高中数学人教A版（2019）必修第二册分层练习6.4平面向量的应用C（含答案）

一、单选题
1．在中，角的对边分别为，已知，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．过内一点任作一条直线，再分别过顶点作的垂线，垂足分别为，若恒成立，则点是的
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
3．锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（ ）
A．(） B．(）
C．[) D．[，1)
4．△三内角A，B，C所对边分别是a，b，c．若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．在△中，角、、所对的边分别为，，，△的面积为，则（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值1
二、多选题
7．已知点O为所在平面内一点，且则下列选项正确的有（ ）
A． B．直线过边的中点
C． D．若，则
8．在中，分别为的对边，（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为等腰三角形
C．若，则
D．若，则为钝角三角形
三、填空题
9．在中，斜边为，点在边上，若，，则__________.
10．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点．已知点为的费马点，且，若，则实数的最小值为_________．
11．在锐角中，角所对的边分别为为的面积，且，则的取值范围___________.
12．已知D是的边BC上一点，且，，，则的最大值为______．
四、解答题
13．已知函数.
（1）求的最小正周期及在区间上的最大值
（2）在锐角中，f（）=，且a=，求b+c取值范围.
14．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若为钝角三角形，______，求外接圆的半径R的取值范围．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．①；②．
15．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知在四边形ABCD中，，，且______.
(1)证明：；
(2)若，求四边形ABCD的面积.
16．在中，.
（1）当时，求的最大值；
（2）当时，求周长的最小值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】利用三角形边角关系，将转化为关于边的方程，解得边，进而由三角形的面积公式，直接求出面积即可.
【详解】
如图，过作,交的延长线于，因为，则,，，
所以
又因为
所以，即，解得：或（舍）
所以.
故选：B.
2．B
【分析】本题采用特殊位置法，将直线特殊为过三角形顶点，从而可得解.
【详解】本题采用特殊位置法较为简单.
因为过内一点任作一条直线，可将此直线特殊为过点A，则，有.
如图：
则有直线AM经过BC的中点，
同理可得直线BM经过AC的中点，直线CM经过AB的中点，
所以点是的重心，
故选B.
【点睛】本题主要考查了向量在三角形中的应用，采用了特殊位置法，属于难题.
3．C
【解析】先利用基本不等式求函数的最小值，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，再求函数值域的上限.
【详解】由题意得，（当且仅当时取等号），
由于三角形是锐角三角形，所以，所以，解得所以，，设，
因为函数在单调递减，在上单调递增，所以函数无限接近中的较大者，所以
所以的取值范围是，
故选：C．
【点睛】本题的难点在求函数的值域的上限，解答利用了函数的思想,以为自变量，先求自变量的取值范围，再利用余弦定理求得的解析式，最后换元求新函数的值域得解.
4．A
【分析】由已知及余弦定理、三角形内角性质可得，再应用正弦定理有，将目标式转化为且，利用正弦型函数性质求最大值即可.
【详解】由余弦定理，又，故，
由正弦定理知：，则，
所以，而，
则且，
又，当时的最大值为.
故选：A
【点睛】关键点点睛：应用正余弦的边角关系求得，再将目标式转化为三角函数形式，利用正弦函数性质求最值.
5．D
【分析】根据已知条件，利用余弦定理和面积公式，结合倍角公式求得,进而求得A的各个三角函数值，再利用正弦定理边化角求得关于C的函数表达式，根据锐角三角形的条件得到，利用三角函数的性质求得取值范围即可．
【详解】解：△ABC中，，
由，得，∴；
即，∵，∴，
∴，∴ ，
∴，
∵△ABC为锐角三角形，∴,∴，
∴，
∴,
∴，
故选：D．
6．C
【分析】A、B由三角形面积公式及余弦定理判断；C由A、B分析，结合辅助角公式、正弦函数性质即可确定目标式最大值；D根据C的分析，结合基本不等式可得，应用同角三角函数关系及三角形内角性质求得，根据A的结论即可求目标式最大值.
【详解】△的面积为，则， A错误；
由且，则，B错误；
由，则，
所以且，故的最大值为，C正确；
由C分析知：，当且仅当时取等号，则，
故，即，即，解得，又，
所以，而，故的最大值为， D错误.
故选：C．
7．ACD
【分析】根据向量间的线性关系及向量数量积的运算律化简求值判断A、D；若得到是△的重心，根据与不平行、相关三角形面积关系判断B、C.
【详解】，则，A正确；
若，则，
所以是△的重心，
直线过中点，而与不平行，
所以直线不过边的中点，B错误；
又，而，，
所以，C正确；
若，且，
所以，
而，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：注意向量之间的线性关系，结合向量数量积的运算律化简求值；根据重心的性质求三角形的面积关系.
8．ACD
【分析】A选项，利用正弦定理得到，证明出等腰三角形；B选项，利用正弦定理定理得到，从而或，即为等腰三角形或直角三角形；C选项，由正弦定理得到，求出；D选项，利用正切的和角公式得到，结合，得到，证明出为钝角三角形.
【详解】A选项，因为，所以，
由正弦定理得：，所以，故为等腰三角形，A正确；
B选项，因为，所以，
由正弦定理得：，即，
所以或，故或，
则为等腰三角形或直角三角形，B错误；
，由正弦定理得：，
又因为，所以，
因为，所以，所以，故，
因为，所以，C正确；
因为，
所以，即，
因为，所以，
结合，所以一负二正，所以为钝角三角形，
D正确.
故选：ACD
9．
【分析】由，结合同角关系求出，，结合三角形面积公式证明，，再根据余弦定理列关系式求即可.
【详解】因为，所以，又，
，所以，，
的面积，
的面积，所以，
因为，所以，故，
所以，故，所以
由余弦定理可得，又，
所以，
所以，
故答案为：.
10．
【分析】根据题意，不妨设，故，进而得，所以在和中，由正弦定理得，，故，在结合三角恒等变换化简整理求函数最值即可.
【详解】根据题意, 点为的费马点，的三个内角均小于,
所以，
设，
所以在和中，，且均为锐角，
所以
所以由正弦定理得：，，
所以，，
因为
所以
，
因为，所以，所以，
所以
故实数的最小值为.
故答案为：
【点睛】本题考查数学文化背景下的解三角形，三角恒等变换解决三角函数取值范围问题，考查运算求解能力，数学建模能力，化归转化思想，是难题.本题解题的关键在于根据题目背景，通过设，进而建立解三角形的模型，再根据正弦定理及三角恒等变换化简求最值即可.
11．
【分析】利用三角形面积公式与余弦定理,可得，再根据同角关系式可得， ，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得出，结合条件可得的取值范围，进而即得.
【详解】因为，且，
所以，即，
由余弦定理得：，
所以，又，
所以，
解得：或，
因为为锐角三角形，
所以，，
所以，
因为，
所以，
由正弦定理得：
，
因为为锐角三角形，
所以，即,
所以，
所以，
所以，
所以，，
故.
故答案为：.
12．##
【分析】设，，，则，，再在和中分别列出余弦定理，根据联立可得，再结合，得到，进而消去，结合基本不等式 求解最大值即可
【详解】
设，，，则，．
在中，；
在中，．
因为，所以，
所以，整理①．
因为，所以．
在中，，
即，结合①可得，所以，即，当且仅当时，等号成立．
故答案为：
13．（1）最小正周期为，最大值；（2）.
【分析】（1）先利用三角恒等变换对函数进行化简，进而通过三角函数的图像和性质的应用得到答案；
（2）利用正弦定理进行边化角，然后借助三角恒等变换进行化简，最后通过三角函数的图像和性质的应用求出结果.
【详解】（1），
所以的最小正周期为.
因为，所以
于是，当，即时，取得最大值
（2）在中，
，，，.
由正弦定理，，
，
，
，
.
14．(1)
(2)选①，；选②，．
【分析】（1）根据进行化简运算即可求角B的大小；
（2）选择不同的条件结合正弦定理或余弦定理分别求解即可.
【详解】（1）
因为，所以，，
所以，此时，解得．
（2）若选择条件①，
由正弦定理，，
而，
因为为钝角三角形，不妨设，则，，故，
外接圆的半径为．
若选择条件②，
因为为钝角三角形，由及知角A必为钝角，即，
由余弦定理得，代入（*）式得，故．
所以，得，
故，可得
由正弦定理得．
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）选择①，由正弦定理及角度关系推出及，结合两角和的正弦公式及诱导公式，进行证明；选择②，利用正弦定理推导出，直接利用两角和的正弦公式及诱导公式即可推出结论；选择③，由正弦定理，面积公式及面积的倍数关系得到，，使用两角和的正弦公式及诱导公式进行证明；（2）在证明出第一问的基础上，设出边长，利用余弦定理求出的长及角的正弦值，进而利用面积公式进行求解.
（1）
方案一：选条件①.
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以.
因为，
，
所以，
即，
所以，
所以.
方案二：选条件②.
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因为，所以，
因为，所以.
因为，所以.
因为，
，
，
所以，
即，
所以，
所以.
方案三：选条件③.
因为，，且，，
所以
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以.
因为，
，
所以，
即，
所以，
所以.
（2）
选择①②③，答案均相同，
由（1）可设，则，
在中，由余弦定理得，
，
在中，由余弦定理得，
，
因为，
所以，解得或（舍去），
所以，
所以，
所以四边形ABCD的面积.
16．（1）；（2）12.
【分析】（1）由题意，，，由余弦定理、基本不等式，即可求的最大值；
（2）当时，求出，利用余弦定理、基本不等式，即可求出周长的最小值.
【详解】解：（1）由题意，，，
由余弦定理可得，
，
，
的最大值为；
（2）， ，
又，
，
，
周长为
当且仅当时，周长的最小值为12.
【点睛】本题考查了余弦定理、基本不等式，考查三角形面积、周长的求解，考查学生分析解决问题的能力，属于较难题.
答案第1页，共2页
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