必修第二册 第八章 空间几何体专题
直线与直线的位置关系
知识梳理
1.基本事实：平行于同一条直线的两条直线_______________．
2.等角定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角___________或___________
图形语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
二、应用举例
例1：如图，在三棱锥中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行．
跟踪训练1．已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定
2．在正方体中，，分别是平面，平面的中心，，分别是线段，的中点，则直线与直线的位置关系是
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
3．在三棱锥中分别是边的中点，且，则四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
4.如图，空间四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点，则四边形是( )
A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形
5.如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，与棱AB平行的棱有________条，分别是________．
例2：下列结论，其中正确的是________(填序号).
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等.
②如果两个角的两边都平行于一个平面，那么这两角相等或互补.
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补.
④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.
跟踪训练．1已知，，，则（ ）
A． B．或
C． D．或
思维拓展：
1.是所在平面外一点，，分别是，的重心，，则的长为________．
2.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB∥CM；
②EF与MN是异面直线；
③MN∥CD.
以上结论中正确结论的序号为________.必修第二册 第八章 空间几何体专题
直线与直线的位置关系
知识梳理
1.基本事实：平行于同一条直线的两条直线_______________．
2.等角定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角___________或___________
图形语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
二、应用举例
例1：如图，在三棱锥中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行．
【答案】平行
【分析】根据给定条件可得MN//AC，EF//AC，再借助平行公理即可判断作答.
【详解】在三棱锥中，M，N分别为棱SA，SC的中点，则有MN//AC，
而E，F分别为棱AB，BC的中点，则有EF//AC，
由平行公理得：MN//EF，
所以直线MN与直线EF平行．
跟踪训练1．已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定
【答案】A
【分析】由平行直线的传递性可得答案.
【详解】∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.
故选：A.
2．在正方体中，，分别是平面，平面的中心，，分别是线段，的中点，则直线与直线的位置关系是
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
【答案】C
【解析】利用中位线性质说明它们都与平行．
【详解】如图，连接，则分别为的中点.由三角形的中位线定理知，所以.
故选：C.
【点睛】本题考查空间两直线位置关系，掌握中位线定理是解题关键．
3．在三棱锥中分别是边的中点，且，则四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】B
【分析】根据中位线的性质及平行公理可得四边形是平行四边形，再利用可得四边形是矩形.
【详解】因为分别是边的中点，所以，所以；
同理可得，所以四边形是平行四边形；
又因为，所以，即四边形是矩形.
故选：B.
4.如图，空间四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点，则四边形是( )
A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形
【答案】B
【详解】根据中位线定理可知：//且，可知四边形为平行四边形
故选：B
5.如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，与棱AB平行的棱有________条，分别是________．
【答案】 3 CD，A1B1，C1D1
【分析】利用棱台的结构特征直接得到答案.
【详解】因为四棱台中两底面都是正方形，侧面ABB1A1是等腰梯形，
所以AB∥CD，A1B1∥C1D1，AB∥A1B1.所以AB∥C1D1.
故与棱AB平行的棱有CD，A1B1，C1D1，共3条．
故答案为：3；CD，A1B1，C1D1.
例2：下列结论，其中正确的是________(填序号).
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等.
②如果两个角的两边都平行于一个平面，那么这两角相等或互补.
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补.
④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.
【答案】④
【分析】根据等角定理和平行线的传递性理解辨析．
【详解】根据等角定理可知：
对于①：这两个角相等或互补，①错误；
对于②、③：无法判定这两个角的两边分别平行，所以无法确定这两角的大小关系，②、③错误；
对于④：根据平行线的传递性，④正确；
故答案为：④．
跟踪训练．1已知，，，则（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【解析】根据等角定理，即可得到结论.
【详解】的两边与的两边分别平行，
根据等角定理易知或.
故选：B.
【点睛】本题考查等角定理，属基础题.
思维拓展：
1.是所在平面外一点，，分别是，的重心，，则的长为________．
【答案】##
【分析】，分别是，的重心，连接，，并延长分别交，于，点，得，分别为，的中点，即可得到比例关系，进而得到答案.
【详解】如图，∵，分别是，的重心，连接，，并延长分别交，于，点，则，分别为，的中点，
∴且，且，
∴且，
∴.
故答案为：.
2.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB∥CM；
②EF与MN是异面直线；
③MN∥CD.
以上结论中正确结论的序号为________.
【答案】①②
【详解】把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，与是异面直线，，，只有①②正确，故答案为①②.
点睛：本题主要考查了空间中两条直线的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题；在棱柱中考查线线的位置关系，根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：（1）侧面都是平行四边形（2）两底面是全等多边形（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和.
