高中数学人教A版（2019）必修第二册分层练习6.3平面向量基本定理及坐标运算B（含答案）

一、单选题
1．已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足，，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．2
2．如图，在正方形中，，E为的中点，点P是以为直径的圆弧上任一点．则的最大值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
3．在中，．P为边上的动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，是边的中点，若，，则
A． B． C． D．
5．已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，，，则向量与向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．下列说法错误的是（ ）
A．若，则存在唯一实数使得
B．两个非零向量，，若，则与共线且反向
C．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
D．在中，，则为等腰三角形
8．若向量，，下列结论正确的是（ ）
A．若同向，则
B．与垂直的单位向量一定是
C．若在上的投影向量为（是与向量同向的单位向量），则
D．若与所成角为锐角，则n的取值范围是
三、填空题
9．在平面四边形中，，，，，，，若点M为边上的动点，则的最小值为________.
10．已知，，点P在延长线上，且，则的坐标为______．
11．在中，动点自点出发沿运动，到达点时停止，动点自点出发沿运动，到达点时停止，且动点的速度是动点的倍．若二者同时出发，且当其中一个点停止运动时．另一个点也停止运动，则该过程中的最大值是________________________．
12．如图所示，已知，点是点关于点的对称点，，和交于点，若，则实数的值为_______．
四、解答题
13．如图，在四边形中，，，，为等边三角形，是的中点.设，.
（1）用，表示，，
（2）求与夹角的余弦值.
14．如图所示，中，F为BC边上一点，，若，
(1)用向量、表示；
(2)，连接DF并延长，交AC于点，若，，求和的值．
15．平面直角坐标系中，已知向量，且．
（1）求与之间的关系式；
（2）若，求四边形的面积．
16．在中，，，与交于点M，设，
（1）用，表示；
（2）若在线段上取点E，在线段上取点F，使过M点，设，，求的最小值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据线性运算进行变换可求得，建立平面直角坐标系，利用坐标表示出，得到关于的一次函数，即可求得最值.
【详解】由题意知：，设，
∴
，∴，
以与交点为原点，为轴，为轴建立如下图所示的平面直角坐标系：
，，，设，且
则，，
当时，
故选：C.
2．D
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，将向量的数量积转化为向量的坐标运算，即，即可得到答案；
【详解】则，，
设，
，
，其中，
，
故选：D.
3．B
【分析】以为坐标原点建立合理直角坐标系，求出直线所在直线方程为，设，得到，利用二次函数的性质即可求出其值域.
【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立直角坐标系，
则，直线所在直线方程为，
设，，则，，
，
当时，，当时，，
故其取值范围为，
故选：B.
4．C
【详解】分析：利用向量的加分和减法运算可得
进而得出答案．
详解：
故选C．
点睛：考查了向量的加法和减法运算．用不共线的两向量表示平面内任意向量是重点内容，应熟练掌握．
5．D
【分析】过作，根据平面向量基本定理求得，即可求得与的面积之比.
【详解】点是所在平面上一点，过作，如下图所示：
由，
故，
所以与的面积之比为，
故选：D．
6．D
【分析】先利用平面向量的夹角公式求出夹角余弦值，再利用诱导公式结合角的范围进行求解..
【详解】设向量与向量的夹角为，
由题意，得，，，
所以，
因为，，
所以，
即向量与向量的夹角为.
故选：D.
7．AC
【分析】若可判断A；将已知条件两边平方再进行数量积运算可判断B；求出的坐标，根据且与不共线求出的取值范围可判断C；取的中点，根据向量的线性运算可得可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：若满足，则实数不唯一，故选项A错误；
对于B：两个非零向量，，若，则，
所以，可得，，因为，所以，所以与共线且反向，故选项B正确；
对于C：已知，，所以，若与的夹角为锐角，则，解得：，当时，，此时与的夹角为，不符合题意，所以，所以的取值范围是，故选项C不正确；
对于D：在中，取的中点，由，得，故垂直平分，所以为等腰三角形，故选项D正确．
故选：AC．
8．AC
【分析】A．先根据共线确定出的可取值，然后根据同向确定出的值；
B．分析的相反向量与的位置关系并进行判断；
C．根据求解出的值；
D．根据且不同向即可求解出的取值范围.
【详解】A．设，所以，所以，即，所以满足，故正确；
B．因为，所以也是与垂直的单位向量，故错误；
C．因为在上的投影向量为，所以，所以，所以，故正确；
D．因为与所成角为锐角，所以且不同向，
所以，所以，故错误；
故选：AC.
【点睛】思路点睛：已知向量的夹角为锐角或者钝角，求解参数范围的步骤：
（1）根据两个向量的夹角为锐角或钝角，得到或，求解出的范围；
（2）特殊分析：当两个向量共线时，计算出参数的取值；
（3）排除两个向量共线时参数的取值，确定出参数的取值范围.
9．
【分析】根据题目条件，建立适当的直角坐标系，并结合已知条件得到相关点的坐标，设出线段CD上的动点的坐标，求得的坐标关于t的表达式，得到关于t的表达式，利用二次函数的性质求得最小值.
【详解】如图所示，建立直角坐标系.
由得,由得,
又∵，，∴∠=90°，且2,∠30°.
∴,
作CF⊥AD于F,∵，∴∠DCF=30°，
由,∴，∴,
∵在线段上，故可设,（）
∴,
∴,
当时取得最小值,
故答案为：.
【点睛】本题考查平面向量的数量及的最值问题，关键是建立坐标系，并利用已知条件得到相关点的坐标，要熟练掌握线段上的点的坐标的设法.
10．
【分析】由向量的减法法则及向量的坐标运算即得.
【详解】∵点P在延长线上，且，
∴，
∴即，又，，
∴.
故答案为：.
11．
【分析】先求出且建立平面直角坐标系，如图所示．设点，求出，即得解.
【详解】因为，
所以且
建立平面直角坐标系，如图所示．
设点，则，
从而可得，
所以．
因为在上单调递增，
所以当时，取得最大值，且最大值为．
故答案为：72
12．
【分析】设，可得，，又因为，即可求解．
【详解】如图所示：
设，由于，所以，
由于点是点关于点的对称点，则为中点，
所以，得
所以
由于 ，又因为
得 ．
故答案为：
【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
13．（1），；（2）.
【解析】（1）利用向量的线性运算即平面向量基本定理确定，与，的关系；
（2）解法一：利用向量数量积运算公式求得向量夹角余弦值；解法二：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示确定向量夹角余弦值.
【详解】解法一：
（1）由图可知.
因为E是CD的中点，所以.
（2）因为，为等边三角形，所以，，
所以，
所以，
.
设与的夹角为，则，
所以在与夹角的余弦值为.
解法二：（1）同解法一.
（2）以A为原点，AD所在直线为x轴，过A且与AD垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，
则，，，.
因为E是CD的中点，所以，
所以，，
所以，
.
设与的夹角为，则，
所以与夹角的余弦值为.
【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
14．(1)
(2)，
【分析】（1）由得，进而得答案；
（2）由题知，，进而得，再结合（1）得以，解得，．
【详解】（1）解：因为，
所以，即，
所以
（2）解：若，，则，
所以
由于，
所以，，解得，．
所以，．
15．（1）；（2）16.
【解析】（1）由题知，再根据即可得；
（2）由题知，，进而根据得，结合（1）联立方程得或，再结合分类讨论即可得答案.
【详解】解：（1）由题意得，
因为，，
所以，即，
所以与之间的关系式为： ①
（2）由题意得，，
因为，
所以，即，②
由①②得或
当时，，，
则
当时，，，
则
所以，四边形的面积为16.
【点睛】本题解题的关键在于由得，故只需解决即可求解，考查向量的坐标运算，是中档题.
16．（1）；（2）.
【分析】设，根据题意可得，，再根据M，B，C三点共线，M，D，A三点共线，列出方程组，从而可得答案；
（2）由，可得，，则，再根据M，E，F三点共线，得，再结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：（1）设，
因为，，所以，，
因为M，B，C三点共线，M，D，A三点共线，所以，解得，所以，
（2）由，可得，，
因为，所以，
因为M，E，F三点共线，所以，
根据基本不等式可，即，当且仅当，时，取得等号，
所以的最小值为.
答案第1页，共2页
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