高中数学人教A版（2019）必修第二册分层练习6.4平面向量的应用A（含答案）

一、单选题
1．在中，，，，则此三角形（ ）
A．无解 B．有一解
C．有两解 D．解的个数不确定
2．是所在平面上一点，若，则是的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
3．在中，若，则的形状一定是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
4．魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
5．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝，则△ABM与△ABC的面积之比为（　　）
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶5
6．已知在ABC中，a=x，b=2，B=30°，若三角形有两解，则x的取值范围是（ ）
A．x>2 B．0二、多选题
7．三角形 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列条件能判断是钝角三角形的有（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4 B．
C． D．
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若满足要求的△ABC有且只有1个，则b的取值可以是（ ）
A．1 B． C．2 D．3
三、填空题
9．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，，则______．
10．在中，，点M为边AB的中点，点P在边BC上运动，则的最小值为___________.
11．在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围为________．
12．如图所示，在中，已知，为边上的一点，且满足，，则______
四、解答题
13．已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，，.
(1)求A；
(2)求的面积.
14．如图，某景区拟开辟一个平面示意图为五边形ABCDE的观光步行道，BE为电瓶车专用道，，，．
(1)求BE的长；
(2)若，求五边形ABCDE的周长．
15．在中，．
(1)求；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
16．某海域的东西方向上分别有，两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，B点北偏西，这时位于点南偏西且与相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时.
（1）求点到点的距离；
（2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】求出顶点到的距离，再由确定解的个数.
【详解】因为，
所以顶点到的距离，
因为，所以此三角形有两解.
故选：C
2．B
【分析】根据给定等式，利用数量积运算律结合向量减法计算得判断作答.
【详解】由得：，即，则有，
由，同理可得，因此，，
所以是的外心.
故选：B
3．B
【分析】先利用数量积运算化简得到，再利用余弦定理化简得解.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以，所以三角形是直角三角形.
故选：B
4．A
【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】如图所示：
由平面相似可知，，而 ，所以
，而 ，
即＝ ．
故选：A.
【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．
5．B
【分析】由平面向量的加法结合已知可得M为AD的三等分点，然后由等高的三角形面积之比等于底边之比可得.
【详解】如图，D为BC边的中点，
则
因为－－＝
所以，
所以
所以.
故选：B
6．D
【分析】根据三角形有两个解，转化为以C为圆心，以2为半径的圆与BA有两个交点，再结合正弦定理求解.
【详解】如图所示：
因为AC=b=2，若三角形有两个解，
则以C为圆心，以2为半径的圆与BA有两个交点，
当时，圆与BA相切，不合题意；
当时，圆与BA交于B点，不合题意；
所以，且，
所以由正弦定理得：
，则，
解得，
故选：D
7．AC
【分析】根据余弦定理、正弦定理，结合平面向量数量积的定义逐一判断即可.
【详解】A：因为a＝2，b＝3，c＝4，所以角C最大，
由，
所以是钝角三角形，因此本选项正确；
B：由，不能判断是钝角三角形，所以本选项不正确；
C：根据正弦定理，由，
由余弦定理可知：，所以是钝角三角形，因此本选项正确；
D：根据正弦定理，由
，
所以是直角三角形，不符合题意，
故选：AC
8．ABC
【分析】根据余弦定理，根据三角形的性质进行求解判断即可.
【详解】由，及，
得.若满足要求的△ABC有且只有1个，则或，
即或，解得或.
故选：ABC
9．##
【分析】利用余弦定理，即可得到关于的方程组，解之即可.
【详解】∵，∴，
又，
由余弦定理可得：，
即，
∴，又，
∴，
故答案为：
10．
【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出，根据二次函数求最值即可.
【详解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系：,
直线方程为，即，点P在边BC上，所以设，
故，因此，
故答案为：
11．
【分析】根据锐角三角形的性质可以确定角的取值范围，结合正弦定理、正弦余弦的二倍角公式，两角和的正弦公式、余弦函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为是锐角三角形，所以，而，所以有，
因为，，所以，而，所以，
即，
由正弦定理可知：
，
因此，因为，所以，
所以，
故答案为：
【点睛】关键点睛：根据正弦的两角和公式、正弦余弦的二倍角公式，结合正弦定理得到的表达式是解题的关键.
12．
【分析】令，根据，结合，由，求得，再由，求得角D，然后在中，利用正弦定理求解.
【详解】令，因为，
所以，
所以，
，
，
在中，由正弦定理得，
解得.
故答案为：
13．(1)
(2)
【分析】(1)根据正弦定理可得，利用和两角和的正弦公式化简计算即可；
(2)根据平面数量积的定义可得，结合三角形面积公式计算即可.
(1)
由可得，
即，
即，
即，而，所以.
(2)
由可得，
由（1），则，
所以.
14．(1)；
(2).
【分析】（1）由题设易得，，再在直角△中应用勾股定理求BE的长；
（2）利用正弦定理求得且，结合差角正弦公式及同角平方关系求，即可求五边形ABCDE的周长．
【详解】（1）由，，可得：，，
而，故，
在直角△中，则.
（2）由（1）知：，则，
，
由且，则，
所以.
所以五边形ABCDE的周长.
15．(1)
(2)1
【分析】(1)利用正弦定理将已知条件边化角，化简即可.
(2) 若选择①②，可以确定的三个角，但无法确定边长，不符合题意；
若选②③，利用正弦定理求边长，根据角度关系求，即可求出面积；
若选①③，利用余弦定理求边长，再求出，即可求面积.
（1）
因为，
由正弦定理可得，
因为，所以，即，
因为，则；
（2）
若选择①②，由，可得，由于已知条件未给出任意一边的长度，满足条件的三角形有无数个，并不唯一确定，不符合题意.
若选择②③，由正弦定理，及，，得，所以，
因为，所以，，
，
所以．
若选择①③，由余弦定理得，及，
得，解得，
所以，所以．
16．（1）海里；（2）小时
【分析】（1）根据已知条件求出，在中利用正弦定理即可求解；
（2）求出，在中由余弦定理求出，再根据速度即可得所需要的的时间.
【详解】（1）由题意知：，，，
所以，
在中，由正弦定理可得：即，
所以海里，
（2）在中，，，，
由余弦定理可得：
，
所以海里，
所以需要的时间为小时，
所以点到点的距离海里，救援船到达点需要的时间为小时.
答案第1页，共2页
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