高中数学人教A版（2019）必修第二册分层练习6.2平面向量的运算A（含答案）

一、单选题
1．如图，中，，，点E是的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
2．在正方形中，（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．设均为单位向量，且，则（ ）
A． B． C． D．7
5．化简（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量满足，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知P是边长为2的正六边形内的一点，则的最小值与最大值分别是（ ）
A． B． C．4 D．6
8．如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆的圆心为正六边形的中心，，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的值可能为（ ）
A． B． C．3 D．
三、填空题
9．若单位向量满足，且，则实数k的值为___________.
10．已知向量，，，_______．
11．如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量．
(1)＋＝____________；
(2)＋＝____________；
(3)＋＝____________.
12．已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
四、解答题
13．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，.
(1)用表示；
(2)求证：B，E，F三点共线．
14．已知，且，，，求的值.
15．如图，直角三角形中，，，，D是AB的中点，M是CD上的动点.
(1)计算的值；
(2)求的最小值.
16．已知向量满足．
(1)求的值；
(2)求的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据向量的加法法则和减法法则进行运算即可.
【详解】
故选：B.
2．C
【分析】根据平面向量加减运算法则计算可得.
【详解】解：.
故选：C.
3．D
【解析】设与的夹角为，由可得出，利用平面向量数量积的运算性质与定义可求得的值，结合的取值范围可求得的值，即为所求.
【详解】因为，所以，即.
因为，，所以，
，所以.
故选：D.
4．A
【分析】由已知，利用向量数量积的运算律求得，又即可求.
【详解】由题设，，又均为单位向量，
∴，
∴，则.
故选：A
5．D
【分析】根据平面向量加减法的运算法则和运算律即可得到答案.
【详解】
故选：D.
6．C
【分析】先对平方，代入已知条件整理得，再利用数量积公式可求得.
【详解】，，
又，，，
设与的夹角为，
，
从而，所以与的夹角.
故选：C
7．AD
【分析】利用数量积的几何意义，再结合图形即可得到数量积的最值.
【详解】
根据数量积的几何意义，可以看作和在上的投影向量的模的乘积，
因为，所以当点在点处时数量积最小，最小为；
当点在点处时数量积最大，最大为.
故选：AD.
8．BC
【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质、圆的性质进行求解即可.
【详解】由题意：
因为正六边形的边长为2，所以圆心到各边的距离为：，
所以，所以，
故选：BC．
9．6
【分析】根据两向量垂直，可得到=0，展开化简即可求出值.
【详解】因为，所以，因为，所以，
即，又是单位向量，所以，即.
故答案为：
10．
【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得，
因此，.
故答案为：.
11．
【分析】利用向量的平行四边形法则和三角形法则，即可求解
【详解】(1)因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故
(2)因为，故与方向相同，
长度为长度的2倍，
故
(3)因为，故
故答案为：①；②；③
12．
【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.
【详解】由题意可得：，
由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
13．(1)，，，，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据平面向量的线性运算结合图像计算即可得解；
（2）利用平面向量共线定理证明，即可得证.
【详解】（1）解：在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，
则，
故，
，
，
；
（2）证明：因为，，
所以，
所以，
又因有公共点，
所以B，E，F三点共线．
14．.
【分析】依题意可得，再根据平面向量数量积的运算律可得，同理求出，，即可得解；
【详解】解：因为，所以，所以
可得：，故：.
同理可得，，
所以；
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的加法运算以及数量积的运算即可求解.
（2）根据向量加法，将，然后根据向量共线，转化为二次函数求最值即可.
（1）
由直角三角形中，，，,可知,
则
；
（2）
D是AB的中点,所以,故,且
由于三点共线,设,则
故,
当时,取最小值.
16．(1)
(2)
【分析】（1）由，即可求解；
（2）由，代入即可求解.
（1）
解：因为，
可得，解得.
（2）
解：因为，所以.
答案第1页，共2页
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