高中数学人教A版（2019）必修第二册分层练习6.2平面向量的运算B（含答案）

一、单选题
1．已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，是三角形的外心，过点作于点，，则=（ ）
A．16 B．8 C．24 D．32
3．若向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．已知是边长为2的等边三角形，为圆的直径，若点为圆上一动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．在平行四边形中，，若，则=（ ）
A． B． C． D．3
6．在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为，垂心为，重心为，且，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，则下述结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．正八边形是生活中常见的对称图形，如图1中的正八边形窗花．在图2的正八边形中，，则的值为___________．
10．已知平面向量，，满足：，，且，则向量在向量方向上的投影的取值范围为___________.
11．设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为______．
12．已知、、表示共面的三个单位向量，，那么的取值范围是__________．
四、解答题
13．如图，在平面内将两块直角三角板接在一起，已知，记.
（1）试用表示向量;
（2）若，求.
14．在等腰三角形ABC中，，，D为BC的中点．
(1)求在上的投影向量；
(2)求在上的投影向量．
15．已知，
(1)求的值；
(2)求与的夹角.
16．如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，.
(1)用向量与表示向量，；
(2)若，求证：三点共线.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】两边平方后可得，再由夹角公式求解即可.
【详解】∵，平方得，
∵，，∴，
设，的夹角为，其中，可得，
所以.
故选：C.
2．D
【分析】根据向量的线性运算及外心的性质，即可求出数量积的值.
【详解】如图，
,
因为,
所以，
又因为是三角形的外心，
所以,
所以.
故选：D
【点睛】关键点点睛：利用三角形外心的性质，可知在向量上的投影为，是解题的关键，属于中档题.
3．A
【分析】根据投影向量的求法求解即可
【详解】因为，，
所以在上的投影为，
又与同向的单位向量为
则在上的投影向量为，
故选：A
4．B
【分析】由题意得，然后利用数量积的运算律和计算公式计算即可.
【详解】如图所示
由图像可知，与夹角的范围为，
所以,
所以.
故选：B.
5．B
【解析】由题意分析可知，四边形为菱形且，然后求解.
【详解】，则平分，则四边形为菱形.
且，由，则,
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题考查向量的综合运用，解题的关键是要注意为上的单位向量，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于基础题.
6．B
【分析】根据平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和等腰梯形的性质进行求解即可.
【详解】因为在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，
所以可得：．
故选：B.
7．ACD
【分析】设是中点，由为垂心，得，判断A，利用，，计算数量积判断B，同时可判断C，由重心性质得，然后由向量的线性运算判断D．
【详解】为垂心，，所以，A正确；
设是中点，则共线，，
，B错误；
由B的推导过程得，C正确；
由得，所以，
所以，即，D正确
故选：ACD．
8．CD
【分析】根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解.
【详解】由D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，
因为，故A错误；
由, 故B错误；
因为, 故C正确；
因为
, 故D正确.
故选：CD
9．##
【分析】根据正八边形的几何性质，利用向量的线性运算的几何表示，向量的数量积的定义及运算律即得.
【详解】由正八边形的几何性质可知，，，
∴，
所以.
故答案为：.
10．
【分析】先求解向量，的夹角，再数形结合解决问题
【详解】平面向量，，满足：，，设向量，的夹角为，则，所以，因为，所以
如图，将，，的起点重合，可知与的夹角为，又因为，，所以向量在向量方向上的投影的最小值为0，最大值为2，所以向量在向量方向上的投影的取值范围为
故答案为：
11．
【分析】利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值．
【详解】，解得：，
，
设，
，
当时，，∴的最小值是．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解题关键是合理转化，应用函数求最值．本题的特点是注重基础，本题考查了利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查转化与化归思想，考查数学运算、数学建模等学科素养．
12．
【分析】计算出的值，利用平面向量的数量积的运算性质结合余弦函数的有界性可求得的取值范围.
【详解】已知、、表示共面的三个单位向量，，则，
，
所以，，
而，因此，.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
13．（1），；（2）.
【分析】（1）由题易知，再结合即可得，进而即可得答案；
（2）由题知，，进而根据向量数量积运算求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
由题意可知， ，
所以，则，
（2）因为，所以， ，
所以
14．(1)（或）
(2)
【分析】（1）先求出在上的投影，然后乘以与同向的单位向量即得；
（2）先求出在上的投影，然后乘以与同向的单位向量即得．
(1)
如图，，，D为BC的中点．则，，，
所以，
，
在上的投影为，
在上的投影向量为；
(2)
在上的投影为，
在上的投影向量为．
15．(1)
(2)
【分析】（1）先由化简求出，再由可求得结果，
（2）先求出，，然后利用向量的夹角公式求解即可
【详解】（1）因为，，
所以，，得，
所以
（2）因为，
，
所以，
因为，
所以，
即与的夹角为
16．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）由平面向量基本定理即可写出答案；
（2）由，即可写出，结合，可知，由此即可说明三点共线.
（1）
∵，，
∴，
；
（2）
证明：∵，
∴与平行，
又∵与有公共点，
∴三点共线.
答案第1页，共2页
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