高中数学人教A版（2019）必修第二册分层练习6.3平面向量基本定理及坐标运算C（含答案）

一、单选题
1．如图，在平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AD=DM，N是线段BD上的动点，过点作AM的垂线，垂足为H，当最小时，（ ）
A． B．
C． D．
2．定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．若，，则
3．已知点为的外接圆圆上一点（不与、重合），且线段与边相交于一点，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在等腰△中，已知分别是边的点，且，其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
6．向量，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．设，，，是两两不同的四个点，若，，且，则称，调和分割，．现已知平面上两点C，D调和分割A，B，则下列说法正确的是（ ）
A．点C可能是线段的中点
B．点D不可能是线段的中点
C．点C，D可能同时在线段上
D．点C，D不可能同时在线段的延长线上
8．已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．存在，使得 B．当时，与垂直
C．对任意，都有 D．当时，在方向上的投影为
三、填空题
9．已知平面向量， 和单位向量， 满足， ， ， 当变化时， 的最小值为， 则的最大值为__________.
10．已知平面向量、、满足，，，，则最大值为__________.
11．如图，在平行四边形中， 分别为的中点，与交于点.若，则的余弦值为____________.
12．若圆O的半径为2，圆O的一条弦长为2，P是圆O上任意一点，点P满足，则的最大值为_________.
四、解答题
13．在中，过重心的直线与边交于，与边交于，点不与重合.设面积为，面积为.
（1）求；
（2）求证：；
（3）求的取值范围.
14．如图，在直角梯形中，为上靠近B的三等分点，交于为线段上的一个动点．
（1）用和表示；
（2）求；
（3）设，求的取值范围．
15．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的坐标．
(1)若，求．
(2)若，求在上的投影向量斜坐标．
(3)若，，，求的最小值．
16．在平面直角坐标系中，已知双曲线与椭圆，A，B分别为的左 右顶点，点在双曲线上，且位于第一象限.
(1)直线与椭圆相交于第一象限内的点，设直线，，，的斜率分别为，，，，求的值；
(2)直线与椭圆相交于点（异于点A），求的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】先分析得出点与点重合时，的模最大，即最小，进而得解．
【详解】，
由图易知，向量所成的角为钝角，
所以，
，
，当最小时，的模最大，
数形结合易知点与点重合时，的模最大，即最小，
，，
是的中点，
则．
故选：．
【点睛】本题考查平面向量的数量积及平面向量基本定理的运用，考查逻辑推理能力，属于中档题．
2．D
【分析】A．按的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．
【详解】A．，
时，，，
时，，成立，
时，，，
综上，A不恒成立；
B．是一个实数，无意义，B不成立；
C．若，，则，
，，
，
，
，C错误；
D．若，，则，，
，
，
所以，成立．
故选：D．
【点睛】本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的用，而余弦可由数量积进行计算．
3．B
【分析】令为线段与边交点有且，根据题意有且，即可得答案.
【详解】若为线段与边交点，则且，
由题设，在的边外侧，如上图中上，
令，则，而，
所以，
当变大时，外接圆半径趋向无穷大，此时可趋向无穷大，
综上，的取值范围为.
故选：B
4．C
【分析】利用，与即可确定在上的投影与在上的投影，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，即可确定，的横坐标，设出坐标由得到两向量纵坐标的关系后，列出，夹角的余弦值的式子，利用基本不等式确定余弦值的范围，即可确定，夹角的范围，注意即，的夹角为锐角.
【详解】设，，，以O为原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，
，，，
，，三者直接各自的夹角都为锐角，
，，，
，，即在上的投影为1，在上的投影为3，
，，如图
，
即，且
则，
由基本不等式得，
，
与的夹角为锐角，
，
由余弦函数可得：与夹角的取值范围是，
故选：C.
5．C
【分析】根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得，，又且且，可得关于的函数式，由二次函数的性质即可求的最小值.
【详解】在等腰△中，，则，
∵分别是边的点，
∴，，而，
∴两边平方得：，而，
∴，又，即，
∴当时，最小值为，即的最小值为.
故选：C
【点睛】关键点点睛：应用几何图形中线段所代表向量的线性关系求得，结合已知条件转化为关于的二次函数，求最值.
6．B
【分析】依题意设，根据数量积的坐标表示及三角函数的性质求出，再将变形为，根据对勾函数及二次函数的性质计算可得；
【详解】解：∵，设，
∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，
又，在上单调递减，所以，，
∴，∴，
∴，
故选：B．
7．BD
【分析】由题意设，，，，结合已知条件得，根据选项考查的解，用排除法选择答案即可.
【详解】由已知不妨设，，，，
由C，D调和分割A，B 可知，，，
代入得( )
对于AB，若C是线段AB的中点，则，代入( )得，d不存在，故C不可能是线段AB的中点，同理D不可能是线段的中点，故A错误，B正确；
对于C， 若C，D同时在线段AB上，则，代入( )得，，
此时C和D点重合，与已知矛盾，故C错误；
对于D，若C，D同时在线段AB的延长线上时，则，，则，这与矛盾，所以C，D不可能同时在线段AB的延长线上，故D正确；
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：本题考查新定义的应用问题，正确理解新定义的含义是解题的关键，考查学生的逻辑推理与特殊与一般思想，属于较难题.
8．BD
【分析】A选项考察向量平行坐标之间的关系；B选项考察向量垂直时坐标之间的关系；C选项分别求出，可以得到是否存在，使得；D选项中根据数量积求出角的三角函数值，可以求出在方向上的投影
【详解】选项A中，若，则，，所以不存在这样的，所以A错误
选项B中，若，则，，得：，所以选项B正确
选项C中，，，当时，，所以C错误
选项D中，，两边同时平方得： ，
化简得：，同除得：，，所以，即，解得：，设与的夹角为，所以在方向上的投影，D选项正确
故选：BD.
9．
【分析】不妨设 ， ，则由题知，由已知条件得，，将用坐标表示，并求模，代入及，整理得，构造函数，求出最小值，
表示出的解析式，用均值不等式求其最大值即可.
【详解】不妨设 ， ，则由题知
又 ，所以
整理得① ，所以
又 ，
所以
而
将①代入整理得：
令 ，
，有最小值，
又 ，当且仅当时等号成立
所以 ，当时有最大值 .
故答案为： .
10．
【分析】设，则由数量积公式可得
，再由点的轨迹找出到的距离最大值，从而得出所求最值.
【详解】设与所成夹角为
则
因为，，所以的夹角为
设，则
所以，设到的距离为
则，所以
因为，所以点落在以点为圆心，以为半径的圆上
所以到的距离最大值为
所以的最大值为
所以的最大值为
故答案为：
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用向量的运算得出
，再结合圆的对称性得出所求最值.
11．
【分析】设，，确定点位置，又，将其它向量全部用基底表示出来，再化简可得答案.
【详解】设，，
则，，得，，
又，得，则，
得，得，，
设则，由，
有
得，得.
故答案为：
【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，向量共线的应用，平面向量数量积的运算，考查了学生分析能力，运算能力，难度较大.
12．10
【分析】法一、以中点C为原点建系，求出圆O的参数方程，从而设，，根据，求出点坐标，从而得即可求解；
法二、由已知根据向量的线性运算求出，从而得，利用投影的定义即可求解.
【详解】解：法一、如图以中点C为原点建系，则，，，
所以圆O方程为，所以设，
因为，，
，
所以，
所以，
因为，
所以的最大值为10.
法二、连接OA，OB过点O作，垂足为C，则，
∴，
因为，所以，
所以，
，当且仅当且同向时取等号，
所以的最大值为10，
故答案为：10.
【点睛】关键点点睛：法一、建立恰当直角坐标系，求出圆O的参数方程，从而设，，根据，求出点坐标；
法二、将用，，线性表示，根据数量积的运算律求出，再利用投影的定义即可求解.
13．（1）；（2）证明见解析；（3）.
【分析】（1）利用三角形重心的性质，又，即可求.
（2）设、，由题设得、，而共线则有，由，列方程确定的关系，进而求证结论；
（3）由，结合（2）的结论及二次函数的性质，即可求范围.
【详解】
（1）为的重心，若延长交于，则是的中点，
∴，而，即，
∴.
（2）设，，又，
∴，，由共线，则有，
∵，，
∴，又，
综上，，
∴，即，可得，
∴，则得证.
（3）由（2）知：，而，
∴.
14．(1)；(2)3；(3).
【分析】(1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；
(2)选定一组基向量，将由这一组基向量的唯一表示出而得解；
(3)由动点P设出，结合平面向量基本定理，建立为x的函数求解.
【详解】(1)依题意，，
，
；
(2)因交于D，
由(1)知，
由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则，，；
(3)由已知，
因P是线段BC上动点，则令，
，
又不共线，则有，
，
在上递增，
所以，
故的取值范围是.
【点睛】由不共线的两个向量为一组基底，用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
15．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由题可得，利用向量共线的条件即得；
（2）由题可知，进而可得，，然后利用投影向量为的概念即得；
（3）由题可得，然后利用向量夹角公式可得，再结合条件及函数的单调性即得.
（1）
∵，
∴，
∴，即；
（2）
∵，
∴，
∴，
，
，
∴在上的投影向量为，
即在上的投影向量斜坐标为；
（3）
∵，
∴，，
∴，
又，，
∴，，，
∴，
令，则，，
又，在上单调递增，
∴，即的最小值为.
16．(1)0
(2)
【分析】（1）方法1：设直线，联立双曲线方程和椭圆方程，求得P，M两点坐标，因为，，则可求出，，所以；方法2：设，，因为点在双曲线上，点在椭圆线上，得出x，y的关系，即可求出，，再利用，，三点共线，即可求出的值.
（2）设直线的方程为，联立双曲线方程求出点坐标，联立椭圆方程求出N点坐标，即可求出，因为点位于第一象限，可求k的取值范围，则可求出函数值域，即的取值范围.
【详解】（1）方法1：设直线，
联立，消，得，
所以，解得，
设，则，
所以.
联立，消，得，
设，则，
所以.
因为，，
所以，
，
所以.
方法2设，，
因为，，
所以，
.
因为点在双曲线上，所以，
所以，所以.
因为点在椭圆线上，所以，
所以，所以.
因为，，三点共线，所以，
所以.
（2）设直线的方程为，
联立，消，得
，
解得，，
所以点的坐标为，
因为点位于第一象限，所以，
解得，联立，消，得
，
解得，，
所以点的坐标为，
所以，
设，则，
所以.
因为函数在区间上单调递增，
所以当时，，所以，
所以，即，
故的取值范围为.
【点睛】（1）此题考查椭圆与双曲线对称性辨析，求解直线与曲线交点坐标，根据坐标表示斜率之积和斜率之和证明结论.
（2）解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
答案第1页，共2页
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