高中数学人教A版（2019）必修第二册分层练习6.2平面向量的运算C（含答案）

一、单选题
1．已知平面向量，，，，若，，则（ ）
A．的最小值是 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的最大值是
2．已知平面向量满足 ，，其中为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量，恒有，则夹角的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，是平面内两个夹角为的单位向量，若，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
4．O是的外心，，，则（ ）
A． B． C． D．或
5．过内一点任作一条直线，再分别过顶点作的垂线，垂足分别为，若恒成立，则点是的
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
6．点在所在的平面内，，，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．点是平面上一定点，，，是平面上的三个顶点，，分别是边，的对角.以下几个命题正确的是（ ）
A．动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；
B．动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中；
C．动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中；
D．动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中.
8．点O在所在的平面内，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点O是的外心
B．若，则点O是的内心
C．若，则点O是的外心
D．若，则点O是的垂心
E．若，则点O是的内心
F．若，则点O是的垂心
三、填空题
9．已知平面向量（互不相等），与的夹角为，，，若，则__________．
10．已知为单位向量，平面向量，满足，则的最小值为________.
11．已知空间向量，，，，，且，，.则对任意的实数，，的最小值为______.
12．已知，两个互相垂直的单位向量，且，则对任意的实数t，的最小值是_______.
四、解答题
13．已知中，过重心G的直线交边于P，交边于Q，设的面积为，的面积为，，.
（1）求；
（2）求证：.
（3）求的取值范围.
14．已知是线段外一点，若，．
（1）设点是的重心，证明：；
（2）设点、是线段的三等分点，、及的重心依次为、、，试用向量、表示；
（3）如果在线段上有若干个等分点，请你写出一个正确的结论？(不必证明)
说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分．
15．已知：，且且，求证：.
16．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）设函数，试求的相伴特征向量；
（2）记向量的相伴函数为，求当且，的值；
（3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】令，可得，且，设 ，，，根据已知条件及三角函数的有界性即可求解.
【详解】令，则，故，且，
假设 ，，，
所以根据已知条件有，
所以，即，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值是，
故选：A.
2．B
【分析】根据给定的恒成立的不等式可得恒成立，即得恒成立即可推理计算作答.
【详解】因，则，
依题意，恒成立，而，为不共线的单位向量，即有，
于是得恒成立，则，
即有，又，解得，
所以夹角的最小值是.
故选：B
【点睛】关键点睛：涉及向量模的问题，把给定向量等式或不等式两边平方求解是解决问题的关键.
3．B
【分析】不妨用坐标表示向量，，然后作，，由共线定理得点位置，
而，括号内利用向量模的几何意义求最小值．
【详解】因为，是平面内两个夹角为的单位向量，所以不妨设，，
，作平行四边形即为菱形，过作的平行线交轴于，交的延长线于，
设，则点在直线上，的延长线交于，则，
是菱形对角线的交点，则，，
，，，
设，则是关于直线的对称点，
，则，即，又，
所以，
，当且仅当共线时等号成立，
所以 的最小值是，
的最小值是，
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题考查求向量模的最小值问题，解题关键是平面直角坐标系中作出向量，，然后由向量的线性运算得出各点位置，然后利用向量模的几何意义，结合对称求得最小值．
4．D
【分析】根据外心的性质，结合数量积运算求解，注意讨论是否在上.
【详解】当在上，则为的中点，满足，符合题意，
∴，则；
当不在上，取的中点，连接，则，
则，
同理可得：
∵，
，
联立可得，解得，
故选：D.
5．B
【分析】本题采用特殊位置法，将直线特殊为过三角形顶点，从而可得解.
【详解】本题采用特殊位置法较为简单.
因为过内一点任作一条直线，可将此直线特殊为过点A，则，有.
如图：
则有直线AM经过BC的中点，
同理可得直线BM经过AC的中点，直线CM经过AB的中点，
所以点是的重心，
故选B.
【点睛】本题主要考查了向量在三角形中的应用，采用了特殊位置法，属于难题.
6．D
【解析】确定点为外心，代入化简得到，，再根据计算得到答案.
【详解】由可知，点为外心，
则，，又，
所以①
因为，②
联立方程①②可得，，，因为，
所以，即．
故选：
【点睛】本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.
7．ABC
【分析】根据三角形的重心、内心、垂心、外心的相关性质及向量的几何意义对各选项逐一分析判断即得.
【详解】对于A，过点A作AD⊥BC于D，则有，
于是得时，，
而的BC边上中线向量为，即与BC边上中线向量为共线，
则的重心一定在满足条件的点集合中，A正确；
对于B，是两个单位向量的和，与的平分线所在向量共线，，
即与的平分线所在向量共线，则的内心一定在满足条件的点集合中，B正确；
对于C，，
，
即，则的垂心一定在满足条件的点集合中，C正确；
对于D，取边BC的中点E，连PE，，于是得P是的重心，D不正确.
故选：ABC
8．BCDEF
【分析】外心是三角形三边中垂线的交点，内心是三角形角平分线的交点，重心是三角形三边中线的交点，垂心是三角形三边高的交点.
【详解】对于A
设的中点为,则.
所以.
这就说明点共线,即点在边的中线上
同理,可以说明点在另外两边的中线上
所以为三角形的重心
故A错误
对于B
向量分别表示在边和上的单位向量, 设为和,
则它们的差是向是
则当 即时,点在的平分线上,
同理由 ,知点在的平分线上,
故为的内心
故B正确
对于C
由向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义可知表示以 、为邻边的平行四边形是菱形,
即 , 同理有,
所以为的外心
故C正确
对于D
由可得
所以，
即在边的垂线上
同理可证在边的垂线上
所以为三角形的垂心
故D正确
对于E
即
因为
所以
所以
故
因为与分别为和方向上的单位向量,
设, 则平分.
又、共线, 知平分.
同理可证平分, 平分,
所以O点是的内心.
故E正确
对于F
等价于
（设角，，的对边分别为,，）
（由三角形的高得到)
所以, 同理.
所以点是的垂心
故F正确
故选BCDEF
9．5
【分析】构图，设，根据题设条件可以判定三点共线，又，所以，则点，在以为直径的圆E上，运用数量积的几何意义即可求解
【详解】
如图，设，则，
由得，共线，即三点共线；
且，
即；
又，
得，
即点，在以为直径的圆E上．
所以，所以，从而，
不妨设，则，
过E作于H，所以，
所以，
，∴．
故答案为：．
10．
【分析】取单位向量，以点为圆心，1为半径作圆，在圆周上任取两点、，令，，由此表示单位向量，，计算的取值范围．
【详解】解：取单位向量，以点为圆心，1为半径作圆，在圆周上任取两点、，
令，，如图所示；设，则，；
作圆的垂直于的切线分别交直线于、两点，
易得，，；
所以，当且仅当时等号成立；
，
当且仅当时等号成立，即；
综上知，的取值范围是，．
故答案为：．
11．6
【分析】先用向量数量积运算，再用变量变换和不等式求最小值．
【详解】解：因为
令，，
所以，
所以，当，时等号成立．
所以的最小值为6．
故答案为：6．
12．
【分析】根据题意设，，，且，求出，进而利用二次函数求出的最小值即可.
【详解】因为，两个互相垂直的单位向量，不妨设，，，
因为，所以，，即，，
所以，
即，
设，因为时，，时，，
所以或，
则有，
所以当时，，
所以的最小值是，
故答案为：.
13．（1）；（2）证明见解析；（3）
【解析】（1）延长交于D，则D为BC中点，可得，，即可求出；
（2）设，可得，，可得，即可建立关系求得；
（3）可得，再根结合的范围求出.
【详解】（1）延长交于D，则D为BC中点，
,
G是重心，，
；
（2）设,
，，
，，
三点共线，
则存在，使得，即，
即，
，整理得，
即，即，即；
（3）由（2），，
，
，，可知，
，
，，
则当时，取得最小值，当时，取得最大值，
，则的取值范围为.
【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查基本定理和共线定理的应用，考查面积公式的应用，属于较难题.
14．（1）证明见解析；（2）；（3）答案见解析.
【分析】（1）利用平面向量基本定理以及数乘的定义进行转化，结合重心的性质即可证明；
（2）利用重心的性质以及平面向量基本定理，转化求解即可；
（3）利用等分点的性质结合（2）的推理过程，由向量的加法以及减法运算，写出结论即可.
【详解】（1）设的中点为，则；
（2）如图：点、是线段的三等分点，
，，，
则
；
（3）层次一：
设是的二等分点，则，，
设、、是线段的四等分点，则，
或设、、…、是线段的等分点，则（，2，…，），
层次二：
设、、…、是线段的等分点，，
层次三：
设、、…、是线段的等分点，则．
15．证明见解析
【分析】将，转化为向量，，利用向量的数量积以及，来得出.
【详解】构造向量，，由得：
，
易知上式中等号成立，
所以，从而.
16．（1）；（2）；（3）存在，点.
【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简函数得，根据题意可可得特征向量；（2）根据题意可得相伴函数，再根据条件可得，由最终得到结果；（3）根据三角函数图象变换规则求出的解析式，设，根据条件列出方程式求出满足条件的点P坐标即可.
【详解】解：（1）
的相伴特征向量.
（2）向量的相伴函数为，
，.
，，.
.
（3）由为的相伴特征向量知：
.
所以.
设，，
，，
又，.
，
，，
.
又，
当且仅当时，和同时等于，这时式成立.
在图像上存在点，使得.
【点睛】关键点点睛：熟练使用三角函数诱导公式、三角恒等变换是本题的关键.本题还考查了三角函数图象变换后的解析式以及向量垂直的数量积关系，属于中档题.
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