4.1第2课时 数列的递推公式与前n项和
课程标准 熟悉课标，把握重点
知识梳理 掌握概念，升华提升
基础自测 单选 1★+2★+3★ 多选 4★ 填空5★
题型归类 题型一：由递推公式求数列的项
单选1★+2★+3★★多选4★★填空5★+6★★解答7★+方法总结
题型二：由递推公式求通项公式的一般方法
单选1★★+填空2★★+解答3★★4★★
题型三：累加法求通项公式
单选1★+2★+3★4填空★★★5解答★★+方法总结
题型四：累乘法求通项公式
填空1★+2★★★解答3★★4★★+方法总结
题型五：由数列的前n项和求通项公式
单选1★+2★+填空3★4★解答5★+6★★7★★+方法总结
题型六：数列的周期性
单选1★★+2★★多选3★★填空4★★+5★★解答6★★+方法总结
分层测试 单选6题1★+2★ + 3★+4★+5★★+6★★★
多选3题7★+8★★+9★★★
填空3题10★+11★★+12★★★
解答4题13★+14★+15★★+16★★★
一、课程标准
1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是一种特殊函数．
3.理解数列递推公式的含义，会用递推公式解决有关问题。
4.掌握数列的前n项和Sn与通项公式an的关系。
二、知识梳理
1.递推公式
(1)概念：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
(2)作用：递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项．
2．数列的表示方法
数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法，以数列2，4，6，8，10，12，…为例，表示如下：①通项公式法：an＝2n.
②递推公式法：
③列表法：
n 1 2 3 … k …
an 2 4 6 … 2k …
④图象法：
3．数列递推公式与通项公式的关系
递推公式 通项公式
区别 表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系
联系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式．
4．数列的前n项和
数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an。
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式。
显然S1＝a1，而Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)，于是我们有an＝
【升华提升】
1.数列的四种表示方法
(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法.
2.数列通项公式的求法
(1)观察法.根据给出数列的前几项观察归纳；
(2)累加法.适合类型为an＋1＝an＋f(n)；
(3)累乘法.适合类型为an＋1＝anf(n)；
(4)利用an与Sn关系，即an＝
3.通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列an与n之间关系的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.
4.与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式。
5.递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项。
三、基础自测
1.（单选）符合递推公式an＝an－1的数列是( )
A．1,2,3,4，…
B．1，，2,2，…
C.，2，，2，…
D．0，，2,2，…
2.（单选）数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝( )
A.－3 B．－11 C．－5 D．19
3.（单选）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1(n∈N*)，则a5等于( )
A．32 B．31 C．16 D．15
4.（多选）已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，则下列说法正确的是( )
A．a1＝3 B．an＝2n(n≥2)
C．an＝2n D．an＝2n(n≥2)
5.（填空）已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2＋n，则an＝________。
四、题型归类
【题型一】由递推公式求数列的项
1★（单选） 若a1＝1，an＋1＝，则给出的数列{an}的第4项是( )
A. B． C． D．
2★（单选）已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第3项是( )
A．1 B. C. D.
3★★（单选）数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于( )
A. B． C． D．
4★★（多选）由1，3，5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝abn－1，则( )
A.b3的值是7
B.b4的值是9
C.b5的值是15
D.b6的值是33
5★（填空）已知a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝________．
6★★（填空）已知数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N*)，则a9＝________.
7★（解答）设数列{an}满足写出这个数列的前5项。
【题型二】由递推公式求通项公式的一般方法
1★★（单选）下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是( )
A．an＋1＝an＋n，n∈N*
B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C．an＋1＝an＋，n∈N*，n≥2
D．an＝an－1＋，n∈N*，n≥2
2★★（填空）已知数列{an}中a1＝1，对所有n≥2都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则an＝________。
3★★（解答）根据下列条件，写出数列的前4项，并猜想它的通项公式。
(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)；
(2)a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N*)。
4★★（解答）已知函数f(x)＝x－.数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0.求数列{an}的通项公式．
【题型三】累加法求通项公式
1★（单选）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则an等于( )
A. B. C. D.
2★（单选）已知a1＝1，an＝an－1＋3(n≥2，n∈N*)，则数列的通项公式为( )
A．an＝3n＋1 B．an＝3n
C．an＝3n－2 D．an＝3(n－1)
3★（单选）若数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，则a17＝( )
A．13 B．14 C．15 D．16
4★★★（填空）已知各项不为0的数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2，n∈N*)，则an＝________。
5★★（解答）已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，求an.
【题型四】累乘法求通项公式
1★（填空） 若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1，且a1＝1，则a100＝________．
2★★★（填空）设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n∈N*)，则它的通项公式an＝________.
3★★（解答）设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求数列的通项公式。
4★★（解答）已知数列{an}中，a1＝1，当n∈N*且n≥2时，(2n＋1)an＝(2n－3)an－1，求通项公式。
【题型五】由数列的前n项和求通项公式
1★（单选）设数列前n项和为Sn，已知Sn＝3an－n，则a3＝( )
A． B．
C． D．
2★（单选）已知数列的前n项和Sn＝n2，则an等于( )
A．n B．n2 C．2n＋1 D．2n－1
3★（填空）已知数列的前n项和Sn＝n2－3n－1，则an＝________．
4★（填空）设数列{an}的前n项和为Sn＝2n－3，则an＝________.
5★（解答）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求a1及an.
6★★（解答）已知下面数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式。
(1)Sn＝2n2－3n；
(2)Sn＝3n＋b。
7★★★（解答）(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋1，求通项an；
(2)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n2(n∈N*)，求数列{an}的通项公式.
【题型六】数列的周期性
1★★（单选） 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1，n∈N*，则a2 023等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
2★★（单选）在数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－，则a2 023等于( )
A. B．－1
C．2 D．3
3★★（多选） 已知数列{xn}满足x1＝a，x2＝b，xn＋1＝xn－xn－1(n≥2)，则下列结论正确的是( )
A.x2 022＝a
B.x2 023＝a－b
C.x13＝x2 023
D.x1＋x2＋…＋x2 023＝a
4★★（填空）已知函数f(x)的部分对应值如表所示。数列{an}满足a1＝1，且对任意的n∈N*，点(an，an＋1)都在函数f(x)的图象上，则a2 021的值为________。
x 1 2 3 4
f(x) 3 1 2 4
5★★（填空）在一个数列中，如果对任意n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.
7★★（解答）已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{an}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 018项？
五、分层测试
一、单选题
1★ 数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝( )
A．－3 B．－11
C．－5 D．19
2★在已知数列{an}中，an＝n2＋n，则a3＝( )
A．3 B．9
C．12 D．20
3★已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an，则an等于( )
A．n＋1 B．n
C. D.
4★已知数列{an}满足an＝＋1(n≥2，n∈N*)，若a4＝，则a1等于( )
A．1 B. C．2 D.
5★★设an＝＋＋＋…＋(n∈N*)，那么an＋1－an等于( )
A. B.
C.＋ D.－
6★★★公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，满足an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022等于( )
A．a2 021 B．a2 022 C．a2 023 D．a2 024
二、多选题
7★数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A．an＋1＝an＋n，n∈N*
B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2
8★★已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝3，则下列结论正确的是( )
A．a2＝－ B．a5＝
C．数列的周期为3 D．a2 019＝
9★★★已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a4＝4，则m所有可能的取值为( )
A．4 B．5
C．21 D．32
三、填空题
10★数列{an}中，an＋1＝an＋n，则a2 011－a2 010＝________。
11★★已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，第k项满足5
12★★★在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝
四、简答题
13★已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72.
(1)求实数q的值；
(2)判断－81是否为此数列中的项．
14★已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an.
(1)Sn＝2n2＋3n＋2；
(2)Sn＝3n－1.
15★★已知数列{an}满足a1＝，an＝an－1＋(n≥2)，求数列{an}的通项公式。
16★★★ 设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n。
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和。4.1第2课时 数列的递推公式与前n项和
课程标准 熟悉课标，把握重点
知识梳理 掌握概念，升华提升
基础自测 单选 1★+2★+3★ 多选 4★ 填空5★
题型归类 题型一：由递推公式求数列的项
单选1★+2★+3★★多选4★★填空5★+6★★解答7★+方法总结
题型二：由递推公式求通项公式的一般方法
单选1★★+填空2★★+解答3★★4★★
题型三：累加法求通项公式
单选1★+2★+3★4填空★★★5解答★★+方法总结
题型四：累乘法求通项公式
填空1★+2★★★解答3★★4★★+方法总结
题型五：由数列的前n项和求通项公式
单选1★+2★+填空3★4★解答5★+6★★7★★+方法总结
题型六：数列的周期性
单选1★★+2★★多选3★★填空4★★+5★★解答6★★+方法总结
分层测试 单选6题1★+2★ + 3★+4★+5★★+6★★★
多选3题7★+8★★+9★★★
填空3题10★+11★★+12★★★
解答4题13★+14★+15★★+16★★★
一、课程标准
1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是一种特殊函数．
3.理解数列递推公式的含义，会用递推公式解决有关问题。
4.掌握数列的前n项和Sn与通项公式an的关系。
二、知识梳理
1.递推公式
(1)概念：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
(2)作用：递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项．
2．数列的表示方法
数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法，以数列2，4，6，8，10，12，…为例，表示如下：①通项公式法：an＝2n.
②递推公式法：
③列表法：
n 1 2 3 … k …
an 2 4 6 … 2k …
④图象法：
3．数列递推公式与通项公式的关系
递推公式 通项公式
区别 表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系
联系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式．
4．数列的前n项和
数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an。
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式。
显然S1＝a1，而Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)，于是我们有an＝
【升华提升】
1.数列的四种表示方法
(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法.
2.数列通项公式的求法
(1)观察法.根据给出数列的前几项观察归纳；
(2)累加法.适合类型为an＋1＝an＋f(n)；
(3)累乘法.适合类型为an＋1＝anf(n)；
(4)利用an与Sn关系，即an＝
3.通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列an与n之间关系的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.
4.与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式。
5.递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项。
三、基础自测
1.（单选）符合递推公式an＝an－1的数列是( )
A．1,2,3,4，…
B．1，，2,2，…
C.，2，，2，…
D．0，，2,2，…
【解析】B项中相邻的两项，后一项是前一项的倍，
符合递推公式an＝an－1。
故选B。
2.（单选）数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝( )
A.－3 B．－11 C．－5 D．19
【解析】由an＋1＝an＋2－an，
得an＋2＝an＋an＋1，
则a3＝a1＋a2＝7，a4＝a2＋a3＝12，
a5＝a3＋a4＝19.
故选D.
3.（单选）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1(n∈N*)，则a5等于( )
A．32 B．31 C．16 D．15
【解析】当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，
当n＝5时，a5＝24＝16.
故选C。
4.（多选）已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，则下列说法正确的是( )
A．a1＝3 B．an＝2n(n≥2)
C．an＝2n D．an＝2n(n≥2)
【解析】Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n.当n＝1时，不符合上式，故an＝
故选AD。
5.（填空）已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2＋n，则an＝________。
【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n－2(n－1)2－(n－1)＝4n－1。当n＝1时，a1＝S1＝2×1＋1＝3＝4×1－1，满足上式，所以an＝4n－1(n∈N*)。
答案 4n－1
四、题型归类
【题型一】由递推公式求数列的项
1★（单选） 若a1＝1，an＋1＝，则给出的数列{an}的第4项是( )
A. B． C． D．
【解析】a2＝＝＝，
a3＝＝＝，
a4＝＝＝.
故选C.
2★（单选）已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第3项是( )
A．1 B. C. D.
【解析】a1＝1，a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝.
故选C。
3★★（单选）数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于( )
A. B． C． D．
【解析】由题意a1a2a3＝32，a1a2＝22，
a1a2a3a4a5＝52，a1a2a3a4＝42，
则a3＝＝，a5＝＝.
故a3＋a5＝.
故选C.
4★★（多选）由1，3，5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝abn－1，则( )
A.b3的值是7
B.b4的值是9
C.b5的值是15
D.b6的值是33
【解析】因为bn＝abn－1，所以b2＝ab1＝a2＝3，b3＝ab2＝a3＝5，b4＝ab3＝a5＝9，b5＝ab4＝a9＝17，b6＝ab5＝a17＝33.
故选BD。
5★（填空）已知a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝________．
【解析】由a1＝1，an＝1＋，
得a2＝2，a3＝，a4＝，a5＝.
答案：
6★★（填空）已知数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N*)，则a9＝________.
【解析】a1a2…a8＝82，①
a1a2…a9＝92，②
②÷①得，a9＝＝.
答案
7★（解答）设数列{an}满足写出这个数列的前5项。
【解析】由题意可知a1＝1，a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝，a5＝1＋＝1＋＝。
【方法总结】
递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系。对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则需要知道首项(或前几项)，才能依次求得其他各项。若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性。
【题型二】由递推公式求通项公式的一般方法
1★★（单选）下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是( )
A．an＋1＝an＋n，n∈N*
B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C．an＋1＝an＋，n∈N*，n≥2
D．an＝an－1＋，n∈N*，n≥2
【解析】结合图象易知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4，
∴an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2.
故选B。
2★★（填空）已知数列{an}中a1＝1，对所有n≥2都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则an＝________。
【解析】当n≥2时，an＝＝，因为a1＝1不符合上式，所以an＝
答案
3★★（解答）根据下列条件，写出数列的前4项，并猜想它的通项公式。
(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)；
(2)a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N*)。
【解析】(1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9。
猜想：an＝(n－1)2(n∈N*)。
(2)a1＝1，a2＝，a3＝＝2，a4＝。
猜想：an＝(n∈N*)。
4★★（解答）已知函数f(x)＝x－.数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0.求数列{an}的通项公式．
【解析】因为f(x)＝x－，所以f(an)＝an－，
因为f(an)＝－2n.
所以an－＝－2n，
即a＋2nan－1＝0.
所以an＝－n±.
因为an>0，所以an＝－n.
【方法总结】
1.归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．(只适用于选择题、填空题)
【题型三】累加法求通项公式
1★（单选）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则an等于( )
A. B. C. D.
【解析】方法一 (归纳法) 数列的前5项分别为
a1＝1，a2＝1＋1－＝2－＝，
a3＝＋－＝2－＝，
a4＝＋－＝2－＝，
a5＝＋－＝2－＝，
又a1＝1，
由此可得数列的一个通项公式为
an＝.
方法二 (迭代法) a2＝a1＋1－，
a3＝a2＋－，…，
an＝an－1＋－(n≥2)，
则an＝a1＋1－＋－＋－＋…＋－
＝2－＝(n≥2)．
又a1＝1也适合上式，
所以an＝(n∈N*)．
方法三 (累加法) an＋1－an＝－，
a1＝1，
a2－a1＝1－，
a3－a2＝－，
a4－a3＝－，
…
an－an－1＝－(n≥2)，
以上各项相加得
an＝1＋1－＋－＋…＋－.
所以an＝(n≥2)．
因为a1＝1也适合上式，
所以an＝(n∈N*)．
故选B。
2★（单选）已知a1＝1，an＝an－1＋3(n≥2，n∈N*)，则数列的通项公式为( )
A．an＝3n＋1 B．an＝3n
C．an＝3n－2 D．an＝3(n－1)
【解析】因为an＝an－1＋3，所以an－an－1＝3.
所以a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，…，an－an－1＝3，
以上各式两边分别相加，得an－a1＝3(n－1)，
所以an＝a1＋3(n－1)＝1＋3(n－1)＝3n－2.
当n＝1时，也适合上式．
故选C。
3★（单选）若数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，则a17＝( )
A．13 B．14 C．15 D．16
【解析】由an＋1＝ an＋1－an＝，a17＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a17－a16)＝1＋×16＝13.
故选A。
4★★★（填空）已知各项不为0的数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2，n∈N*)，则an＝________。
【解析】因为anan－1＝an－1－an(n≥2)，且各项均不为0，所以－＝1(n≥2)。所以当n≥2时，＝＋＋＋…＋＝2＋＝n＋1，所以当n≥2时，an＝。因为a1＝也符合上式，所以an＝(n∈N*)。
答案
5★★（解答）已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，求an.
【解析】由题意得an＋1－an＝ln ，
所以an－an－1＝ln (n≥2)，
an－1－an－2＝ln ，
…，
a2－a1＝ln .
所以当n≥2时，an－a1
＝ln ＝ln n，
所以an＝2＋ln n(n≥2).
当n＝1时，a1＝2＋ln 1＝2，符合上式，
所以an＝2＋ln n(n∈N*).
【方法总结】
用“累加法”求数列的通项公式
当an－an－1＝f(n)(n≥2)满足一定条件时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1来求通项公式。
【题型四】累乘法求通项公式
1★（填空） 若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1，且a1＝1，则a100＝________．
【解析】由(n－1)an＝(n＋1)an－1，
即＝，则a100＝a1···…·
＝1×××…×＝5 050.
答案：5 050
2★★★（填空）设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n∈N*)，则它的通项公式an＝________.
【解析】法一(累乘法) 把(n＋1)a－na＋an＋1an＝0分解因式，得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.
∵an＞0，∴an＋1＋an＞0，
∴(n＋1)an＋1－nan＝0，
∴＝，∴···…·
＝×××…×，
∴＝.
又∵a1＝1，∴an＝a1＝.
法二(迭代法) 同法一，得＝，
∴an＋1＝an，
∴an＝·an－1＝··an－2
＝···an－3
…
＝···…·a1＝a1.
又∵a1＝1，∴an＝.
法三(构造特殊数列法) 同法一，得＝，
∴(n＋1)an＋1＝nan，
∴数列{nan}是常数列，
∴nan＝1·a1＝1，∴an＝.
3★★（解答）设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求数列的通项公式。
【解析】因为a1＝1，an＝an－1(n≥2)，所以＝，
an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝。
又因为n＝1时，a1＝1，符合上式，
所以an＝。
4★★（解答）已知数列{an}中，a1＝1，当n∈N*且n≥2时，(2n＋1)an＝(2n－3)an－1，求通项公式。
【解析】当n≥2时，
因为(2n＋1)an＝(2n－3)an－1，
所以＝，
所以···…··＝···…··＝。
所以＝，又a1＝1，
所以an＝，
当n＝1时，a1＝1符合上式，
所以an＝，n∈N*。
【方法总结】
用“累乘法”求数列的通项公式
当＝g(n)(n≥2)满足一定条件时，常用an＝···…··a1来求通项公式。
【题型五】由数列的前n项和求通项公式
1★（单选）设数列前n项和为Sn，已知Sn＝3an－n，则a3＝( )
A． B．
C． D．
【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3an－n－，
整理得2an＝3an－1＋1，
又S1＝a1＝3a1－1，得a1＝，
所以2a2＝3a1＋1＝＋1，得a2＝，
所以2a3＝3a2＋1＝＋1，得a3＝.
故选C。
2★（单选）已知数列的前n项和Sn＝n2，则an等于( )
A．n B．n2 C．2n＋1 D．2n－1
【解析】当n＝1时，a1＝S1＝12＝1，
当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1得an＝n2－2＝2n－1，
验证当n＝1时，a1＝2×1－1＝1满足上式．
故数列的通项公式为an＝2n－1.
故选D。
3★（填空）已知数列的前n项和Sn＝n2－3n－1，则an＝________．
【解析】当n＝1时，a1＝S1＝1－3－1＝－3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－3n－1－[(n－1)2－3(n－1)－1]＝2n－4，
当n＝1时，2－4＝－2≠a1，所以an＝
答案：
4★（填空）设数列{an}的前n项和为Sn＝2n－3，则an＝________.
【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－[2(n－1)－3]＝2，又a1＝S1＝2×1－3＝－1，故an＝
答案
5★（解答）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求a1及an.
【解析】因为Sn＝2n2－30n，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.
验证当n＝1时上式成立，
所以an＝4n－32，n∈N*.
6★★（解答）已知下面数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式。
(1)Sn＝2n2－3n；
(2)Sn＝3n＋b。
【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于a1也适合此式，
所以an＝4n－5。
(2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋b，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1。
当b＝－1时，a1适合此式。
当b≠－1时，a1不适合此式。
所以当b＝－1时，an＝2·3n－1；
当b≠－1时，an＝
7★★★（解答）(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋1，求通项an；
(2)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n2(n∈N*)，求数列{an}的通项公式.
【解析】(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝－
＝2n－.①
当n＝1时，a1＝S1＝12＋＋1＝不符合①式.
∴an＝
(2)由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n2(n∈N*)，①
可得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)2，②
所以由①－②得nan＝n2－(n－1)2
＝2n－1，
即an＝2－(n≥2，n∈N*)，
当n＝1时，a1＝1也满足，
所以an＝2－(n∈N*).
【方法总结】
已知Sn求an的3个步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1；
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时，an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写。
【题型六】数列的周期性
1★★（单选） 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1，n∈N*，则a2 023等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
【解析】∵a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1，
∴a3＝1－a1－a2＝1－1－2＝－2，
a4＝1－a3－a2＝1－(－2)－2＝1，
a5＝1－a4－a3＝1－1－(－2)＝2，
…
由此推理可得数列{an}是一个周期为3的周期数列，
∴a2 023＝a1＝1.
故选C。
2★★（单选）在数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－，则a2 023等于( )
A. B．－1
C．2 D．3
【解析】当n＝1时，a2＝1－＝－1；
当n＝2时，a3＝1－＝2；
当n＝3时，a4＝1－＝＝a1；a5＝1－＝－1＝a2；a6＝2＝a3；…
所以数列{an}是一个周期为3的周期数列，
故a2 023＝a3×674＋1＝a1＝.
故选A。
3★★（多选） 已知数列{xn}满足x1＝a，x2＝b，xn＋1＝xn－xn－1(n≥2)，则下列结论正确的是( )
A.x2 022＝a
B.x2 023＝a－b
C.x13＝x2 023
D.x1＋x2＋…＋x2 023＝a
【解析】x1＝a，x2＝b，x3＝x2－x1＝b－a，
x4＝x3－x2＝－a，x5＝x4－x3＝－b，
x6＝x5－x4＝a－b，
x7＝x6－x5＝a＝x1，
x8＝x7－x6＝b＝x2，
∴{xn}是周期数列，周期为6，
∴x2 022＝x6＝a－b，A不正确；
x2 023＝x1＝a，B不正确；
x2 023＝x1＝x13，C正确；
x1＋x2＋…＋x2 023＝x1＝a，D正确.
故选CD。
4★★（填空）已知函数f(x)的部分对应值如表所示。数列{an}满足a1＝1，且对任意的n∈N*，点(an，an＋1)都在函数f(x)的图象上，则a2 021的值为________。
x 1 2 3 4
f(x) 3 1 2 4
【解析】由题知，an＋1＝f(an)，a1＝1。所以a2＝f(1)＝3，a3＝f(a2)＝f(3)＝2，a4＝f(a3)＝f(2)＝1，…，依此类推，可得{an}是周期为3的周期数列，所以a2 021＝a673×3＋2＝a2＝3。
答案 3
5★★（填空）在一个数列中，如果对任意n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.
【解析】依题意得数列{an}是周期为3的数列，
且a1＝1，a2＝2，a3＝4，
因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
答案 28
7★★（解答）已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{an}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 018项？
【解析】a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…。
规律：an＋6＝an，数列{an}具有周期性，周期T＝6。
证明如下：
因为an＋2＝an＋1－an，
所以an＋3＝an＋2－an＋1＝(an＋1－an)－an＋1＝－an。
所以an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an。
所以数列{an}是周期数列，且T＝6。
所以a2 018＝a336×6＋2＝a2＝2。
【方法总结】
递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系．对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若序号很大，则应考虑数列是否具有规律性(周期性)．
五、分层测试
一、单选题
1★ 数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝( )
A．－3 B．－11
C．－5 D．19
【解析】因为an＋1＝an＋2－an，所以an＋2＝an＋1＋an，又因为a1＝2，a2＝5，所以a3＝a1＋a2＝7，a4＝a3＋a2＝12，a5＝a4＋a3＝19。
故选D。
2★在已知数列{an}中，an＝n2＋n，则a3＝( )
A．3 B．9
C．12 D．20
【解析】因为数列{an}中，an＝n2＋n，所以a3＝9＋3＝12。
故选C。
3★已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an，则an等于( )
A．n＋1 B．n
C. D.
【解析】由题意，因为数列{an}满足an＋1＝an，所以＝，
所以an＝··…···a1＝××…×××1＝.
故选D。
4★已知数列{an}满足an＝＋1(n≥2，n∈N*)，若a4＝，则a1等于( )
A．1 B. C．2 D.
【解析】∵a4＝，a4＝＋1，∴a3＝，
又∵a3＝＋1，∴a2＝2，
又∵a2＝＋1，∴a1＝1.
故选A。
5★★设an＝＋＋＋…＋(n∈N*)，那么an＋1－an等于( )
A. B.
C.＋ D.－
【解析】∵an＝＋＋＋…＋，
∴an＋1＝＋＋…＋＋＋，
∴an＋1－an＝＋－＝－.
故选D。
6★★★公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，满足an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022等于( )
A．a2 021 B．a2 022 C．a2 023 D．a2 024
【解析】由于an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，
则1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a3＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a5＋a6＋…＋a2 022＝a2 021＋a2 022＝a2 023.
故选C。
二、多选题
7★数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A．an＋1＝an＋n，n∈N*
B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2
【解析】由已知得，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，经检验，BC正确。
故选BC。
8★★已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝3，则下列结论正确的是( )
A．a2＝－ B．a5＝
C．数列的周期为3 D．a2 019＝
【解析】由题意，可知a1＝3，a2＝＝＝－，a3＝＝＝，a4＝＝＝3，a5＝＝＝－，…所以数列{an}是一个以3为最小正周期的周期数列。因为2 019÷3＝673，所以a2 019＝a3＝。
故选ACD。
9★★★已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a4＝4，则m所有可能的取值为( )
A．4 B．5
C．21 D．32
【解析】若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1。若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)；若a2为偶数，则＝1，a2＝2。若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝(舍去)，若a1为偶数，则＝2，a1＝4。若a3为偶数，则＝4，a3＝8。若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝(舍去)；若a2为偶数，则＝8，a2＝16。若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5；若a1为偶数，则＝16，a1＝32。故m所有可能的取值为4,5,32。
故选ABD。
三、填空题
10★数列{an}中，an＋1＝an＋n，则a2 011－a2 010＝________。
【解析】因为an＋1＝an＋n，所以an＋1－an＝n，所以a2 011－a2 010＝2 010。
答案 2 010
11★★已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，第k项满足5【解析】当n＝1时，a1＝S1＝－5；
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2－6(n－1)＝n2－8n＋7，
an＝Sn－S n－1＝2n－7，
当n＝1时，a1＝－5符合上式，
所以{an}的通项公式为an＝2n－7，
所以ak＝2k－7.
由5<2k－7<8解得6因为k为正整数，所以k＝7.
答案 7
12★★★在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝
【解析】法一(迭代法) 由题意得
a2＝a1＋ln＝a1＋ln ，
a3＝a2＋ln＝a2＋ln ，
a4＝a3＋ln ，
…，
an＝an－1＋ln＝an－1＋ln (n≥2)，
则an＝a1＋ln ＋ln ＋ln ＋…＋ln
＝a1＋ln
＝2＋ln n(n≥2).
又a1＝2＝2＋ln 1，符合上式，
所以an＝2＋ln n.
法二(累加法) 由题意得an＋1－an
＝ln＝ln(1＋n)－ln n，
a1＝2，
a2－a1＝ln 2，
a3－a2＝ln 3－ln 2，
a4－a3＝ln 4－ln 3，
…，
an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)，
以上各式两边分别相加，
得an＝2＋ln 2＋(ln 3－ln 2)＋…＋[ln n－ln(n－1)](n≥2).
所以an＝2＋ln n(n≥2).
因为a1＝2也适合上式，所以an＝2＋ln n.
四、简答题
13★已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72.
(1)求实数q的值；
(2)判断－81是否为此数列中的项．
【解析】(1)由题意知q4－q2＝72，
则q2＝9或q2＝－8(舍去)，
∴q＝±3.
(2)当q＝3时，an＝3n.
显然－81不是此数列中的项；
当q＝－3时，an＝(－3)n.
令(－3)n＝－81，无解，
∴－81不是此数列中的项．
14★已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an.
(1)Sn＝2n2＋3n＋2；
(2)Sn＝3n－1.
【解析】 (1)当n＝1时，a1＝S1＝7，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n2＋3n＋2－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝4n＋1，
又a1＝7不适合上式，
所以an＝
(2)当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝2×3n－1，显然a1＝2适合上式，
所以an＝2×3n－1(n∈N*)．
15★★已知数列{an}满足a1＝，an＝an－1＋(n≥2)，求数列{an}的通项公式。
【解析】因为an＝an－1＋(n≥2)，
所以an－an－1＝＝－，
所以a2－a1＝－，
a3－a2＝－，…，
an－an－1＝－(n≥2)。
以上各式相加，
得an－a1＝－(n≥2)，
所以an＝a1＋－＝(n≥2)，
又a1＝适合an＝，
故数列{an}的通项公式为an＝。
16★★★ 设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n。
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和。
【解析】(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)·an－1＝2(n－1)。
两式相减得(2n－1)an＝2，
所以an＝(n≥2)。
又由题设可得a1＝2，满足上式，
所以{an}的通项公式为an＝。
(2)记的前n项和为Sn。
由(1)知＝＝－。
则Sn＝－＋－＋…＋－＝。