必修第二册 第八章专题
平面
一、知识梳理
1. 平面
(1)平面的概念：
(2)平面的画法：
(3)平面的表示法：
2 点、线、面之间的位置关系
(1)直线在平面内的概念
如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.
(2)一些文字语言与符号语言的对应关系：
文字语言表达 符号语言表示 文字语言表达 符号语言表示
点A在直线l上 点A在直线l外
点A在平面α内 点A在平面α外
直线l在平面α内 直线l在平面α外
直线l，m相交于点A 平面α，β相交于直线l
3．平面的基本性质及作用
基本事实 内容 图形 符号 作用
基本事实1 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α 一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据
基本事实2 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α 既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的
基本事实3 P∈α且P∈β α∩β＝l，且P∈l ①判定两平面相交的依据 ②判定点在直线上
推论1
推论2
推论3
二、类型应用：
1．若点在直线上，在平面内，则用符号表示 之间的关系可记作___________.
【答案】，，
【分析】根据点、线、面的定义，即可得到答案.
【详解】点在直线上，在平面内，则，，
故 之间的关系可记作，，.
故答案为：，，
2.下图中的两个相交平面，其中画法正确的是______．
【答案】④
【分析】根据相交平面的画法逐一判断即可.
【详解】解：对于①，因被挡住的部分应画虚线，需要画出两相交平面的交线，故①错误；
对于②，因被挡住的部分应画虚线，故②错误；
对于③，因被挡住的部分应画虚线，不被挡住的画出实线，且两平面的交线需从平面的上边界画到平面的下边界，故③错误；
对于④，因被挡住的部分应画虚线，不被挡住的画出实线，且两平面的交线需从平面的上边界画到平面的下边界，故④正确.
故答案为：④.
3．根据图，填入相应的符号：
A______平面ABC；
A______平面BCD；
BD______平面ABD．
【答案】
【分析】略
【详解】略
4．下列条件中不能确定一个平面的是（ ）
A．不共线三点 B．两条相交直线 C．两条平行直线 D．四边形
【答案】D
【分析】根据平面的基本性质中公理及其推论，即可判断各项正误.
【详解】A、B、C：由共面公理，三个不共线的点可以确定一平面、两条相交直线或平行直线都可以确定一个平面；
D：四边形有平面四边形和空间四边形，故不一定能确定一个平面.
故选：D
5．已知空间四点中，无三点共线，则经过其中三点的平面有（ ）
A．一个 B．四个 C．一个或四个 D．无法确定平面的个数
【答案】C
【分析】由过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面分析判断即可.
【详解】若空间中的四点共面，则经过其中的三点的平面只有一个，
若空间中的四点不共面，设这四点为，由于无三点共线，所以由公理2，可知过三点确定一个平面，过三点确定一个平面，过三点确定一个平面，过三点确定一个平面，所以经过其中三点的平面有4个，
综上，空间四点中，无三点共线，则经过其中三点的平面有1个或4个，
故选：C
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合
B．若四点不共面，则其中任意三点不共线
C．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内
D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分
【答案】B
【分析】A.这两个平面可能相交或重合，所以该选项错误；B.该选项正确；C. 空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，所以该选项错误；D. 三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，所以该选项错误.
【详解】A. 如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面可能相交或重合，所以该选项错误；
B. 若四点不共面，则其中任意三点不共线，所以该选项正确；
C. 空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，如三棱锥,相交于同一点的三条直线不在同一平面内，所以该选项错误；
D. 三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，所以该选项错误.
故选：B
7．下列命题中正确的是（ ）
A．过三点确定一个平面 B．四边形是平面图形
C．三条直线两两相交则确定一个平面 D．两个相交平面把空间分成四个区域
【答案】D
【分析】根据平面的基本性质和推论，对题目中的命题进行分析，判断正误即可.
【详解】选项A：过不共线的三点有且只有一个平面，故选项A错误；
选项B：四边形可能是平面图形也可能是空间图形，故选项B错误；
选项C：三条直线两两相交可能确定一个平面也可能确定三个平面，故选项C错误；
选项D：平面是无限延展的，两个相交平面把空间分成四个区域，故选项D正确.
故选：D.
8．(多选题)下列说法正确的是（ ）
A．梯形的四个顶点共面
B．三条平行直线共面
C．有三个公共点的两个平面重合
D．三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.
【答案】AD
【分析】根据四个共面的条件：即：①三个不在一条直线上点必会共面；②一条直线和这直线外一点必共面；③两条直线相交，则它们必共面；④两条平行直线必共面。即可判断AD正确，BC错误.
【详解】梯形是平面图形，四个顶点共面，A正确；三条平行直线可以确定1个或3个平面，B错误；若这三个点共线，则两个平面相交，故C错误；若三条直线交于一点，可以确定3个平面，若三条直线交于三点，可以确定1个平面，D正确.
故选：AD
9．(多选题)三个平面可以把空间分成n个部分，在下列选项中，n的值正确的有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】BCD
【分析】三个平面可以把空间分成个部分，即可选出答案.
【详解】三个平面两两平行，分成4个部分，如图1
三个平面中有2个平行，另一个与它们相交，分成6个部分，如图2
三个平面两两相交于同一直线，分成6个部分，如图3
三个平面两两相交，三条交线两两平行，这时把空间分成7个部分，如图4
三个平面两两相交，三条交线共点，这时把空间分成8个部分，如图5
故选：BCD
10．(多选题)下列叙述中正确的是（ ）
A．三点能确定一个平面
B．若点且，则
C．若直线，则直线与直线能够确定一个平面
D．若点，且，则
【答案】BCD
【分析】据题意，结合立体几何的公理，依次分析选项，即可得到结果．
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，不共线的三点确定一个平面，故A错误；
对于B，若点且，则由公理二知，故B正确；
对于C，两条相交直线可以确定一个平面，故C正确；
对于D，若点，且，则由公理一知l α，D正确.
故选：BCD．
11．已知，，若，，那么直线与平面有______个公共点．
【答案】
【分析】结合点、线、面的位置关系，作出图形，即可求解.
【详解】如图所示，因为，，且，，可得直线与平面相交，
所以直线与平面有且仅有个公共点.
故答案为：.
12．请给下列各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形．
【答案】作图见解析
【分析】在立体几何中，被遮挡直线画成虚线.
【详解】解：图①可看成平面被挡住一部分；图②可看成三棱锥；图③可看成是一个正方体，添加虚线即可．
如图．
13．如图，已知的三个顶点都不在平面内，它的三边延长后分别交平面于点,求证：三点在同一条直线上．
【答案】证明见解析
【分析】根据公理3，平面与平面必相交于一条直线，设为直线l，结合平面的性质，即可求解.
【详解】证明：由已知的延长线交平面于点，
根据公理3，平面与平面必相交于一条直线，设为直线l，
因为直线，所以平面，
又因为，所以平面，所以是平面与平面的公共点．
因为平面，所以．
同理可得：且．
所以三点在同一条直线上．
14．如图，、、、分别是空间四边形的、、、边上的点，且直线与直线交于点.求证：、、三点共线．
【答案】证明见详解
【分析】根据题意，先证明平面，同理得到平面，再由平面平面，即可证明结论成立.
【详解】因为，，所以平面，平面，
所以平面，
因为，所以平面；
同理平面，
又平面平面，
所以，
即、、三点共线.
【点睛】本题主要考查证明三点共线，熟记平面的基本性质即可，属于基础题型.必修第二册 第八章专题
平面
一、知识梳理
1. 平面
(1)平面的概念：
(2)平面的画法：
(3)平面的表示法：
2 点、线、面之间的位置关系
(1)直线在平面内的概念
如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.
(2)一些文字语言与符号语言的对应关系：
文字语言表达 符号语言表示 文字语言表达 符号语言表示
点A在直线l上 点A在直线l外
点A在平面α内 点A在平面α外
直线l在平面α内 直线l在平面α外
直线l，m相交于点A 平面α，β相交于直线l
3．平面的基本性质及作用
基本事实 内容 图形 符号 作用
基本事实1 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α 一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据
基本事实2 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α 既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的
基本事实3 P∈α且P∈β α∩β＝l，且P∈l ①判定两平面相交的依据 ②判定点在直线上
推论1
推论2
推论3
二、类型应用：
1．若点在直线上，在平面内，则用符号表示 之间的关系可记作___________.
2.下图中的两个相交平面，其中画法正确的是______．
3．根据图，填入相应的符号：
A______平面ABC；
A______平面BCD；
BD______平面ABD．
4．下列条件中不能确定一个平面的是（ ）
A．不共线三点 B．两条相交直线 C．两条平行直线 D．四边形
5．已知空间四点中，无三点共线，则经过其中三点的平面有（ ）
A．一个 B．四个 C．一个或四个 D．无法确定平面的个数
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合
B．若四点不共面，则其中任意三点不共线
C．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内
D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分
7．下列命题中正确的是（ ）
A．过三点确定一个平面 B．四边形是平面图形
C．三条直线两两相交则确定一个平面 D．两个相交平面把空间分成四个区域
8．(多选题)下列说法正确的是（ ）
A．梯形的四个顶点共面
B．三条平行直线共面
C．有三个公共点的两个平面重合
D．三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.
9．(多选题)三个平面可以把空间分成n个部分，在下列选项中，n的值正确的有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
10．(多选题)下列叙述中正确的是（ ）
A．三点能确定一个平面
B．若点且，则
C．若直线，则直线与直线能够确定一个平面
D．若点，且，则
11．已知，，若，，那么直线与平面有______个公共点．
12．请给下列各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形．
13．如图，已知的三个顶点都不在平面内，它的三边延长后分别交平面于点,求证：三点在同一条直线上．
14．如图，、、、分别是空间四边形的、、、边上的点，且直线与直线交于点.求证：、、三点共线．
