走了 60min
B.甲从家到公园的时间是 30min
C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
1
D.当0 x 30时，y 与 x的关系式为 y x
15
10、某工厂 8 年来的产品年产量 y 与时间 t（单位：年）的函数关系如图所示，则下面四个结论中正确的是
( )
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04 函数的概念与性质
A.前 3 年的年产量增长速度越来越快 B.前 3 年的年产量增长速度越来越慢 C.3 年后，这种产品停止
生产 D.3 年后，这种产品年产量保持不变
11、某市出租车收费标准如下：起步价为 8 元，起步里程为 3 千米（不超过 3 千米按起步价付费）；超过 3
千米但不超过 8 千米时，超过部分按每千米 2.15 元收费；超过 8 千米时，超过部分按每千米 2.85 元收费.
另外每次乘坐需付燃油附加费 1 元.下列结论正确的是( )
A.出租车行驶 2 千米，乘客需付费 8 元
B.出租车行驶 4 千米，乘客需付费 9.6 元
C.出租车行驶 10 千米，乘客需付费 25.45 元
D.某人两次乘出租车均行驶 5 千米的费用之和超过他一次乘出租车行驶 10 千米的费用
三、填空题
1、若函数 f (x) x2 2ax b(a 1) 的定义域和值域都是 [1,a]，则 a ________, b _______.
2、已知函数 f (x) x2 16 的定义域为集合 A,函数 g(x) x2 2x a, x 0,4 的值域为集合 B,若 A B R ,
则实数 a 的取值范围为__________.
3、已知定义在 R 上的函数 f (x) 恒满足 f (1 x) f (1 x) ,且 f (x) 在 1, 上为单调减函数 ,则当
x _________时, f (x) 取得最大值;若不等式 f (0) f (m)成立,则 m 的取值范围是_________.
1
4、已知 f (x 1) x2 1 ,则 f (x) _________, y 的单调递增区间为__________.
f (x)
5、对于任意的实数 x1, x2 ,min x1, x2 表示 x1, x2 中较小的那个数,若 f (x) 2 x2 , g(x) x ,则min{ f (x), g(x)}的
最大值为__________.
6、奇函数 f (x) 的定义域为 ( 1,1)， f (x) 在第一象限的图象是圆心在原点，半径为 1 的圆弧，如图所示，则
不等式 f (x) x的解集为____________.
7、某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离 y(km) 与刹车时的速度 x(km / h)的关系可以用 y ax2 来描述,已
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04 函数的概念与性质
知这种型号的汽车在速度为 60km / h 时,紧急刹车后滑行的距离为b(km) .一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑
行的距离为 3b(km) ,则这辆车的行驶速度为__________ km / h .
8、发展农村电商是“乡村振兴计划”的重要组成，某农村电商结合自己出售的商品，要购买 3000 个高为 2
分米，体积为 18 立方分米的长方体纸质包装盒.经过市场调研.此类包装盒按面积计价，每平方分米的价格 y
（单位：元）与订购数量 x（单位：个）之间有如下关系：
0.011,1000 x 2000,
y 0.01,2000 x 4000,
0.009, x 4000,
则该电商购入 3000 个包装盒至少需要__________元.（说明：商家规定每个纸盒计费面积为六个面的面积之
和）
9、把长为 12cm 的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是
__________.
10、2018 年某企业计划引进新能源汽车生产设备,经过市场分析,全年投入固定成本 2 500 万元,每生产尤百
10x2 100x,0 x 40,
辆,需另投入成本C(x) 万元,且C(x) 10000 .由市场调研知,每辆车的售价为 5 万元,且
501x 4500, x 40, x
全年内生产的车辆当年能全部销售完 ,则 2018 年的利润 (万元 )关于年产量 (百辆 )的函数关系式为
_______;2018 年产量为__________百辆时,企业所获利润最大.(利润=销售额-成本)
11、某商店销售某种商品,当销售量 x不超过30件时,单价为a元,超过30件时超出部分按原价的90%计算,
则销售总价 y与销售量 x之间的函数关系式是__________.
12、某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元出售,每天可销售 100 件,现在他采用提高售价,减少进
货量的办法增加利润.已知这种商品每件销售价提高 1 元,销售量就要减少 10 件,为保证每天所赚的利润在
300 元以上,则他要将销售价每件定为_________元到_________元之间.
四、解答题
1 ax b、函数 f (x) 2 是定义在 ( 2,2) 上的奇函数,且 f (1)
1
.
4 x 3
(1)求 f (x) 的解析式;
(2)判断并证明 f (x) 的单调性;
(3)解不等式 f (t 1) f (t) 0 .
2、已知 f x ax 1 （a 为常数）.
x 2
（1）若 a 1，证明 f x 在 2, 上为单调递增函数；
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04 函数的概念与性质
（2）当 x 1,2 ， f x 3 的值域为 ,3 ，求 a 的值.
4
3、根据下图说出函数的单调区间及在每一单调区间上的单调性.
4、已知函数 f (x) x2 mx 2 .
(1)若 f (x) 在区间 ,1 上有最小值为-1,求实数 m 的值;
(2) m 4 , x , x 1,m 1 f (x ) f (x ) m
2
若 时 对任意的 1 2 ,总有 1 2 4 ,求实数 m 的取值范围. 2 4
5 ax b 1 2、已知函数 f (x) 2 是定义在 1,1 上的奇函数，且 f .1 x 2 5
（1）确定函数 f (x) 的解析式；
（2）用定义证明 f (x) 在 1,1 上是增函数；
（3）解不等式: f t 1 f t 0 .
6、已知函数 f (x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0时， f ( x ) x 2 2 x
(1)现已画出函数 f (x)在 y 轴左侧的图象，如图所示，请补充函数 f (x)的图象；
(2)求当 x 0时，函数 f (x)的解析式；
(3)若方程 f (x) a 恰有 3 个不同的实数解，求实数 a 的取值范围.
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04 函数的概念与性质
7、已知函数 f (x) 9 x a a, x [1,6],a R .
x
(1)若 a 1，试判断函数 f (x) 的单调性，并给予证明;
(2)当 a (1,6) 时，求函数 f (x) 的最大值M (a) .
8 、 函 数 f x 的 定 义 域 为 D x x R且x 0 , 且 满 足 对 于 任 意 的 x1, x2 D , 有
f x1 x2 f x1 f x2 .
(1)求 f 1 及 f 1 的值；
(2)判断 f x 的奇偶性并证明.
9、为减少人员聚集，某地上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式上班 分析显示，当 S 中有
x%(0 x 100) 的 成 员 自 驾 时 ， 自 驾 群 体 的 人 均 上 班 路 上 时 间 为 ：
30,0 x 30
f (x) 1800 ，（单位：分钟）.
2x 90,30 x 100 x
而公交群体中的人均上班路上时间不受 x 的影响，恒为 40 分钟，试根据上述分析结果回家下列问题：
（1）当 x 取何值时，自驾群体的人均上班路上时间等于公交群体的人均上班路上时间？
（ 2 ） 已 知 上 班 族 S 的 人 均 上 班 时 间 计 算 公 式 为 ：
g(x) f (x) x% 50(100 x)% ，讨论 g(x) 的单调性，并说明实际意
义.
（注：人均上班路上时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.）
10 1、某企业拟投资 A,B两个项目，预计投资 A 项目 m 万元可获得利润 P (m 20)2 105 万元；投资 B
80
项目 n 79万元可获得利润Q (40 n)2 59 (40 n) 万元.若该企业用 40 万元来投资这两个项目，则分别投
80 2
资多少万元能获得最大利润？最大利润是多少？
11、用模型 f x ax b来描述某企业每季度的利润 f x (亿元)和生产成本投入 x(亿元)的关系.统计表明，
当每季度投入 1(亿元)时利润 y1 1 (亿元)，当每季度投入 2(亿元)时利润 y2 2 (亿元)，当每季度投入 3(亿
2 2 2
元)时利润 y3 2 (亿元).又定义：当 f x 使 f 1 y1 f 2 y2 f 3 y3 的数值最小时为最佳模
型.
(1)当 b 2 时，求相应的 a 值使 f x ax b成为最佳模型；
3
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04 函数的概念与性质
(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入 4(亿元)时利润 y4 (亿元)的值.
12、某个体经营者把开始六个月试销售 A,B 两种商品的月投资金额与 所获纯利润列成下表：
A 种商品的月
1 2 3 4 5 6
投资金额/万元
纯利润/万元 0. 65 1.39 1. 85 2 1. 84 1.40
B 种商品的月
1 2 3 4 5 6
投资金额/万元
纯利润/万元 0. 25 0. 49 0.76 1 1.26 1. 51
该经营者准备下个月投入 12 万元经营这两种商品， 但不知投入 A,B 种商品各多少资金才最合算.请你帮助
他制订一个资金投入方案,使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案预测该经营者下个月可获得的最
大纯利润（结果保留两位有效数字）.
13、某企业实行裁员增效，已知现有员工 a 人，每人每年可创纯利润 1 万元，据评估在生产条件不变的情
况下，每裁员一人，则留岗员工每人可多创收 0.01 万元，但每年需付给下岗工人 0.4 万元的生活费，并且
3
企业正常运行所需人数不得少于现有员工的 ，设该企业裁员 x人后纯收益为 y 万元.
4
（1）写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出 x 的取值范围；
（2）当140 a 280时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？（注：在保证能获得最大
经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁）
14、列车提速可以提高铁路运输量.列车运行时,前后两车必须要保持一个“安全间隔距离 d (千米)”,“安
d 1全间隔距离 (千米)”与列车的速度 v (千米/小时)的平方成正比(比例系数 k ).假设所有的列车
4000
长度 l v均为0.4 千米,最大速度均为 v0 (千米/小时).问:列车车速多大时,单位时间流量Q 最大 l d
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