4.1 第1课时 数列的概念与简单表示法
课程标准 熟悉课标，把握重点
知识梳理 掌握概念，升华提升
基础自测 单选 1★+2★+3★ 多选 4★ 填空5★
题型归类 题型一：数列的概念与分类
单选1★+2★★+3★★多选4★★填空5★+6★★解答7★★+方法总结
题型二：由数列的前几项求通项公式
单选1★+2★+3★★多选4★★填空5★+6★★解答7★★+方法总结
题型三：数列与函数的关系
单选1★+2★★+3★★填空4★+5★★解答6★★+方法总结
题型四：数列通项公式的简单应用
单选1★+2★★+填空3★4解答★5★★+6★★7★★+方法总结
题型五：数列{an}中的最大(小)项
单选1★+2★★+解答3★★4★★5★★+方法总结
分层测试 单选6题1★+2★ + 3★+4★+5★★+6★★★
多选3题7★+8★★+9★★★
填空3题10★+11★★+12★★★
解答4题13★+14★+15★★+16★★★
一、课程标准
1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式).
2．了解数列是一种特殊函数．
二、知识梳理
1．数列的概念
(1)数列与数列的项
①数列：按照确定的顺序排列的一列数称为数列。
②数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项。
数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示。其中第1项也叫做首项。
(2)数列的一般形式
数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}。
(3)数列与函数的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)。
2．数列的表示方法
(1)表示方法：解析式法、表格法、图象法。
(2)数列的单调性
类别 含义
递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项都相等的数列
3.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式。
【升华提升】
1. 数列是按一定的“顺序”排列的一列数，有序性是数列的基本属性。数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列，例如1,2,3，…与3,2,1，…就是不同的数列。
2. 数列的通项公式就是数列的函数解析式。
3. 同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式。
三、基础自测
1.（单选）已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋1，则122是该数列的( )
A．第9项 B．第10项
C．第11项 D．第12项
2.（单选）数列3，4，5，6，…的一个通项公式为( )
A．an＝n B．an＝n＋1
C．an＝n＋2 D．an＝2n
3.（单选）下列说法正确的是( )
A．数列中不能重复出现同一个数
B．1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列
C．1,1,1,1不是数列
D．若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同
4.（多选）下列说法正确的是( )
A．数列4,7,3,4的首项是4
B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3
C．数列1,2,3，…就是数列{n}
D．数列中的项不能是三角形
5.（填空）已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n，n∈N＋，则它的第8项是________，第9项是________．
四、题型归类
【题型一】数列的概念与分类
1★（单选） 下列说法中不正确的是( )
A.数列a，a，a，…是无穷数列
B.1，－3，，－7，－8，10不是一个数列
C.数列0，－1，－2，－4，…不一定是递减数列
D.已知数列{an}，则{an＋1－an}也是一个数列
2★★（单选）以下四个数列中的递增数列是( )
A.1，，，，…
B.sin ，sin，sin ，…
C.1，1，1，1，…
D.1，，，…，
3★★（单选）下列说法中正确的是( )
A.数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}
B.数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1是相同的数列
C.数列的第k项为1＋
D.数列0，2，4，6，…可记为{2n}
4★★（多选）下面四个结论中正确的是( )
A．数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数
B．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点
C．数列的项数是无限的
D．数列的通项公式是唯一的
5★（填空）.观察数列的特点，用一个适当的数填空：1，，，，________，，….
6★★（填空）已知下列数列：
①2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016；
②1，，，…，，…；
③1，－，，…，，…；
④1,0，－1，…，sin，…；
⑤2,4,8,16,32，…；
⑥－1，－1，－1，－1。
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________(填序号)。
7★★（解答）下列数列中哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是周期数列？
(1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021,2 022,2 023；
(2)0，，，…，，…；
(3)1，，，…，，…；
(4)－，，－，，…；
(5)1,0，－1，…，sin ，…；
(6)9,9,9,9,9,9.
【题型二】由数列的前几项求通项公式
1★（单选） 数列，－，，－，…的通项公式可能是( )
A．an＝(－1)n B．an＝(－1)n－1
C．an＝(－1)n D．an＝(－1)n－1
2★（单选）数列－1，3，－7，15，…的一个通项公式可以是( )
A．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*
B．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*
C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*
D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*
3★★（单选）数列，，，，…的第10项是( )
A. B. C. D.
4★★（多选）给出以下通项公式，其中可以作为数列，0，，0，，0，…的通项公式的是( )
A．an＝[1－(－1)n]
B．an＝
C．an＝
D．an＝2
5★（填空）在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55，…中，x＝________.
6★★（填空）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第20项与21项的和为______．
7★★（解答）写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)－，，－，；
(2)，，，；
(3)7，77，777，7 777.
【题型三】数列与函数的关系
1★（单选）已知数列an＝－n2＋4n＋2，则该数列中最大项的序号是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2★（单选）在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是( )
A．105 B．106 C．107 D．108
3★★（单选）已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是( )
A.第5项 B．第6项
C.第4项或第5项 D．第5项或第6项
4★（填空）已知数列{an}的通项公式为an＝2n2－10n＋4.问当n为何值时，an取得最小值？并求出最小值．
5★★（填空）已知数列{an}中，an＝－n2＋25n(n∈N*)，则数列{an}的最大项是第________项．
6★★（解答）在数列{an}中，an＝n(n－8)－20，n∈N*，请回答下列问题：(1)这个数列共有几项为负？
(2)这个数列从第几项开始递增？
(3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由．
【题型四】数列通项公式的简单应用
1★（单选）已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(n2－1)，则a6等于( )
A．35 B．－11 C．－35 D．11
2★★（单选）设an＝＋＋＋＋…＋(n∈N*)，则a2等于( )
A. B.＋
C.＋＋ D.＋＋＋
3★（填空）．已知数列{an}的通项公式为an＝，则a10＝________，若an＝，则n＝________.
4★（填空）已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，那么是这个数列的第______项．
5★★（解答）已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出此数列的第4项和第6项；
(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？
6★★（解答）数列{an}的通项公式为an＝30＋n－n2。
(1)－60是否是{an}中的一项？
(2)当n分别取何值时，an＝0，an>0，an<0
7★★（解答）已知数列{an}的通项公式为an＝。
(1)求a10。
(2)判断是否为该数列中的项。若是，它为第几项？若不是，请说明理由。
(3)求证：0
【题型五】数列{an}中的最大(小)项
1★（单选） 已知数列an＝n2－6n＋5，则该数列中最小项的序号是( )
A.3 B.4
C.5 D.6
2★★（单选）若数列的通项公式为an＝，则这个数列中的最大项是( )
A．第12项 B．第13项
C．第14项 D．第15项
3★★（解答）已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．
4★★（解答）已知数列{an}的通项公式是an＝nn，n∈N*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．
5★★（解答）已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)，n∈N*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由.
五、分层测试
一、单选题
1★ 数列{an}中，an＝3n－1，则a2等于( )
A．2 B．3
C．9 D．32
2★数列0，，，，，…的一个通项公式是( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
3★在数列{an}中，an＝，则{an}( )
A．是常数列 B．不是单调数列
C．是递增数列 D．是递减数列
4★已知数列{an}的通项公式an＝则a2a3的值是( )
A．70 B．28 C．20 D．16
5★★已知数列{an}满足：an＝(n∈N*)，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C.(1，3) D.(2，3)
6★★★已知数列{an}满足an＝n2＋λn(n∈N*)，且对任意n∈N*，anA．λ>0 B．λ<0
C．λ≥－2 D．λ>－3
二、多选题
7★ 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则( )
A．3不是数列{an}中的项
B．3是数列{an}的第2项
C．3是数列{an}的第6项
D．a3<0
8★★下列式子中不能作为数列1，0，1，0，1，0，1，0，…的通项公式的有( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
9★★★已知数列的通项为an＝，则下列n的值中满足anA．3 B．4 C．5 D．6
三、填空题
10★323是数列{n(n＋2)}的第________项。
11★★数列{an}的通项公式为an＝，则－3是此数列的第________项。
12★★★已知函数f(x)＝若数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________。
四、简答题
13★ 已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*).
(1)计算a3＋a4的值；
(2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由.
14★写出下列各数列的一个通项公式：
(1)4，6，8，10，…；
(2)，，，，，…；
(3)0.3，0.33，0.333，0.333 3，…；
(4)－1，，－，，….
15★★已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－n(n∈N*)，判断该数列的单调性。
16★★★已知函数f(x)＝(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N*)。
(1)求证：an>－2。
(2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？4.1 第1课时 数列的概念与简单表示法
课程标准 熟悉课标，把握重点
知识梳理 掌握概念，升华提升
基础自测 单选 1★+2★+3★ 多选 4★ 填空5★
题型归类 题型一：数列的概念与分类
单选1★+2★★+3★★多选4★★填空5★+6★★解答7★★+方法总结
题型二：由数列的前几项求通项公式
单选1★+2★+3★★多选4★★填空5★+6★★解答7★★+方法总结
题型三：数列与函数的关系
单选1★+2★★+3★★填空4★+5★★解答6★★+方法总结
题型四：数列通项公式的简单应用
单选1★+2★★+填空3★4解答★5★★+6★★7★★+方法总结
题型五：数列{an}中的最大(小)项
单选1★+2★★+解答3★★4★★5★★+方法总结
分层测试 单选6题1★+2★ + 3★+4★+5★★+6★★★
多选3题7★+8★★+9★★★
填空3题10★+11★★+12★★★
解答4题13★+14★+15★★+16★★★
一、课程标准
1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式).
2．了解数列是一种特殊函数．
二、知识梳理
1．数列的概念
(1)数列与数列的项
①数列：按照确定的顺序排列的一列数称为数列。
②数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项。
数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示。其中第1项也叫做首项。
(2)数列的一般形式
数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}。
(3)数列与函数的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)。
2．数列的表示方法
(1)表示方法：解析式法、表格法、图象法。
(2)数列的单调性
类别 含义
递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项都相等的数列
3.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式。
【升华提升】
1. 数列是按一定的“顺序”排列的一列数，有序性是数列的基本属性。数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列，例如1,2,3，…与3,2,1，…就是不同的数列。
2. 数列的通项公式就是数列的函数解析式。
3. 同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式。
三、基础自测
1.（单选）已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋1，则122是该数列的( )
A．第9项 B．第10项
C．第11项 D．第12项
【解析】 由n2＋1＝122得n2＝121，所以n＝11.故选C.
2.（单选）数列3，4，5，6，…的一个通项公式为( )
A．an＝n B．an＝n＋1
C．an＝n＋2 D．an＝2n
【解析】经验证可知，它的一个通项公式为an＝n＋2.故选C.
3.（单选）下列说法正确的是( )
A．数列中不能重复出现同一个数
B．1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列
C．1,1,1,1不是数列
D．若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同
【解析】由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如1,1,1,1，故A，C不正确；
B中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B不正确；由数列的定义可知，D正确．故选D。
4.（多选）下列说法正确的是( )
A．数列4,7,3,4的首项是4
B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3
C．数列1,2,3，…就是数列{n}
D．数列中的项不能是三角形
【解析】由数列的相关概念可知，数列4,7,3,4的首项是4，故A正确。同一个数在数列中可以重复出现，故B错误。按一定顺序排列的一列数称为数列，所以数列1,2,3，…就是数列{n}，故C正确。数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确。故选ACD。
5.（填空）已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n，n∈N＋，则它的第8项是________，第9项是________．
【解析】当n＝8时，a8＝(－1)8＝1.
当n＝9时，a9＝(－1)9＝－1.
答案：1 －1
四、题型归类
【题型一】数列的概念与分类
1★（单选） 下列说法中不正确的是( )
A.数列a，a，a，…是无穷数列
B.1，－3，，－7，－8，10不是一个数列
C.数列0，－1，－2，－4，…不一定是递减数列
D.已知数列{an}，则{an＋1－an}也是一个数列
【解析】选项A，D显然正确；对于选项B，是按照一定的顺序排列的一列数，是数列，所以B不正确；对于选项C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．选B.
2★★（单选）以下四个数列中的递增数列是( )
A.1，，，，…
B.sin ，sin，sin ，…
C.1，1，1，1，…
D.1，，，…，
【解析】(1)A是递减数列；B是摆动数列；C是常数数列，D是递增数列.故选D。
3★★（单选）下列说法中正确的是( )
A.数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}
B.数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1是相同的数列
C.数列的第k项为1＋
D.数列0，2，4，6，…可记为{2n}
【解析】{1，3，5，7}是一个集合，故选项A错；数虽相同，但顺序不同，不是相同的数列，故选项B错；故选C。
4★★（多选）下面四个结论中正确的是( )
A．数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数
B．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点
C．数列的项数是无限的
D．数列的通项公式是唯一的
【解析】数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，C项错误；数列的通项公式可能不唯一，比如数列1,0，－1，0,1,0，－1,0，…的通项公式可以是an＝sin，也可以是an＝cos，D项错误。故选AB。
5★（填空）.观察数列的特点，用一个适当的数填空：1，，，，________，，….
【解析】已知填3
6★★（填空）已知下列数列：
①2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016；
②1，，，…，，…；
③1，－，，…，，…；
④1,0，－1，…，sin，…；
⑤2,4,8,16,32，…；
⑥－1，－1，－1，－1。
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________(填序号)。
【解析】①为有穷数列且为递增数列；②为无穷数列、递减数列；③为无穷数列、摆动数列；④是摆动数列，也是无穷数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列。
答案 ①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④
7★★（解答）下列数列中哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是周期数列？
(1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021,2 022,2 023；
(2)0，，，…，，…；
(3)1，，，…，，…；
(4)－，，－，，…；
(5)1,0，－1，…，sin ，…；
(6)9,9,9,9,9,9.
【解析】(1)(6)是有穷数列；(2)(3)(4)(5)是无穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(6)是常数列；(5)是周期数列．
【方法总结】
(1)有穷数列与无穷数列的判断
判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项。若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列。
(2)数列单调性的判断
判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足anan＋1，则是递减数列；若满足an＝an＋1，则是常数列。
【题型二】由数列的前几项求通项公式
1★（单选） 数列，－，，－，…的通项公式可能是( )
A．an＝(－1)n B．an＝(－1)n－1
C．an＝(－1)n D．an＝(－1)n－1
【解析】方法一 将n＝1,2,3,4代入各选项验证易得答案．
方法二 将数列，－，，－，…变为，－，，－，…，从而可知分子的规律为n，分母的规律为n＋2，再结合正负的调节，可知其通项公式为an＝(－1)n－1.故选D。
2★（单选）数列－1，3，－7，15，…的一个通项公式可以是( )
A．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*
B．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*
C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*
D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*
【解析】数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*.故选A。
3★★（单选）数列，，，，…的第10项是( )
A. B. C. D.
【解析】由题意知数列的通项公式是an＝(n∈N*)，
所以a10＝＝.故选C。
4★★（多选）给出以下通项公式，其中可以作为数列，0，，0，，0，…的通项公式的是( )
A．an＝[1－(－1)n]
B．an＝
C．an＝
D．an＝2
【解析】 代入验证，可知ABC均可以作为数列，0，，0，，0，…的通项公式。故选ABC。
5★（填空）在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55，…中，x＝________.
【解析】答案 13
6★★（填空）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第20项与21项的和为______．
【解析】由数列的前10项可知，数列的偶数项的通项公式a2n＝2n2，
所以a20＝2×102＝200，
奇数项的通项公式a2n－1＝2n，
所以a21＝a2×11－1＝2×10×11＝220，
所以a20＋a21＝200＋220＝420.
答案：420
7★★（解答）写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)－，，－，；
(2)，，，；
(3)7，77，777，7 777.
【解析】(1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，
所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*.
(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*.
(3)这个数列的前4项可以变为×9，×99，×999，×9 999，即×(10－1)，×(100－1)，×(1 000－1)，×(10 000－1)，即×(10－1)，×(102－1)，×(103－1)，×(104－1)，所以它的一个通项公式为an＝×(10n－1)，n∈N*.
【方法总结】
根据数列的前几项求其通项公式的方法
据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：
(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；
(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．
【题型三】数列与函数的关系
1★（单选）已知数列an＝－n2＋4n＋2，则该数列中最大项的序号是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】因为an＝－(n－2)2＋6，n∈N*，
所以当n＝2时，an取得最大值．
故选A。
2★（单选）在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是( )
A．105 B．106 C．107 D．108
【解析】an＝－2n2＋29n＋3对应的抛物线开口向下，对称轴为n＝－＝＝7 ，∵n是整数，∴当n＝7时，数列取得最大值，此时最大项的值为a7＝－2×72＋29×7＋3＝108.
故选D。
3★★（单选）已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是( )
A.第5项 B．第6项
C.第4项或第5项 D．第5项或第6项
【解析】an＝－2＋，
因为n∈N*，5<<6，且a5＝55，a6＝54，
所以数值最大的项为第5项．
故选A。
4★（填空）已知数列{an}的通项公式为an＝2n2－10n＋4.问当n为何值时，an取得最小值？并求出最小值．
【解析】因为an＝2n2－10n＋4＝2－，
所以当n＝2或3时，an取得最小值，其最小值为a2＝a3＝－8.
5★★（填空）已知数列{an}中，an＝－n2＋25n(n∈N*)，则数列{an}的最大项是第________项．
【解析】因为an＝－＋是关于n的二次函数，又n∈N*，所以当n＝12或n＝13时，an最大．
答案：12或13
6★★（解答）在数列{an}中，an＝n(n－8)－20，n∈N*，请回答下列问题：(1)这个数列共有几项为负？
(2)这个数列从第几项开始递增？
(3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由．
【解析】(1)因为an＝n(n－8)－20＝(n＋2)(n－10)，
所以当0所以数列{an}共有9项为负．
(2)因为an＋1－an＝2n－7，
所以当an＋1－an>0时，n>，
故数列{an}从第4项开始递增．
(3)an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36，根据二次函数的性质知，当n＝4时，an取得最小值－36，
即这个数列有最小值，最小值为－36.
【方法总结】
1.数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数表达式．
2.数列还可以用列表法、图象法表示．
数列最值的方法
3.函数的单调性法：令an＝f(n)，通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项．
【题型四】数列通项公式的简单应用
1★（单选）已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(n2－1)，则a6等于( )
A．35 B．－11 C．－35 D．11
【解析】已知选A。
2★★（单选）设an＝＋＋＋＋…＋(n∈N*)，则a2等于( )
A. B.＋
C.＋＋ D.＋＋＋
【解析】∵an＝＋＋＋＋…＋(n∈N*)，
∴a2＝＋＋.
3★（填空）．已知数列{an}的通项公式为an＝，则a10＝________，若an＝，则n＝________.
【解析】∵an＝，∴a10＝＝.
由an＝＝，得n2＋2n－168＝0，解得n＝12或n＝－14(舍去)．
4★（填空）已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，那么是这个数列的第______项．
【解析】因为＝，
所以n(n＋2)＝10×12，所以n＝10.
答案：10
5★★（解答）已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出此数列的第4项和第6项；
(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？
【解析】(1)a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60.
(2)由3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)，
所以－49是该数列的第7项；
由3n2－28n＝68，解得n＝－2或n＝，均不合题意，所以68不是该数列的项．
6★★（解答）数列{an}的通项公式为an＝30＋n－n2。
(1)－60是否是{an}中的一项？
(2)当n分别取何值时，an＝0，an>0，an<0
【解析】(1)假设－60是{an}中的一项，则－60＝30＋n－n2。
解得n＝10或n＝－9(舍去)。
所以－60是{an}的第10项。
(2)分别令30＋n－n2＝0；30＋n－n2>0；30＋n－n2<0，
解得n＝6；06。
即当n＝6时，an＝0；
当00；
当n>6且n∈N*时，an<0。
7★★（解答）已知数列{an}的通项公式为an＝。
(1)求a10。
(2)判断是否为该数列中的项。若是，它为第几项？若不是，请说明理由。
(3)求证：0【解析】(1)根据题意可得a10＝＝。
(2)令an＝，即＝，解得n＝3，所以为数列{an}中的项，为第3项。
(3)证明：由题意知an＝＝1－，
因为n∈N*，
所以3n＋1>3，所以0<<1，
所以0<1－<1，即0【方法总结】
(1)利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项。
(2)判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程。若方程解为正整数则是数列中的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列中的一项。
【题型五】数列{an}中的最大(小)项
1★（单选） 已知数列an＝n2－6n＋5，则该数列中最小项的序号是( )
A.3 B.4
C.5 D.6
【解析】因为an＝－4＝2－4，所以当n＝3时，an取得最小值.故选A。
2★★（单选）若数列的通项公式为an＝，则这个数列中的最大项是( )
A．第12项 B．第13项
C．第14项 D．第15项
【解析】an＝＝，
因为 n＋≥2＝28，
当且仅当n＝14时，n＋有最小值28，
所以当n＝14时，取得最大值.
故选C。
3★★（解答）已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．
【解析】存在最大项．理由：a1＝，a2＝＝1，a3＝＝，a4＝＝1，a5＝＝，….∵当n≥3时，＝×
＝＝2<1，
∴an＋1又∵a1∴当n＝3时，a3＝为这个数列的最大项．
4★★（解答）已知数列{an}的通项公式是an＝nn，n∈N*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．
【解析】根据题意，令
即
解得2≤n≤3.
又n∈N*，则n＝2或n＝3.
故数列{an}有最大项，为第2项和第3项，
且a2＝a3＝2×2＝.
5★★（解答）已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)，n∈N*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由.
【解析】法一 an＋1－an＝(n＋2)－(n＋1)＝，
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1则a1a11>a12>…，
故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×.
法二 根据题意，令
即
解得9≤n≤10.
又n∈N*，则n＝9或n＝10.
故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×.
【方法总结】
求数列{an}的最大(小)项的方法
(1)利用判断函数单调性的方法，先判断数列的单调情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项.
(2) (2)不等式组法：先假设有最大(小)项．不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值．
设ak是最大项，则有对任意的k∈N*且k≥2都成立，解不等式组即可.
五、分层测试
一、单选题
1★ 数列{an}中，an＝3n－1，则a2等于( )
A．2 B．3
C．9 D．32
【解析】因为an＝3n－1，所以a2＝32－1＝3。
故选B。
2★数列0，，，，，…的一个通项公式是( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
【解析】已知数列可化为：0，，，，，…，故an＝。故选C。
3★在数列{an}中，an＝，则{an}( )
A．是常数列 B．不是单调数列
C．是递增数列 D．是递减数列
【解析】在数列{an}中，an＝＝1＋，
由反比例函数的性质得{an}是递减数列．
4★已知数列{an}的通项公式an＝则a2a3的值是( )
A．70 B．28 C．20 D．16
【解析】a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3－1＝8，a2a3＝16.
故选D.
5★★已知数列{an}满足：an＝(n∈N*)，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C.(1，3) D.(2，3)
【解析】因为数列{an}是递增数列，
所以由n≤7时，an＝(3－a)n－3知3－a>0，即a<3；
由n>7时，an＝an－6知a>1.
又a72或a<－9.
综上，得26★★★已知数列{an}满足an＝n2＋λn(n∈N*)，且对任意n∈N*，anA．λ>0 B．λ<0
C．λ≥－2 D．λ>－3
【解析】因为对任意n∈N*，an－3。
故选D。
二、多选题
7★ 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则( )
A．3不是数列{an}中的项
B．3是数列{an}的第2项
C．3是数列{an}的第6项
D．a3<0
【解析】令n2－8n＋15＝3，解此方程可得n＝2或n＝6，所以3可以是该数列的第2项，也可以是该数列的第6项。a3＝9－24＋15＝0。
故选BC。
8★★下列式子中不能作为数列1，0，1，0，1，0，1，0，…的通项公式的有( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
【解析】对于A，当n＝1时，a1＝0，故错误；对于B，奇数项为1，偶数项为0，正确；
对于C，当n＝1时，a1＝，故错误；
对于D，当n＝1时，a1＝0，故错误．
故选ACD.
9★★★已知数列的通项为an＝，则下列n的值中满足anA．3 B．4 C．5 D．6
【解析】由题意，数列的通项为an＝.
可得a3＝，a4＝，a5＝4，a6＝－4，a7＝－，
显然a3a6.
故满足an故选ABD.
三、填空题
10★323是数列{n(n＋2)}的第________项。
【解析】由n2＋2n＝323，解得n＝17(负值舍去)。所以323是数列{n(n＋2)}的第17项。
答案 17
11★★数列{an}的通项公式为an＝，则－3是此数列的第________项。
【解析】令＝－3，即－＝－3，解得n＝9。
答案 9
12★★★已知函数f(x)＝若数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________。
【解析】由题意知an＝因为数列{an}是递增数列，所以当n≤10时，3－a>0，即a<3；当n>10时，a>1。又a100，即(a＋12)(a－2)>0，所以a<－12或a>2。综上可得，a的取值范围为(2,3)。
答案 (2,3)
四、简答题
13★ 已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*).
(1)计算a3＋a4的值；
(2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由.
【解析】(1)∵an＝，
∴a3＝＝，a4＝＝，
∴a3＋a4＝＋＝.
(2)若为数列{an}中的项，
则＝，∴n(n＋2)＝120，
∴n2＋2n－120＝0，
∴n＝10或n＝－12(舍)，
即是数列{an}的第10项.
14★写出下列各数列的一个通项公式：
(1)4，6，8，10，…；
(2)，，，，，…；
(3)0.3，0.33，0.333，0.333 3，…；
(4)－1，，－，，….
【解析】(1)各项是从4开始的偶数，所以an＝2n＋2，n∈N*.
(2)每一项分母可写成21,22,23,24,25，…，分子分别比分母少1，故所求数列的通项公式可写为an＝，n∈N*.
(3)因为数列0.9,0.99,0.999,0.999 9，…的通项公式为1－，而数列0.3,0.33,0.333，0.333 3，…的每一项都是上面数列对应项的，
所以an＝，n∈N*.
(4)通过观察，数列中的数正、负交替出现，且先负后正，则选择(－1)n.又第1项可改写成分数－，则每一项的分母依次为3,5,7,9，…，可写成(2n＋1)的形式．分子为3＝1×3,8＝2×4,15＝3×5,24＝4×6，…，可写成n(n＋2)的形式．所以此数列的一个通项公式为an＝(－1)n·，n∈N*.
15★★已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－n(n∈N*)，判断该数列的单调性。
【解析】解法一：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，则an＋1－an＝3(n＋1)2－(n＋1)－(3n2－n)＝6n＋2>0，即an＋1>an，故数列{an}是递增数列。
解法二：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，
则＝＝·>1。
又易知an>0，故an＋1>an，即数列{an}是递增数列。
解法三：令y＝3x2－x，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为直线x＝，<1，则函数y＝3x2－x在上单调递增，故数列{an}是递增数列。
16★★★已知函数f(x)＝(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N*)。
(1)求证：an>－2。
(2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？
【解析】(1)证明：因为f(x)＝＝＝－2＋，所以an＝－2＋。
因为n∈N*，所以an>－2。
(2)数列{an}为递减数列。理由如下：
因为an＝－2＋，
所以an＋1－an＝－＝－＝<0，
即an＋1