高中数学人教A版（2019）必修第二册分层练习6.1平面向量的概念A（含答案）

一、单选题
1．下列说法中正确的是（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．模相等的两个平行向量是相等向量
C．若和都是单位向量，则
D．零向量与其它向量都共线
2．已知，是不共线的非零向量，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．向量就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．若，则
D．共线向量是在一条直线上的向量
4．在中，已知，，是中线上一点，且，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题正确的是（ ）
A．若，都是单位向量，则
B．若向量，，则
C．与非零向量共线的单位向量是唯一的
D．已知为非零实数，若，则与共线
6．若M为△ABC的边AB上一点，且则=（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．下列说法错误的有（ ）
A．如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与或的方向相同
B．在中，必有
C．若，则，，一定为一个三角形的三个顶点
D．若，均为非零向量，则
8．有下列说法，其中错误的说法为（ ）．
A．若∥，∥，则∥
B．若，则是三角形的垂心
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向
D．若∥，则存在唯一实数使得
三、填空题
9．下列命题中正确的是______．
①空间向量与是共线向量，则，，，四点必在一条直线上；
②单位向量一定是相等向量；
③相反向量一定不相等；
④四点不共线，则为平行四边形的充要条件是，
⑤模为0的向量方向是不确定的．
10．如图，在中，点D E F分别是边BC CA AB的中点，在以A B C D E F为端点的向量中，与向量的模相等的向量的个数是___________.
11．有下列命题：
①单位向量一定相等；
②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同；
④方向相反的两个单位向量互为相反向量；
⑤起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆．
其中正确的命题的个数为______．
12．已知，，若与为共线向量，则实数k＝__________．
四、解答题
13．如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
（1）写出与共线的向量；
（2）写出与的模大小相等的向量；
（3）写出与相等的向量.
14．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后改变方向，向东行驶了100千米到达D点.作出向量.
15．下面给出了两个空间向量，作出.
16．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，以A，B，C，D，E，F，O七点中的任一点为起点，以与起点不同的另一点为终点的所有向量中，设与向量相等的向量个数为m，与向量的模相等的向量个数为n，求m，n．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】利用相等向量的定义可判断AC选项的正误；利用相等向量和相反向量的定义可判断B选项的正误；利用零向量与任意向量共线这一性质可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，因为向量是可以移动的，两个向量相等时，它们的起点和终点不一定重合，A选项错误；
对于B选项，模相等的两个平行向量，可以是相等向量，也可以是相反向量，B选项错误；
对于C选项，和都是单位向量，但它们的方向不一定相同，故和不一定相等，C选项错误；
对于D选项，零向量的方向是任意的，零向量与其它向量都共线，D选项正确.
故选：D.
2．A
【分析】利用向量共线基本定理，可得，即求解即可
【详解】由可知存在实数，使得，所以从而可得．
故选：A
3．C
【分析】根据共线向量的定义可判断A，D；由相等向量的定义可判断B，C；进而可得正确选项.
【详解】对于A：根据共线向量的定义可知向量就是所在的直线与所在的直线平行或重合，故选项A不正确；
对于B：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故选项B不正确；
对于C：若，则，故选项C正确；
对于D：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量，零向量与任意向量共线，故选项D不正确；
故选：C.
4．C
【解析】假设，根据，可得为重心，根据重心的坐标表示，可得结果.
【详解】由题意知：是的重心，设，
则有解得
故.
故选：C
【点睛】本题考查三角形的重心公式，属基础题.
5．D
【分析】根据向量的基本概念和共线定理，逐项判断，即可得到结果.
【详解】单位向量的方向不一定相同，故A错误；
当时，显然与不一定平行，故B错误；
非零向量共线的单位向量有，故C错误；
由共线定理可知，若存在非零实数，使得，则与共线，故D正确.
故选：D.
6．A
【解析】先用向量，表示向量，再转化为用，表示即可得答案.
【详解】解：根据题意做出图形，如图，
所以，
所以.
故选：A.
【点睛】关键点睛：解题关键在于利用向量的线性运算进行求解，属于基础题
7．ACD
【分析】直接利用向量的线性运算，向量的夹角运算，三角形法则，向量的模的应用判断、、、的结论．
【详解】解：对于：非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与或的方向相同或为零向量，故错误；
对于：在中，必有，故正确；
对于：若，则，，一定为一个三角形的三个顶点，
或、、三点共线时，也成立，故错误；
对于，均为非零向量，则，故错误；
故选：．
8．AD
【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可.
【详解】对于选项A，当时，与不一定共线，故A错误；
对于选项B，由，得，所以，，
同理，，故是三角形的垂心，所以B正确；
对于选项C，两个非零向量，，若，则与共线且反向，故C正确；
对于选项D，当，时，显然有∥，但此时不存在，故D错误.
故选：AD
【点睛】本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.
9．④⑤
【分析】根据共线向量的概念，以及单位向量、零向量的定义，以及充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】由共线向量即为平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量，在同一条直线上，所以①不正确．
由单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同，所以②不正确．
零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，所以③不正确，．
若，可得且，所以四边形为平行四边形，
当为平行四边形时，可得，所以④正确．
由模为0的向量为，其中的方向是不确定的，所以⑤正确．
故答案为：④⑤.
10．5
【分析】由向量的概念，结合几何图形写出与模相等的向量，即知个数.
【详解】由图知：与向量的模相等的向量有，
∴共有5个.
故答案为：5.
11．
【分析】由相等向量、相反向量的知识依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】对于①，两个单位向量方向不同时不相等，①错误；
对于②，方向相同且模长相等的向量为相等向量，与起点无关，②正确；
对于③，相等的非零向量方向相同且模长相等，若起点不同，则终点不同，③正确；
对于④，单位向量模长相等，又方向相反，则这两个向量为相反向量，④正确；
对于⑤，若两个向量起点相同，且模长相等且不为零，则终点的轨迹为球面，⑤错误；
则正确的命题个数为个.
故答案为：.
12．
【分析】由已知，分别表示出和的坐标形式，再根据两向量共线，列出等量关系即可完成求解.
【详解】因为，，所以，，
因为与为共线向量，所以，解得：.
故答案为：.
13．（1），，，，，，；（2），，，，；（3）与.
【分析】（1）利用共线向量的定义，结合中位线的性质，得到答案；（2）利用中位线的性质结合点是的中点，得到答案；（3）结合相等向量的定义，得到答案.
【详解】（1）因为E，F分别是AC，AB的中点，
所以.所以与共线的向量有：，，，，，，；
（2）由（1）知且，又D是BC的中点，故与模相等的向量有： ，，，，；
（3）与相等的向量有：与.
14．作图见解析
【解析】根据题意画出图形，根据大小和方向作出向量即可.
【详解】解：记千米，如图所示：
【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了根据题意画图问题，注意向量的大小和方向是解题的关键.
15．答案见解析
【分析】利用向量加法的平行四边形法则和向量的减法法则画图即可.
【详解】如图，空间中的两个向量相加时，
我们可以先把向量，
平移到同一个平面内，
以任意点O为起点作＝，＝，
则＝＋＝，
＝－＝.
【点睛】本题主要考查了向量的加减法则，画出图像，即可得出结果.属于较易题.
16．m=3，n=23.
【分析】根据平面向量的几何意义和相等向量、共线向量的概念即可得出结果.
【详解】与方向相同的向量仅有，
又，故；
与向量的模相等的向量有两类：
(1)以O为起点，以正六边形的顶点为终点或是
以正六边形顶点为起点，以O为终点的向量，有(个)；
(2)正六边形的六条边上的向量，有(个)
故.
答案第1页，共2页
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