单元培优易错题第二单元：长方体（一）-五年级下册数学培优卷（北师大版）（含答案）

单元培优易错题第二单元：长方体（一）
五年级下册数学培优卷（北师大版）
学校:___________姓名：___________班级：___________
一、选择题
1．用铁丝搭一个长8cm，宽5cm，高3cm的长方体框架，共需铁丝（ ）cm。
A．64 B．16 C．32 D．以上答案都不正确
2．一根铁丝恰好能围成棱长是7cm的正方体，如果用同样长的铁丝围成长为10cm，宽为6cm的长方体，围成的长方体的表面积是（ ）。
A．260 B．270 C．280 D．290
3．实践出真知。淘气要用铁丝做一个棱长为4dm的正方体框架，至少需要长度为（ ）的铁丝。
A．24dm B．48dm C．64dm D．96dm
4．如图，在图上再补画2个小正方形，使其折叠后能围成一个正方体。下面的四种画法中，不正确的是（ ）。
A． B． C． D．
5．镇安大板栗以个大色润、甜脆可口、颗粒饱满、营养丰富、品质独特而闻名全国，被誉为“中国板栗之乡”。如图是一个正方体的平面展开图，则原正方体中，与“中”字所在的面相对的面上的字是（ ）。
A．板 B．栗 C．之 D．乡
6．选择哪几组小棒可以搭成一个长方体框架？（ ）。
A．①②③ B．①②⑤ C．②③④ D．①②③⑤
7．下列图形中，不能围成正方体的是（ ）。
A． B． C． D．
8．把一个棱长是adm的正方体，任意截成两个长方体，这两个长方体的表面积之和是（ ）。
A． B． C． D．
9．有一个长26cm、宽18cm、高7mm的物体，它可能是（ ）。
A．洗衣机 B．数学书 C．黑板擦 D．鱼缸
二、填空题
10．一个无盖的玻璃鱼缸，长是6分米，宽和高都是5分米，制作这样一个鱼缸至少需要玻璃________平方分米。
11．如图，8个棱长为1分米的正方体块放在墙角处，则这堆小方块露在外面的面积是( )平方分米。
12．所有的坚持，会驱散阴霾和黑暗！所有的信念，会凝聚起力量和希望！我们终将战胜疫情！在下面这个正方体的展开图里分别填上“战”和“胜”，使得这个展开图围成正方体后，“疫”与“战”相对，“情”与“胜”相对。
13．把一个长12分米，宽8分米，高4分米的长方体截成两个同样的长方体，则它的表面积最多增加( )平方分米，至少增加( )平方分米。
14．长方体最多有( )个面是长方形，最多有( ) 个面是正方形。
15．2022年5月10日在人民大会堂举行了“庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会”，中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平在会上发表重要讲话强调，青春孕育无限希望，青年创造美好明天。下图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，与“望”字相对面上的字是“( )”。
16．用下面的五块有机玻璃做成一个无盖的长方体鱼缸，底面应是( )号，制作一个这样的鱼缸需要( )平方分米的玻璃。（接缝处忽略不计）
17．一块长5厘米，宽和高都是3厘米的长方体木块涂上红漆，晒干后锯成棱长都是1厘米的小正方体木块，其中有( )块一面有红漆，( )块两面有红漆，( )块三面有红漆，( )块是没有涂漆的。
18．把一个棱长6厘米的正方体平均分成3个长方体，表面积增加了( )平方厘米。
三、判断题
19．长方体最多能有四个面完全相同。( )
20．如图是每个面上都标有一个汉字的正方体的平面展开图，在此正方体上与“天”字相对的面上的汉字是“镇”。( )
21．正方体的6个面一定是正方形，长方体的6个面一定都是长方形。( )
22．一个正方体的棱长扩大到原米的2倍，它的表面积也扩大到原来的2倍。( )
23．左图是正方体的一种展开图。( )
24．4个小正方体摆放在一起，露在外面的面一定有14个。( )
25．用4个相同的正方体可以搭成一个更大的正方体。( )
26．一个长方体相交于一个顶点的三条棱长总和是20厘米，则这个长方体的棱长总和是80厘米。( )
四、解答题
27．有一个棱长是5厘米的正方体，在它的前面打一个边长为1厘米的正方形孔洞（打通），在它的上面也打一个边长为1厘米的正方形孔洞（打通）， 两个孔洞相交。求剩余部分的表面积是多少平方厘米？
28．张红制作了贺卡和小星是，准备装在一个正方体纸盒组送给李老师。包装这个盒子的用纸是其表面积的1.3倍。至少要买多少平方分米的包装纸？
29．网购已经成为人们生活中一种十分普遍的现象，淘宝店铺也相应的增加。有人在张叔叔店铺下单3本书，他要将这3本书包装在一起寄给买家，怎样包才能节约包装纸？至少需要多大面积的包装纸？（接口处不计）
30．（1）小明家新买了一台洗衣机，请你帮他算一算，放置这台洗衣机要占多大面积？
（2）如果给洗衣机缝制一个布罩，至少需要多大面积的布料？（接缝处忽略不计，底面不需要）
31．大小不同的两个正方体积木粘在一起，构成下图所示的立体图形，其中小积木的下底面的四个顶点，恰好是大积木的上底面各边的中点。如果大积木的棱长为4分米，那么这个立体图形的表面积是多少平方分米？
参考答案：
1．A
【分析】求铁丝的长度就是求长方体的棱长之和。长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4，据此代入数据计算。
【详解】（8＋5＋3）×4
＝16×4
＝64（cm）
故答案为：A
本题考查长方体有关棱长的应用。掌握求长方体棱长之和的公式是解题的关键。
2．C
【分析】由题可知，铁丝的长度等于所围成的正方体的棱长总和，根据正方体的棱长和＝棱长×12，先求出铁丝的长度；根据用同样长的铁丝围成长为10cm，宽为6cm的长方体，长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，据此求出长方体的高，再根据长方体的表面积公式S＝（ab＋ah＋bh）×2，代入数据解答即可。
【详解】12×7＝84（cm）
84÷4－10－6
＝21－10－6
＝5（cm）
（10×6＋10×5＋6×5）×2
＝（60＋50＋30）×2
＝140×2
＝280（）
故答案为：C
本题主要考查正方体、长方体棱长和公式以及表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
3．B
【分析】根据正方体的棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，把数代入公式即可求解。
【详解】4×12＝48（dm）
所以至少需要长度为48dm的铁丝。
故答案为：B
本题主要考查棱长总和的公式，熟练掌握它的公式并灵活运用。
4．A
【分析】根据正方体展开图11种特征，即可确定哪个图形属于正方体展开图，能折叠成正方体，哪个图形不属于正方体展开图，不能折叠成正方体。
【详解】A．不属于正方体展开图，折叠后不能围成一个正方体；
B．属于正方体展开图中“1－3－2”型，折叠后可以围成一个正方体；
C．属于正方体展开图中“1－4－1”型，折叠后可以围成一个正方体；
D． 属于正方体展开图中“1－4－1”型，折叠后可以围成一个正方体。
故答案为：A
本题考查了对正方体展开图的认知，正方体展开图分四种类型，11种情况，需要熟练掌握每种情况的特征。
5．B
【分析】根据正方体展开图的特征，属于“1—3—2”型，折叠成正方体后，“中”与“栗”相对，“国”与“乡”相对，“板”与“之”相对；据此解答即可。
【详解】由分析得：原正方体中，与“中”字所在的面相对的面上的字是“栗”。
故答案为：B
此题考查了正方体展开图知识，关键是明白折成正方体后哪些面相对。
6．B
【分析】根据长方体的特征，长方体有12条棱，相对的四条棱长相等，按长度分为三组，每一组有4条棱，据此解答。
【详解】根据分析可知，长方体的长需要4条，宽需要4条，高需要4条，因此选择①②⑤这三组线段可以搭成长方体框架。
故答案为：B
本题考查长方体的棱长的特征。
7．A
【分析】根据正方体展开图的11种特征、4种类型“1－4－1”型、“2－3－1”型、“2－2－2”型、“3－3”型，进行判断即可。
【详解】A．，不符合正方体展开图的特征，不是正方体展开图，不能围成正方体；
B．，符合正方体展开图的：“1－4－1”型，能围成正方体；
C．，符合正方体展开图的“2－3－1”型，能围成正方体；
D．，符合正方体展开图的“1－4－1”型，能围成正方体。
故答案为：A
熟记正方体展开图的11种特征、4种类型是解题的关键。
8．C
【分析】根据正方体的特征，它的6个面都是正方形，6个面的面积相等，把棱长adm的正方体截成两个长方体，表面积增加两个截面面积，即两个边长是adm的正方形的面积，求这两个长方体的表面积，就是这个正方体的表面积，再加上两个截面面积的和，即可解答。
【详解】a×a×6＋a×a×2
＝a2×6＋a2×2
＝8a2（dm2）
把一个棱长是adm的正方体，任意截成两个长方体，这两个长方体的表面积之和是8a2dm2。
故答案为：C
本题主要考查正方体的特征和表面积的计算方法，关键是明确把一个正方体木块，平均分成两个小长方体木块，表面积增加两个截面的面积
9．B
【分析】根据生活经验和对长度单位的认识，洗衣机用分米作单位较好；数学书用厘米作单位；黑板擦用厘米作单位，数据要小一些；鱼缸用分米作单位较好；据此进行选择。
【详解】由分析可知：
有一个长26cm、宽18cm、高7mm的物体，它可能是数学书。
故答案为：B
本题主要考查对长度单位的认识。
10．140
【分析】求制作这样一个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米，就是求这个无盖长方体的表面积面积，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。
【详解】6×5＋（6×5＋5×5）×2
＝30＋（30＋25）×2
＝30＋55×2
＝30＋110
＝140（平方分米）
本题主要考查长方体表面积公式的运用，关键是熟记公式。
11．15
【分析】看图，数一数露在外面的有几个面。根据正方形的面积公式，求出1个面的面积，再利用乘法求出露在外面的面的面积和。
【详解】1×1×15＝15（平方分米）
则这堆小方块露在外面的面积是15平方分米。
本题考查了露在外面的面，数时需细心，避免犯错。
12．
【分析】根据正方体展开图的特征，，属于正方体展开图的：2－3－1型结构，围成正方体，找出“疫”字面对应的面，写出“战”字，找出“情”字面对应的面，写出“胜”字，据此解答。
【详解】根据分析可知，“疫”与“战”相对，“情”与“胜”相对的图形如下图：
。
熟记正方体展开图的特征是解答本题的关键。
13． 192 64
【分析】要使表面积增加的最多，也就是与比较大的面平行切，即与12×8的面平行切；要使表面积增加的最少，与较小的面平行切，即与8×4的面平行切，无论怎样切，都增加两个切面的面积。由此解答。
【详解】根据分析可得：
12×8×2＝192（平方分米）
8×4×2＝64（平方分米）
此题解答关键是理解：与比较大的面平行切，表面积增加的最大；与较小的面平行切，表面积增加的最少；无论怎样切都增加两个切面的面积。
14． 6
2
【分析】一般情况下长方体的长、宽、高各不相等，所以6个面全是长方形；特殊情况下，最多有2个相对的面是正方形，如果再多，就会变成正方体了。
【详解】长方体最多有6个面是长方形，最多有2个面是正方形。
掌握长方体的特征是解题的关键。
15．青
【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1－4－1”，汉字“青”与“望”相对，“春”与“育”相对，“孕”与“希”相对。
【详解】如图：
是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，与“望”字相对面上的字是“青”。
正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。
16． ③ 108
【分析】长方体对面的面积相等，图中①和④是完全一样的长方形，②和⑤是完全一样的长方形，所以③就是底面；将这5个长方形的面积相加，就是这个鱼缸的表面积。
【详解】用如图所示的五块有机玻璃做成一个无盖的长方体鱼缸，底面应是③号，制作一个这样的鱼缸需要的玻璃：
3×6＋3×5×2＋5×6×2
＝ 18＋30＋60
＝108（平方分米）
本题考查了长方体表面积的计算，需根据实际确定求是哪几个面的面积和。
17． 14 20 8 3
【分析】长方体的长、宽、高上分别切割成5、3、3个小正方体，根据顶点处的小正方体为三面涂漆，除顶点外位于棱上的小正方体是两面涂漆，位于表面中心的正方体是一面涂漆，位于正中心的正方体则没有涂漆，据此判断解答即可。
【详解】据上面分析，三面涂漆的为长方体的8个顶点，所以三面涂漆的小正方体有8个；
一面涂漆的有：
（5－2）×（3－2）×2＋（5－2）×（3－2）×2＋（3－2）×（3－2）×2
＝3×1×2＋3×1×2＋1×1×2
＝3×2＋3×2＋1×2
＝6＋6＋2
＝12＋2
＝14（个）
两面涂漆的有：
（5－2）×4＋（3－2）×4＋（3－2）×4
＝3×4＋1×4＋1×4
＝12＋4＋4
＝16＋4
＝20（个）
六面都没有涂漆的有：
（5－2）×（3－2）×（3－2）
＝3×1×1
＝3×1
＝3（个）
本题需要空间想象能力，若涂漆的木块有原长方体的顶点，则三面涂漆，若有原棱的话，则两面涂漆，若有原面的话则一面涂漆，若在内部，则无法涂漆。主要考查了长方体切成若干正方体后上色的规律问题，需要熟记规律并且会灵活运用。
18．144
【分析】把一个正方体，切成3个小长方体，增加了4个截面的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，即可求出截面的面积，再乘4即为增加的表面积。
【详解】根据分析，表面积增加了：
6×6×4＝144（平方厘米）
解决本题的关键知道把一个正方体，切成3个小长方体，增加的是4个截面的面积。
19．√
【分析】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等，由此判断即可。
【详解】由分析可知，长方体最多能有四个面完全相同，原题说法正确。
故答案为：√
此题考查的目的是使学生理解掌握长方体的特征。
20．×
【分析】根据正方体展开图的11种特征，属于正方体展开图的“2－2－2”型，折成正方体后，“天”字相对的面上的汉字是“库”，“然”字相对的面上的汉字是“镇”，“药”字相对的面上的汉字是“巴”；据此解答。
【详解】根据分析可知，是每个面上都标有一个汉字的正方体的平面展开图，在此正方体上与“天”字相对的面上的汉字是“库”。
原题干说法错误
故答案为：×
熟练掌握正方体展开图的特征是解答本题的关键。
21．×
【分析】根据正方体的特征：正方体的所有棱长都相等，则正方体的所有面都相等，再根据长方体的特征：6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等；由此解答。
【详解】根据正方体的特征：正方体的所有棱长都相等，则正方体的所有面都相等；
而根据长方体的特征，一般情况，长方体的6个面都是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形；
所以，正方体的所有面都是正方形，长方体所有的面不一定都是长方形。
故答案为：×
此题主要考查正方体、长方体的特征，明确一般情况，长方体的6个面都是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形。
22．×
【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，设原来的棱长为a，则扩大后的棱长为2a，分别代入正方体的表面积公式，即可求得面积扩大了多少。
【详解】设原来的棱长为a，则扩大后的棱长为2a
原正方体的表面积＝a×a×6＝6a2
新正方体的表面积＝2a×2a×6＝24a2
所以24a2÷6a2＝4倍。
故答案为：×
此题主要考查的是理解掌握正方体的表面积公式。
23．√
【分析】根据正方体展开图的特征，“1－4－1”型，“2－3－1”型，“2－2－2”型，“3－3”型，据此判断解答即可。
【详解】符合正方体展开图的“2－3－1”型，是正方体的一种展开图。
原题干说法正确。
故答案为：√
熟练掌握正方体展开图的特征是解答本题的关键。
24．×
【解析】略
25．×
【分析】用同样的大小的正方体可以拼成一个大正方体，每条棱长上至少需要2个小正方体，由此即可解答。
【详解】拼成这个大正方体至少需要的小正方体是：2×2×2＝8（个），所以原题说法错误。
故答案为：×
此题考查了小正方体拼组大正方体的方法的灵活应用，需要的小正方体的总个数是：大正方体每条棱长上的小正方体的个数的立方。
26．√
【分析】根据长方体的特征：12条棱分为互相平行的3组（长、宽、高），每组4条棱的长度相等，已知相交于一个顶点的三条棱长总和是20厘米，也就是长、宽、高的和是20厘米，长方体的棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，据此解答。
【详解】20×4＝80（厘米）
一个长方体相交于一个顶点的三条棱长总和是20厘米，则这个长方体的棱长总和是80厘米，原题干说法正确。
故答案为：√
根据长方体的特征和长方体棱长总和公式进行解答。
27．180平方厘米
【分析】根据在正方体打一个边长为1厘米的正方形空洞（打通），再在它的上面也打一个边长为5厘米的正方形空洞（打通），可知棱长是5厘米的正方体表面积减少了4个边长是1厘米的正方形面积，即减少的面积为：1×1×4＝4平方厘米；同时也增加了8个长是5厘米，宽是1厘米的长方形面积，再从中去掉一个棱长1厘米的正方体的表面积，根据正方体表面积公式：棱长×棱长×6；长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可求出剩余面积，据此解答。
【详解】5×5×6－1×1×4＋5×1×8－1×1×6
＝25×6－1×4＋5×8－1×6
＝150－4＋40－6
＝146＋40－6
＝186－6
＝180（平方厘米）
答：剩余部分的表面积是180平方厘米。
解答本题的关键是两个空洞相交，需要减去重复的面积，即一个正方体的表面积，利用正方体表面积公式，长方体表面积公式，进行解答。
28．31.2平方分米
【分析】由于这个正方体的礼盒棱长是20厘米，根据正方体的表面积公式：棱长×棱长×6，把数代入公式即可求解；之后再乘1.3即可求出包装纸的面积，再根据1平方分米＝100平方厘米，再转换单位即可。
【详解】20×20×6
＝400×6
＝2400（平方厘米）
2400×1.3＝3120（平方厘米）
3120平方厘米＝31.2平方分米
答：至少要买31.2平方分米的包装纸。
本题主要考查正方体的体积公式并灵活运用。
29．将3本书的40×20的这个面相粘合，得到的大长方体的表面积最小，这样最节约包装纸；5200平方厘米
【分析】根据题意，要想最节约包装纸，就是3本书的最大面积重合摞起来进行包装；摞起来后，长方体的长是40厘米，宽是20厘米，高是（10×3）厘米；根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可求出至少需要多少面积的包装纸。
【详解】将3本书的40×20的这个面相粘合，得到的大长方体的表面积最小，这样最节约包装纸。
长：40厘米；宽：20厘米；高：10×3＝30（厘米）
（40×20＋40×30＋20×30）×2
＝（800＋1200＋600）×2
＝（2000＋600）×2
＝2600×2
＝5200（平方厘米）
答：至少需要5200平方厘米的包装纸。
本题考查长方体表面积公式的应用，关键明确书的最大面积摞起来最节省包装纸。
30．（1）3000平方厘米
（2）21700平方厘米
【分析】（1）观察图形可知，这台洗衣机是一个长方体，求它的占地面积，就是求长方体的底面积，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，求出占地面积；
（2）求需要多大面积的布料，就是求这个长方体洗衣机去掉一个底面的5个面的面积和，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。
【详解】（1）60×50＝3000（平方厘米）
答：放置这台洗衣机要占3000平方厘米大的面积。
（2）60×50＋（60×85＋50×85）×2
＝3000＋（5100＋4250）×2
＝3000＋9350×2
＝3000＋18700
＝21700（平方厘米）
答：至少需要21700平方厘米的布料。
利用长方形面积公式和长方体表面积公式进行解答，关键熟记公式。
31．128平方分米
【分析】如图，因为小积木的下底面的四个顶点，恰好是大积木的上底面各边的中点，所以大正方体一个面的面积是小正方体一个面的面积的2倍，因此，这个立方体图形的表面积＝大正方体的表面积＋小正方体四个侧面的面积；据此解答。
【详解】由分析得：
6×4×4＋4×（4×4÷2）
＝96＋4×8
＝96＋32
＝128（平方分米）
答：那么这个立体图形的表面积是128平方分米。
本题主要考查组合体的表面积计算，关键是明确大正方体一个面的面积是小正方体一个面的面积的2倍。